Pan Nowak ma w ogrodzie trzy donice: dwie w kształcie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o wymiarach wewnętrznych: krawędzi podstawy $24 \mathrm{cm}$ i wysokości $40,5 \mathrm{cm}$ oraz donicę w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wymiarach wewnętrznych: krawędzi podstawy $40 \mathrm{cm}$ i wysokości $65 \mathrm{cm}$. Sprawdzimy, czy trzy opakowania ziemi po $50 \mathrm{l}$ wystarczą, aby napełnić te donice.

Rozwiązanie

R1UlWnXOezAXO

Ilustracja przedstawia trzy doniczki w kształcie graniastosłupów, w pierwszej z nich znajduje się aloes, druga i trzecia są puste. Pierwsza z pustych doniczek ma podstawę o kształcie sześciokąta. Krawędź podstawy ma długość 24 centymetry, a krawędź boczna ma długość 40,5 centymetra. Druga pusta doniczka ma podstawę w kształcie trójkąta. Krawędź podstawy ma długość 40 centymetrów, a krawędź boczna ma długość 65 centymetrów.

Musimy obliczyć objętość donic. Korzystając ze wzoru

$V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}·H$

obliczymy objętość donicy o podstawie trójkąta.

Ponieważ pojemność opakowań z ziemią dana jest w litrach, to zamieniamy jednostki na $\mathrm{dm}$.

Mamy zatem $a=4 \mathrm{dm}$ i $H=6,5 \mathrm{dm}$.

Czyli $V=\frac{16\sqrt{3}}{4}\cdot 6,5=26\sqrt{3}\approx 45\left[\mathrm{l}\right]$.

Teraz policzymy objętość donic w kształcie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ze wzoru:

$V=6·\frac{a^2\sqrt{3}}{4}·H$

Mamy zatem:

$2\cdot V=12\cdot \frac{2,4^2\sqrt{3}}{4}\cdot 4,05=69,984\sqrt{3}\approx 121,22\left[\mathrm{l}\right]$

Razem mamy około $45+121,22=166,22\left[\mathrm{l}\right]$.

A zatem trzy opakowania ziemi po $50 \mathrm{l}$ nie wystarczą do napełnienia tych donic.

Szklane terrarium ma kształt sześcianu o krawędzi $20 \mathrm{cm}$ z odciętym rogiem, w taki sposób, że z każdej z trzech ścian odcięto trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $4 \mathrm{cm}$. Obliczymy, ile szkła potrzeba, aby wykonać takie terrarium. Wynik podamy z dokładnością do $0,1 {\mathrm{m}}^2$.

Rozwiązanie

Ponieważ z trzech ścian wychodzących z jednego wierzchołka odcięto trójkąt równoramienny prostokątny, to powstanie ściana w kształcie trójkąta równobocznego o krawędzi $4\sqrt{2} \mathrm{cm}$.

Pole tej ściany wynosi:

$P=\frac{{\left(4\sqrt{2}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=8\sqrt{3}\approx 13,86\left[{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\right]$

R1QAiwHwHpTOB

Ilustracja przedstawia szklane terrarium wewnątrz którego znajduje się doniczka z kaktusem. Krawędź podstawy, która jest kwadratem ma długość 20 centymetrów. Odcięty z podstawy fragment ma długość $4\sqrt{2}$ centymetrów.

Pole powierzchni odciętych trójkątów to:

$P_o=3\cdot \frac{4\cdot 4}{2}=24\left[{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\right]$

Pole sześcianu (bez jednej ściany), to

$P_{sz}=5\cdot 20\cdot 20=2000\left[{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\right]$

Ostatecznie do wykonania terrarium potrzebujemy

$P_T\approx 2000-24+13,86=1989,86\left[\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right]\approx 0,2[{\mathrm{m}}^2]$ szkła.

Kasia chce podarować swojej mamie drewnianą szkatułkę przyozdobioną techniką decoupage tzn. całą powierzchnię zewnętrzną szkatułki poza spodem chce okleić serwetkami papierowymi z motywami ozdobnymi. Szkatułka ma kształt graniastosłupa prostego sześciokątnego o podstawie jak na rysunku. Kasia wykorzystuje serwetki o wymiarach $33 \mathrm{cm}\times 33 \mathrm{cm}$. Obliczymy, ile serwetek użyje Kasia, jeżeli do powierzchni ozdabianego przedmiotu należy doliczyć około $10\%$.

Rozwiązanie

R1BdJID0rQAVk

Ilustracja przedstawia szkatułkę o kształcie graniastosłupa, którego podstawą jest nieregularny wielokąt. Wysokość tego graniastosłupa podzielono na dwie części: grubość wieka 5 centymetrów oraz pozostałą wysokość szkatułki 20 centymetrów, całkowita wysokość szkatułki wynosi 25 centymetrów. Obok rysunku szkatułki znajduje się rysunek jej podstawy. Składa się ona z prostokąta, którego dłuższy bok ma 30 centymetrów, a krótszy bok ma 10 centymetrów. Do dłuższego boku przylega swoją dłuższą podstawą trapez, jego krótsza podstawa ma 10 centymetrów, a wysokość tego trapezu również ma długość 10 centymetrów.

Sześciokąt w podstawie można podzielić na prostokąt i trapez równoramienny.

Mamy wtedy:

$P_p=P_{pros}+P_{tr}$

Czyli $P_p=30\cdot 10+\frac{(30+10)\cdot 10}{2}=300+200=500\left[{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\right]$.

Do obliczenia pola bocznego potrzebujemy jeszcze długości ramienia trapezu. Z danych na rysunku wynika, że będzie to przeciwprostokątna równoramiennego trójkąta prostokątnego i będzie mieć długość $10\sqrt{2} \mathrm{cm}$.

Szkatułka razem z wieczkiem ma wysokość $25 \mathrm{cm}$.

Czyli $P_b=25\cdot (3\cdot 10+2\cdot 10\sqrt{2}+30)\approx 2207\left[{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\right]$.

A zatem powierzchnia do oklejenia (bez spodu) będzie wynosić w przybliżeniu

$500+2207=2707\left[{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\right]$

Należy doliczyć do tego jeszcze $10\%$:

$2707+270,7=2977,7\left[{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\right]$

Powierzchnia jednej serwetki to $33\cdot 33=1089\left[{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\right]$.

Mamy $2977,7:1089\approx 2,73$.

Czyli Kasia zużyje trzy serwetki do oklejenia szkatułki.

Betonowy słupek parkingowy ma kształt graniastosłupa pochyłego, którego podstawą jest kwadrat. Dwie ze ścian, które nie są prostokątami, są prostopadłe do podstawy. Kąt nachylenia wysokości słupka do ściany bocznej będącej prostokątem wynosi $8°$. Wykorzystując dane na rysunku obliczymy jaka jest masa takiego słupka, jeżeli gęstość betonu, z którego został wykonany wynosi $2222 \frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$.

Rozwiązanie

R11s1vb3pQOEy

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły o podstawie kwadratu. Bok kwadratu ma długość 300 milimetrów. Z górnego wierzchołka poprowadzono pionowy odcinek, kąt pomiędzy tym odcinkiem a krawędzią boczną graniastosłupa ma wartość 8 stopni. Odcinek pomiędzy wierzchołkiem dolnej podstawy graniastosłupa a pionowym odcinkiem ma długość 54 milimetry.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy:

$tg8°=\frac{54}{H}$

Czyli $0,1405=\frac{54}{H}$, a stąd ostatecznie $H\approx 384\left[\mathrm{m}\mathrm{m}\right]$.

Obliczymy objętość słupka i wyrazimy ją w ${\mathrm{m}}^3$.

Mamy

$V={300}^2\cdot 384=34560000\left[{\mathrm{m}\mathrm{m}}^3\right]=34560\left[{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3\right]=0,03456\left[{\mathrm{m}}^3\right]$

Korzystamy ze wzoru na gęstość: $\rho =\frac{m}{V}$.

Czyli $2222=\frac{m}{0,03456}$, a stąd ostatecznie masa słupka wynosi $m\approx 76,79\left[\mathrm{k}\mathrm{g}\right]$.

Pokój Maćka wygląda jak na rysunku.

RtT463AB1uziE

Zdjęcie przedstawia fragment sypialni, w której znajdują się skosy, na których umieszczono okna. Pokój jest pomalowany na biało, podłoga jest drewniana.

Latem jest tam bardzo gorąco, więc Maciek planuje kupić klimatyzator. Moc klimatyzatora wylicza się mnożąc objętość pomieszczenia wyrażoną w metrach sześciennych przez współczynnik $40\frac{\mathrm{W}}{{\mathrm{m}}^3}$, gdzie $W$, to jednostka mocy. Policzymy moc klimatyzatora potrzebnego Maćkowi, wiedząc że długość pokoju to $5 \mathrm{m}$ a wymiary przedstawionej na rysunku ściany są następujące.

R6QIBP8fASzaO

Ilustracja przedstawia figurę składającą się z połączonych ze sobą trapezu i prostokąta. Poziomy bok prostokąta ma długość 3 metry, a pionowy bok 1 metr. Do górnego poziomego boku prostokąta przylega trapez, którego krótsza podstawa ma długość1,2 metra, a jego wysokość ma długość 1,5 metra.

Rozwiązanie

Zauważ, że na pokój Maćka możemy spojrzeć jak na graniastosłup prosty, którego podstawą jest ściana przedstawiona na rysunku wyżej a wysokość $H=5 \mathrm{m}$. Aby obliczyć objętość pokoju musimy policzyć pole sześciokąta z rysunku. Zauważmy, że jest to trapez i prostokąt, więc

$P=3·1+\frac{4,2·1,5}{2}=6,15$

Zatem objętość pokoju Maćka to $30,75\left[{\mathrm{m}}^3\right]$.

Moc klimatyzatora, którego potrzebuje Maciek to

$30,75 {\mathrm{m}}^3·40 \frac{\mathrm{W}}{{\mathrm{m}}^3}=1230 \mathrm{W}=1,23 \mathrm{k}\mathrm{W}$

graniastosłup, którego wszystkie ściany boczne są prostokątami

graniastosłup prosty, w którego podstawie jest wielokąt foremny

odcinek, którego długość jest równa odległości między płaszczyznami różnych podstaw graniastosłupa