Przeczytaj
Pierwiastek trzeciego stopnia (sześcienny)Pierwiastek trzeciego stopnia (sześcienny) z dodatniej liczby można zinterpretować jako krawędź sześcianu o objętości .
Ta prosta i obrazowa interpretacja ma jeden defekt: uwzględnia jedynie pierwiastek sześcienny z liczby dodatniej - rzeczywiście: i krawędź, i objętość mają dodatnie miary. W praktyce okazuje się, że nic nie stoi na przeszkodzie, aby zdefiniować pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej: wtedy i tylko wtedy, gdy , dla dowolnych liczb rzeczywistych , .
Zatem pierwiastkiem trzeciego stopnia (sześciennym) z dowolnej liczby nazywamy taką liczbę , która podniesiona do sześcianu daje liczbę .
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
Wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej , czyli dla .
Zbiór wszystkich liczb, dla których dane wyrażenie zawierające zmienną ma sens liczbowy nazywamy dziedziną wyrażenia algebraicznegodziedziną wyrażenia algebraicznego. Możemy zatem powiedzieć, że dziedziną wyrażenia jest zbiór wszystkich liczba rzeczywistych.
Ponieważ niewykonalne jest dzielenie przez , wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej różnej od zera.
Wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej warunek (uwzględniamy przy tym fakt, że mianownik nie może być równy zeru, zaś pierwiastek sześcienny jest zerem tylko wówczas, gdy zerem jest liczba podpierwiastkowa), czyli dla .
Ponieważ mianownik ułamka nie może być równy , wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej warunek , czyli dla . Wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej warunek , czyli dla . Oznacza to, że nie może być równe ani , ani , co możemy zapisać jako .
Zwróć uwagę, że niezależnie od tego, jaką liczbą jest , prawdziwe są równości oraz . Przy okazji odnotujmy, że równość, która jest prawdziwa dla każdego elementu dziedziny, nazywamy tożsamościątożsamością.
Własności pierwiastkowania
Dla dowolnych liczb rzeczywistych , zachodzą równości:
Korzystając z własności pierwiastkowania usuniemy niewymierności z mianowników następujących ułamków:
a)
b)
Zwróć uwagę na kolejność wykonywania działań w wyrażeniach typu . Pierwiastkowanie nie jest rozdzielne względem dodawania, więc powyższe wyrażenie nie jest równe wyrażeniu . Rozważmy .
Poprawne obliczenie wygląda następująco .
Ponadto , co oczywiście nie jest równe poprawnie obliczonej wartości wyrażenia , czyli liczbie .
Aby dodać pierwiastki , możemy postąpić następująco:
.
Przypomnijmy jeszcze, że dla dowolnej liczby zachodzi równość .
Słownik
pierwiastkiem sześciennym z liczby nazywamy taką liczbę , której sześcian jest równy , czyli , dla dowolnych liczb rzeczywistych ,
zbiór tych i tylko tych liczb, dla których dane wyrażenie ma sens liczbowy
równość prawdziwa dla każdego elementu dziedziny