Funkcję postaci $f\left(x\right)=x^m$, gdzie $m\in \mathrm{ℝ}$ nazywamy funkcją potęgową.

Dany jest wykres funkcji $f$, który pokazuje zależność średniej ilości kupowanych jabłek [w $\mathrm{kg}$]  od ich ceny za $1$ kilogram,  w pewnym okresie czasu.

RmNnGDybv5X0Y

Na ilustracji przedstawiono wykres obrazujący zależność średniej ilości kupowanych jabłek od ich ceny. Na poziomej osi przedstawiono cenę jabłek od zera do dziewięciu, z podziałką co jeden, w jednostce złoty. Na pionowej osi przedstawiono ilość jabłek od zera do ośmiu, z podziałką co jeden w jednostce kilogram. Na płaszczyźnie narysowano wykres przyjmujący kształt łuku, Przebiega przez punkty zaznaczone zamalowanymi kropkami o współrzędnych $\left(1;8\right)$, odcięta kolejnego punktu ma wartość trzy, natomiast rzędna przyjmuje wartość pomiędzy dwa a trzy. Kolejny punkt ma współrzędne $\left(4;2\right)$Następne trzy punkty dla odciętych równych pięć, sześć oraz siedem przyjmują kolejno malejące wartości od dwóch do jeden. Współrzędne ostatniego punktu wynoszą $\left(8;1\right)$.

Wzór funkcji, której wykres znajduje się powyżej, można zapisać w postaci  $f\left(x\right)=8x^{-1}$. Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich. Zwróćmy uwagę na niektóre własności funkcji.

1. Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie.

2. $f\left(2\right)=4$ – odczytujemy wartość funkcji dla podanego argumentu, a to oznacza, że przy cenie $2 \mathrm{zł}$ za kilogram$$ liczba zakupionych średnio jabłek to $4$ kilogramy.

3. $f\left(x\right)=1$ dla $x=8$, a to oznacza, że przy cenie $8 \mathrm{zł}$ za kilogram, średnio klient kupuje jeden kilogram jabłek.

4. Jest to funkcja malejąca dla $x\in {\mathrm{ℝ}}_{+}$ co oznacza, że np. $f\left(1\right)>f\left(20\right)$.

5. $f\left(x\right)<1,5$ dla $x>5\frac{1}{3}$, co oznacza, że jeśli cena jabłek jest wyższa niż $5\frac{1}{3} \text{zł}$ za kilogram, to klienci kupują średnio mniej niż $1,5$ kilograma jabłek.

Na podstawie tabeli narysujemy wykres zależności ceny jagodzianek od ilości sprzedanych sztuk w pewnym sklepiku szkolnym

RDnd1pkn329fQ

Na ilustracji przedstawiono wykres obrazujący zależność ilości sprzedanych jagodzianek od ich ceny. Na poziomej osi przedstawiono ilość jabłek, oznaczoną wielką literą I, od zera do stu dwudziestu z podziałką co dziesięć. Na pionowej osi przedstawiono cenę jagodzianek oznaczoną wielką literą C, od zera do trzech z podziałką co jeden. Na płaszczyźnie narysowano wykres w kształcie krzywej łączącej kolejno zamalowane punkty $\left(20;2.50\right)$, $\left(40;2.20\right)$, $\left(60;2\right)$, $\left(80;1,80\right)$, $\left(100;1,60\right)$, $\left(120;1,50\right)$.

Narysowany wykres to tzw. krzywa popytu. Popyt to ilość danego produktu, którą nabywcy są skłonni kupić przy danej cenie, w określonym czasie.

Wykres przypomina fragment funkcji liniowej, ale da się zauważyć, że cena towaru spada wolniej w stosunku do zakupionych ilości produktu. Przypomina ona kształtem krzywą potęgową o wykładniku ujemnym niecałkowitym (rysunek niżej)

Rx2Djm4zbUl2T

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od zera do sześciu oraz pionową osią $Y$ od zera do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji biegnący w następujący sposób. Niemal pionowo w dół od minus nieskończoności, następnie przebiega przez punkt $\left(1;1\right)$ i biegnie do plus nieskończoności wypłaszczając się do osi $X$.

Na wykresie poniżej przedstawiony jest szczególny przypadek krzywej popytu:

RGB1tPLHRVY8V

Na ilustracji przedstawiono wykres obrazujący wielkość popytu danego towaru od jego ceny. Cenę towaru zaznaczono na osi pionowej, natomiast jego ilość na osi poziomej. Na płaszczyźnie narysowano wykres oznaczony literą D, w postaci krzywej rosnącej.

Gdzie $D$ - to popyt na dany towar, $P$ – cena towaru, $Q$ – liczba jednostek towaru, który konsumenci chcą zakupić po danej cenie.

Zwróćmy uwagę, że powyższa krzywa przypomina wykres funkcji potęgowej $f\left(x\right)=x^m$, gdzie $m$ jest liczbą niecałkowitą dodatnią.

RbdsnerQBuD91

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus dwóch do czterech oraz pionową osią $Y$ od zera do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji biegnący w następujący sposób. Od punktu $\left(0;0\right)$ biegnie do plus nieskończoności przebiegając przez punkt $\left(1;1\right)$.

W jakich sytuacjach może się wydarzyć, że krzywa popytu „nie działa”, czyli mimo tego, że ceny rosną, to liczba konsumentów, którzy chcą zakupić towar jest mimo wszystko coraz większa?

Mówiąc w ekonomii o popycie na pewne towary, analizuje się też pojęcie podaży i tzw. krzywą podaży. Podaż to ilość produktów, jaką producenci oferują do sprzedaży po określonej cenie i w określonym czasie. Im cena jest wyższa, tym więcej producentów jest gotowych do dostarczenia na rynek większej ilości danego produktu.

Krzywa podażykrzywa podażyKrzywa podaży jest funkcją rosnącą, a swoim kształtem przypomina wykres funkcji paradoksów ekonomicznych, o których była mowa powyżej.

Przeanalizujmy wykres krzywej popytu i krzywej podaży.

RGNnr4epnZu0R

Na ilustracji przedstawiono wykres krzywej popytu i krzywej podaży. Na poziomej osi przedstawiono ilość dwudziestokilogramowych worków z proszkiem do prania od zera do siedmiu z podziałką co jeden, natomiast na osi pionowej przedstawiono cenę za jeden dwudziestokilogramowy worek z proszkiem do prania od zera do dwustu z podziałką co dwadzieścia. Kolorem czerwonym narysowano krzywą popytu przedstawioną w formie malejącej krzywej, łączącej 6 kolejnych punktów. Kolejno $\left(1;140\right)$, następny punkt o odciętej równej dwa i rzędnej pomiędzy wartością sześćdziesiąt i osiemdziesiąt, kolejny o odciętej równej trzy i rzędnej niewiele większej od czterdzieści, kolejny o odciętej równej cztery i rzędnej mniejszej niż czterdzieści, następny o odciętej równej pięć i rzędnej pomiędzy dwadzieścia i czterdzieści oraz ostatni punkt o odciętej równej sześć i rzędną niewiele większą od dwudziestu. Kolorem niebieskim narysowano krzywą podaży przedstawioną w formie rosnącej krzywej. Początek krzywej znajduje się w punkcie o odciętej równej jeden i wartości rzędnej niewiele większej od zera, następnie przechodzi przez punkt $\left(2;20\right)$, dalej przecina się z krzywą popytu w punkcie o odciętej równej trzy i rzędnej równej 45, dalej biegnie przez punkty $\left(4;80\right)$, $\left(5;120\right)$ i biegnie do punktu $\left(6;180\right)$.

Zwraca uwagę tzw. punkt równowagi rynkowej – to sytuacja, kiedy wielkość popytu samoistnie zrównuje się z wielkością podaży na dany towar.

Zwróćmy uwagę, czym, z punktu widzenia własności funkcji, jest punkt równowagi rynkowejpunkt równowagi rynkowejpunkt równowagi rynkowej – to argument, dla którego obie krzywe osiągają te same wartości.

Odczytaj wybrane informacje na podstawie wykresów funkcji popytu i podaży proszku do prania, w ustalonych co do wagi opakowaniach, w pewnym sklepie.

a) Przy jakiej liczbie sprzedawanych dwudziestokilogramowych workach proszku do prania, wielkość popytu i podaży jest taka sama?

• Odpowiedź: $3$.

b) Jaka jest cena dwudziestokilogramowego worka proszku do prania, dla której wielkość popytu i podaży jest taka sama?

• Odpowiedź: $45 \mathrm{zł}$.

c) Jaka jest różnica w cenie, którą oferują sprzedający, a kupujący są skłonni zapłacić przy transakcji za $5$ dwudziestokilogramowych worków proszku do prania za sztukę?

• Odpowiedź: $98 \mathrm{zł}$.

d) Ile dwudziestokilogramowych worków proszku do prania oferują producenci przy cenie sprzedaży $80 \mathrm{zł}$ za worek?

• Producenci oferują $4$ worki.

e) O ile procent więcej za dwudziestokilogramowy worek proszku do prania zapłaci klient przy najwyższej cenie sprzedaży w stosunku do ceny równowagi?

• Odpowiedź: $300\%$

• Rozwiązanie: $180,00-45,00=135,00$

  $\frac{135,00}{45,00}·100\%=300\%$

wykres przestawiający malejącą zależność ceny, za którą nabywcy są skłonni kupić produkt w określonym czasie,  od ilości zakupionego produktu

wykres przedstawiający rosnącą zależność ceny, jaką producenci oferują do sprzedaży od ilości produktów przygotowanych do sprzedaży w określonym czasie

sytuacja, kiedy wielkość popytu samoistnie zrównuje się z wielkością podaży na dany towar