Przeczytaj
Graniastosłupy prawidłowe
Potrafisz już obliczać pole powierzchni i objętość graniastosłupów prawidłowychgraniastosłupów prawidłowych.
Przypomnijmy wzory dla podstawowych graniastosłupów prawidłowych:
graniastosłup prawidłowy trójkątny:
graniastosłup prawidłowy czworokątny:
sześcian (szczególny przypadek graniastosłupa prawidłowego czworokątnego):
graniastosłup prawidłowy sześciokątny:
Pan Nowak ma w ogrodzie trzy donice: dwie w kształcie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o wymiarach wewnętrznych: krawędzi podstawy i wysokości oraz donicę w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wymiarach wewnętrznych: krawędzi podstawy i wysokości . Sprawdzimy, czy trzy opakowania ziemi po wystarczą, aby napełnić te donice.
Rozwiązanie
Musimy obliczyć objętość donic. Korzystając ze wzoru
obliczymy objętość donicy o podstawie trójkąta.
Ponieważ pojemność opakowań z ziemią dana jest w litrach, to zamieniamy jednostki na .
Mamy zatem i .
Czyli .
Teraz policzymy objętość donic w kształcie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ze wzoru:
Mamy zatem:
Razem mamy około .
A zatem trzy opakowania ziemi po nie wystarczą do napełnienia tych donic.
Szklane terrarium ma kształt sześcianu o krawędzi z odciętym rogiem, w taki sposób, że z każdej z trzech ścian odcięto trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości . Obliczymy, ile szkła potrzeba, aby wykonać takie terrarium. Wynik podamy z dokładnością do .
Rozwiązanie
Ponieważ z trzech ścian wychodzących z jednego wierzchołka odcięto trójkąt równoramienny prostokątny, to powstanie ściana w kształcie trójkąta równobocznego o krawędzi .
Pole tej ściany wynosi:
Pole powierzchni odciętych trójkątów to:
Pole sześcianu (bez jednej ściany), to
Ostatecznie do wykonania terrarium potrzebujemy
szkła.
Inne graniastosłupy
Regularne kształty graniastosłupów prawidłowych są bardzo funkcjonalne, jednak w otaczającej nas rzeczywistości możemy spotkać również inne graniastosłupy proste, a bywa również, że i pochyłe.
Przypomnijmy, że objętość graniastosłupa możemy policzyć ze wzoru:
gdzie:
– to pole podstawy liczone ze wzoru właściwego dla danego wielokąta,
– to wysokość graniastosłupa, która w przypadku graniastosłupa prostegograniastosłupa prostego jest równa długości krawędzi bocznej.
Pole powierzchni graniastosłupa policzymy ze wzoru:
gdzie:
– jest polem powierzchni bocznej będącego sumą pól poszczególnych ścian bocznych (w przypadku graniastosłupa prostego są to pola prostokątów o bokach będących odpowiednimi krawędziami podstawy i krawędzią boczną, w przypadku graniastosłupa pochyłego są to pola równoległoboków będących ścianami bocznymi).
Przypomnijmy, że aby policzyć pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego wystarczy pomnożyć obwód wielokąta w podstawie przez wysokość graniastosłupawysokość graniastosłupa.
W przypadkach rzeczywistych szczególną uwagę należy zwrócić na zagadnienia dotyczące obliczania pól, ponieważ bardzo często niektóre ściany graniastosłupa są pomijane – tak jest na przykład w zadaniach, w których budujemy pudełka bez wieczka, akwaria, wazony lub malujemy pomieszczenia.
Kasia chce podarować swojej mamie drewnianą szkatułkę przyozdobioną techniką decoupage tzn. całą powierzchnię zewnętrzną szkatułki poza spodem chce okleić serwetkami papierowymi z motywami ozdobnymi. Szkatułka ma kształt graniastosłupa prostego sześciokątnego o podstawie jak na rysunku. Kasia wykorzystuje serwetki o wymiarach . Obliczymy, ile serwetek użyje Kasia, jeżeli do powierzchni ozdabianego przedmiotu należy doliczyć około .
Rozwiązanie
Sześciokąt w podstawie można podzielić na prostokąt i trapez równoramienny.
Mamy wtedy:
Czyli .
Do obliczenia pola bocznego potrzebujemy jeszcze długości ramienia trapezu. Z danych na rysunku wynika, że będzie to przeciwprostokątna równoramiennego trójkąta prostokątnego i będzie mieć długość .
Szkatułka razem z wieczkiem ma wysokość .
Czyli .
A zatem powierzchnia do oklejenia (bez spodu) będzie wynosić w przybliżeniu
Należy doliczyć do tego jeszcze :
Powierzchnia jednej serwetki to .
Mamy .
Czyli Kasia zużyje trzy serwetki do oklejenia szkatułki.
Betonowy słupek parkingowy ma kształt graniastosłupa pochyłego, którego podstawą jest kwadrat. Dwie ze ścian, które nie są prostokątami, są prostopadłe do podstawy. Kąt nachylenia wysokości słupka do ściany bocznej będącej prostokątem wynosi . Wykorzystując dane na rysunku obliczymy jaka jest masa takiego słupka, jeżeli gęstość betonu, z którego został wykonany wynosi .
Rozwiązanie
Korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy:
Czyli , a stąd ostatecznie .
Obliczymy objętość słupka i wyrazimy ją w .
Mamy
Korzystamy ze wzoru na gęstość: .
Czyli , a stąd ostatecznie masa słupka wynosi .
Pokój Maćka wygląda jak na rysunku.
Latem jest tam bardzo gorąco, więc Maciek planuje kupić klimatyzator. Moc klimatyzatora wylicza się mnożąc objętość pomieszczenia wyrażoną w metrach sześciennych przez współczynnik , gdzie , to jednostka mocy. Policzymy moc klimatyzatora potrzebnego Maćkowi, wiedząc że długość pokoju to a wymiary przedstawionej na rysunku ściany są następujące.
Rozwiązanie
Zauważ, że na pokój Maćka możemy spojrzeć jak na graniastosłup prosty, którego podstawą jest ściana przedstawiona na rysunku wyżej a wysokość . Aby obliczyć objętość pokoju musimy policzyć pole sześciokąta z rysunku. Zauważmy, że jest to trapez i prostokąt, więc
Zatem objętość pokoju Maćka to .
Moc klimatyzatora, którego potrzebuje Maciek to
Słownik
graniastosłup, którego wszystkie ściany boczne są prostokątami
graniastosłup prosty, w którego podstawie jest wielokąt foremny
odcinek, którego długość jest równa odległości między płaszczyznami różnych podstaw graniastosłupa