Warto przeczytać

„Zachowaj równowagę” – łatwo powiedzieć, ale czym właściwie jest równowaga? Jeśli akurat jesteśmy w trakcie wspinaczki lub gimnastyki, to oczywiście chodzi o to, byśmy nie spadli lub nie przewrócili się. O kimś, kto szedł ulicą, potknął się i upadł, mówimy, że „stracił równowagę”. Gwałtowne szarpnięcie ciałem podczas jazdy na rowerze może sprawić, że „odzyskamy równowagę” i unikniemy niebezpiecznego poślizgu. Jak te potoczne określenia mają się do określeń fizycznych, opisujących reakcję ciał na działające na nie siły?

Aby odpowiedzieć na postawione pytanie, przypomnijmy treść pierwszej zasady dynamiki Newtona: „Jeśli na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, ciało to pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym” (zob. e‑materiał pt. „I zasada dynamiki”). Analogiczna zasada w zastosowaniu do ruchu obrotowego brzmi: „Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub obraca się ruchem jednostajnym” (zob. e‑materiał pt. „Warunki równowagi bryły sztywnej”). Czy zauważyliście, że mówiąc o równowadze wspominamy o braku ruchu względem określonego układu odniesieniaUkład odniesieniaukładu odniesienia? Ciało, które ma zerową prędkość i zerowe przyspieszenie względem swego otoczenia, pozostaje z nim w równowadze. Zatem równowaga ciała to stan, w którym równoważą się wszystkie działające na nie siły i momenty sił:

Powyższe równania pozwalają nam stwierdzić, czy jakieś ciało jest w równowadze, czy nie. Nie dają one jednak odpowiedzi na pytanie: dlaczego czasem ciało pozostaje w równowadze, nawet po przyłożeniu do niego siły? Dlaczego ołówek tak łatwo położyć poziomo na stole, ale tak trudno postawić go na nim pionowo? A nawet jeśli nam się to uda, to dlaczego po chwili, choćby po lekkim poruszeniu powietrza, i tak się on przewraca? Aby zrozumieć różnicę między tymi dwiema sytuacjami, wprowadzimy pojęcie równowagi trwałej, chwiejnej i obojętnej. Co te terminy oznaczają?

Kluczem do zrozumienia, dlaczego niektóre układy są stabilne, a inne nie, jest zrozumienie, od czego zależy i jak zmienia się ich energia potencjalna, a w szczególności, czy jej zależność od położenia ciała ma minima bądź maksima lokalne - w tych punktach bowiem siła ma zerową wartość. Prześledźmy to na przykładzie siły grawitacji  i związanej z nią energii potencjalnej.

Przypominamy, że energia potencjalna grawitacji to energia, jaką ma każde ciało obdarzone masą, znajdujące się w polu grawitacyjnym. W jednorodnym polu grawitacyjnym, w pobliżu powierzchni Ziemi, wyraża się ona następującym wzorem:

gdzie: $m$ – masa ciała, $g$ – przyspieszenie ziemskie, $h$ – wysokość, na której znajduje się to ciało w stosunku do poziomu uznanego za poziom odniesienia (np. powierzchni Ziemi).

Oznacza to, że im większa masa ciała, tym większą zmianę energii potencjalnej spowoduje zmiana wysokości. Podobnie: im większa wysokość, na której znajduje się ciało, tym większa jego energia potencjalna. Uniesienie ciała wymaga użycia siły co najmniej równoważącej siłę grawitacji, a więc wykonania pracy. Powoduje to zwiększenie energii potencjalnej ciała.

Równowaga obojętna

Spójrzmy teraz na przykład z Rys. 1. Ciało znajduje się na płaszczyźnie. Co się stanie z jego energią potencjalną, jeśli ciało zmieni swe położenie - zostanie przesunięte w prawo lub w lewo? Nic się nie zmieni! Energia potencjalna pozostanie bez zmian, ponieważ nie zmieniamy wysokości, na której znajduje się środek masy tego ciała. Taki stan nazywamy równowagą obojętną. Ciało znajduje się w stanie (punkcie) równowagi obojętnej, gdy wszystkie stany (punkty) wokół niego mają taką samą energię potencjalną.

R1QmkZkJq6pm0

Rys. 1. Rysunek przedstawia ciało w kształcie kulki leżące na poziomej płaszczyźnie. Do środka kulki przyłożone są dwa pionowe wektory o równych długościach. Wektor siły grawitacji skierowany w dół oznaczony jest literą wielkie F z indeksem dolnym małe g. Wektor siły sprężystości podłoża skierowany jest w górę i oznaczony literą wielkie R. Obok kuli zapisano jej energię potencjalną wielkie E z indeksem dolnym małe p, z indeksem dolnym 1. Na prawo od kulki narysowano przerywaną linią tę samą kulkę w innym położeniu. Do środka prawej kulki przyłożone są takie same dwa pionowe wektory: wektor siły grawitacji i wektor siły sprężystości podłoża. Obok prawej kulki zapisano jej energię potencjalną wielkie E z indeksem dolnym małe p, z indeksem dolnym 2. Nad rysunkiem zapisano równość: wielkie E z indeksem dolnym małe p, z indeksem dolnym 1 równa się wielkie E z indeksem dolnym małe p, z indeksem dolnym 2.

Równowaga nietrwała

Przeprowadźmy to samo rozumowanie dla innej geometrii. Przyjmijmy, że podłoże jest wypukłe, jak na Rys. 2. Ciało stawiamy na najwyższym punkcie tego podłoża. Możesz spróbować ustawić piłeczkę ping‑pongową na piłce tenisowej. Nawet najlżejszy ruch powietrza spowoduje, że piłeczka ping‑pongowa stoczy się w dół, zmniejszając swoją energię potencjalną. Początkowy stan piłeczki jest przykładem równowagi nietrwałej lub chwiejnej. Nawet niewielkie wytrącenie ciała z takiego stanu sprawia, że jego energia potencjalna maleje. Podsumowując: Ciało znajduje się w stanie (punkcie) równowagi nietrwałej lub chwiejnej, gdy wszystkie stany (punkty) wokół niego mają niższą energię potencjalną.

RkMZUKYRp4TBh

Rys. 2. Rysunek przedstawia ciało w kształcie kulki leżące na powierzchni kulistej w jej najwyższym punkcie. Do środka kulki przyłożone są dwa pionowe wektory o równych długościach. Wektor siły grawitacji skierowany w dół oznaczony jest literą wielkie F z indeksem dolnym małe g. Wektor siły sprężystości podłoża skierowany jest w górę i oznaczony literą wielkie R. Obok kulki zapisano jej energię potencjalną wielkie E z indeksem dolnym małe p, z indeksem dolnym 1. Na prawo i poniżej kulki narysowano przerywaną linią tę samą kulkę w innym położeniu na kulistej powierzchni. Do środka tej kulki przyłożone są dwa wektory. Wektor siły grawitacji skierowany jest pionowo w dół i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym małe g. Wektor siły sprężystości podłoża skierowany jest w górę i w prawo, wzdłuż kierunku wyznaczonego przez promień powierzchni kulistej i oznaczony literą wielkie R. Na wektorach siły grawitacji i siły sprężystości podłoża zbudowano równoległobok, którego przekątna jest siłą wypadkową skierowaną w dół i w prawo i oznaczona literą wielkie F z indeksem dolnym małe w. Obok prawej kulki zapisano jej energię potencjalną wielkie E z indeksem dolnym małe p, z indeksem dolnym 2. Nad rysunkiem zapisano nierówność: wielkie E z indeksem dolnym małe p, z indeksem dolnym 1 jest większe od wielkie E z indeksem dolnym małe p, z indeksem dolnym 2.

Równowaga trwała

Odwrotną sytuację zaobserwujemy, gdy wrzucimy coś do miski, na przykład orzechy. Wtedy nawet potrząśnięcie nią nie sprawia, że orzechy z niej wylatują. Przeciwnie, nawet po ustaniu działania siły, wracają one do pierwotnego położenia równowagi, przez chwilę tylko wędrując wzdłuż ścianek naczynia. Taką sytuację ilustruje Rys. 3. Kuleczka umieszczona na wklęsłej powierzchni, przemieszczona od położenia równowagi, doznaje działania siły zawracającej ją do stanu o najniższej energii potencjalnej. Jest on stanem równowagi trwałej lub stabilnej.  Ciało znajduje się w stanie (punkcie) równowagi trwałej, jeśli stany (punkty) wokół niego są stanami (punktami) o wyższej energii potencjalnej.

R1ehdZOJBGxFu

Rys. 3. Rysunek przedstawia ciało w kształcie kulki leżące wewnątrz powierzchni kulistej w jej najniższym punkcie. Do środka kulki przyłożone są dwa pionowe wektory o równych długościach. Wektor siły grawitacji skierowany w dół oznaczony jest literą wielkie F z indeksem dolnym małe g. Wektor siły sprężystości podłoża skierowany jest w górę i oznaczony literą wielkie R. Obok kulki zapisano jej energię potencjalną wielkie E z indeksem dolnym małe p, z indeksem dolnym 1. Na lewo i powyżej kulki narysowano przerywaną linią tę samą kulkę w innym położeniu na kulistej powierzchni. Do środka tej kulki przyłożone są dwa wektory. Wektor siły grawitacji skierowany jest pionowo w dół i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym małe g. Wektor siły sprężystości podłoża skierowany jest w górę i w prawo, wzdłuż promienia powierzchni kulistej i oznaczony literą wielkie R. Na wektorach siły grawitacji i siły sprężystości podłoża zbudowano równoległobok, którego przekątna jest siłą wypadkową skierowaną w dół i w prawo i oznaczona literą wielkie F z indeksem dolnym małe w. Obok kulki zapisano jej energię potencjalną wielkie E z indeksem dolnym małe p, z indeksem dolnym 2. Nad rysunkiem zapisano nierówność: wielkie E z indeksem dolnym małe p, z indeksem dolnym 1 jest mniejsze od wielkie E z indeksem dolnym małe p, z indeksem dolnym 2.

Równowaga metatrwała

Z ciekawą sytuacją mamy do czynienia, gdy badane ciało znajduje się w położeniu, w którym energia potencjalna osiąga lokalne minimum, ale nie globalne. Przykładem może być kulka, która spoczywa w niewielkim zagłębieniu, ale istnieje inne, o mniejszej wysokości (Rys. 4.). Gdy wyprowadzamy kulkę z położenia równowagi, dając jej zapas energii niewystarczający do przekroczenia „wzgórza” między zagłębieniami, wykonuje ona ruch wokół pierwotnego położenia równowagi. Jeśli jednak wykonana przez nas praca jest wystarczająco duża, kulka znajdzie się w obszarze z nowym położeniem równowagi. Jeśli wskutek ew. strat energii osiągnie najniższy punkt zagłębienia, będzie miała mniejszą energię potencjalną niż poprzednio. Ten szczególny przypadek równowagi nosi nazwę równowagi metastabilnejMetastabilnośćmetastabilnej lub metatrwałej.

R16tc9aDWSeJV

Rys. 4. Na rysunku przedstawiono powierzchnię zawierającą dwa kuliste zagłębienia. Dno lewego zagłębienia położone jest znacznie wyżej niż dno prawego zagłębienia. W najniższym punkcie lewego zagłębienia leży ciało w kształcie kulki. Do środka kulki przyłożone są dwa pionowe wektory o równych długościach. Wektor siły grawitacji skierowany w dół oznaczony jest literą wielkie F z indeksem dolnym małe g. Wektor siły sprężystości podłoża skierowany jest w górę i oznaczony literą wielkie R. Obok kulki zapisano jej energię potencjalną wielkie E z indeksem dolnym małe p, z indeksem dolnym 1. Na lewo i powyżej kulki narysowano przerywaną linią tę samą kulkę w innym położeniu wewnątrz lewego, kulistego zagłębienia. Do środka tej kulki przyłożone są dwa wektory. Wektor siły grawitacji skierowany jest pionowo w dół i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym małe g. Wektor siły sprężystości podłoża skierowany jest w górę i w prawo, wzdłuż promienia powierzchni kulistej i oznaczony literą wielkie R. Na wektorach siły grawitacji i siły sprężystości podłoża zbudowano równoległobok, którego przekątna jest siłą wypadkową skierowaną w dół i w prawo i oznaczona literą wielkie F z indeksem dolnym małe w. Obok kulki zapisano jej energię potencjalną wielkie E z indeksem dolnym małe p, z indeksem dolnym 2. W najniższym punkcie prawego zagłębienia narysowano tę samą kulkę. Do środka tej kulki przyłożone są dwa wektory o równych długościach. Wektor siły grawitacji skierowany jest pionowo w dół i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym małe g. Wektor siły sprężystości podłoża skierowany jest w górę i oznaczony literą wielkie R. Obok kulki zapisano jej energię potencjalną wielkie E z indeksem dolnym małe p, z indeksem dolnym 3.

Oczywiście przedstawione przykłady są uproszczone, w rzeczywistości spotykamy dużo bardziej skomplikowane geometrycznie układy niż wklęsła lub wypukła półkula. Niemniej, opisana zasada funkcjonuje dokładnie tam samo, jak została tutaj omówiona. Dla ułatwienia możemy na to zagadnienie spojrzeć jeszcze inaczej – najpierw zastanowić się, jakie są możliwe położenia środka ciężkości badanego ciała, a następnie ustalić, gdzie ten środek ciężkości się aktualnie znajduje. O równowadze trwałej będziemy mówić, gdy środek ciężkości położony będzie w najniższym możliwym punkcie (Rys. 3.). O równowadze chwiejnej - gdy środek ciężkości zajmuje najwyższe z możliwych położeń (Rys. 2.), a o równowadze obojętnej - gdy we wszystkich możliwych położeniach ciała jego środek ciężkości będzie na tej samej wysokości (Rys. 1.).

Słowniczek