Jeśli w układzie optycznym umieścimy przedmiot w odległości x od soczewki, to w odległości y otrzymamy jego ostry obraz. Czy x i y są ze sobą powiązane?
RdYJanytOkEno
Na przykładzie soczewki skupiającej dla x > 2f spróbujemy wyprowadzić zależność pomiędzy x i y. Przyjrzyjmy się w tym celu Rys. 1. Z podobieństwa i możemy zapisać, że:
Iloraz h’/h oznaczany jest literą p i nazywany w optyce powiększeniempowiększenie liniowepowiększeniem.
Pamiętając jednak, że y może przyjmować wartości ujemne, definiując powiększeniepowiększenie liniowepowiększenie, należy zapisać powyższe równanie z wartością bezwzględną. Mamy zatem:
Z podobieństwa ΔdeltaABF i ΔdeltaCOF:
Łącząc zależność [1] z [3] otrzymujemy:
co po odwróceniu przyjmuje postać:
Po przekształceniu prawej strony równania [5] otrzymujemy:
Po podzieleniu obu stron równania [6] przez x mamy:
Zatem:
Wzór [8] nazywany jest równaniem soczewki cienkiej, czyli takiej, której grubość jest znacznie mniejsza od bezwzględnej różnicy promieni krzywizny. Jest on prawdziwy zarówno dla soczewek skupiających, jak i rozpraszających. Przy czym zapisując tę zależność warto jest na początku przyjąć pewną konwencję znaków. Ustalmy, że w przypadku obrazu pozornegopozorny obrazobrazu pozornego: y < 0 oraz dla soczewki rozpraszającej: f < 0.
Każda soczewka ma określoną odległość ogniskową w danym ośrodku. Jak wyznaczyć zatem cechy obrazu z wykorzystaniem równania soczewki? Znajdźmy w tym celu najpierw jego położenie. Przekształcając równanie [8] otrzymujemy:
Wzór [9] określa zależność położenia obrazu y od położenia przedmiotu x przy ustalonej wartości ogniskowej f. Jest on zarazem funkcją algebraiczną, której przebieg możemy zbadać i nadać jej sens fizyczny. W tym celu sporządźmy wykres y(x) (Rys. 2.). Linia ciągła obrazuje omawianą zależność dla parametru f > 0, czyli dla soczewek skupiających, zaś linia przerywana – dla f < 0, czyli – soczewek rozpraszających.
RYBw22HHWAGxL
Co można powiedzieć na podstawie tego wykresu? Otóż w przypadku soczewki skupiającej dla:
x = f (przedmiot znajduje się w ognisku soczewki) – funkcja nie jest określona (mianownik nie może przyjąć wartości 0), a obraz nie powstaje (tworzy się wiązka promieni równoległych, skutkiem czego jest brak obrazu).
x ∈ (0, f) – wartość funkcji jest ujemna, więc otrzymany obraz jest pozorny.
Przesuwanie przedmiotu do ogniska oznacza zwiększanie wartości argumentu x badanej funkcji. Wówczas, jak widać na wykresie, wartość funkcji y asymptotycznie dąży do nieskończoności – oznacza to znikanie obrazu. Wielkość y maleje wraz ze zbliżaniem się do wartości f wraz z przesuwaniem przedmiotu do ogniska, a obraz oddala się od soczewki. Zwiększa się wówczas jego wysokość liniowa.
x > f – wartości y są dodatnie, zatem obraz będzie rzeczywistyrzeczywisty obrazrzeczywisty. Dodatkowo funkcja ma charakter malejący – wraz ze wzrostem odległości przedmiotu, odległość obrazu będzie się zmniejszała i dążyła do f, jednak tej wartości nie osiągnie.
f < x < 2f – analizując wykres możemy zauważyć, że y > x, obraz jest powiększony.
x = 2f wyrażenie [10] przyjmie wartość 2f, zatem obraz znajduje się po drugiej stronie soczewki, ale w tej samej odległości co przedmiot. Dodatkowo ich rozmiary liniowe są takie same (powiększeniepowiększenie liniowepowiększenie jest równe 1).
x > 2f → widać, że y < x, obraz jest zmniejszony.
W przypadku soczewki rozpraszającej ogniskowa jest ujemna (parametr f jest mniejszy od zera). Skutkuje to innym przebiegiem funkcji y(x). Został on oznaczony na Rys. 2. czerwoną linią przerywaną. Widać, że wartości funkcji dążą asymptotycznie do -f. Oznacza to tyle, że y nigdy nie przekroczy ogniskowej, a obraz zawsze będzie znajdował się po tej samej stronie soczewki co przedmiot – będzie on więc pozornypozorny obrazpozorny. Ponadto wraz ze wzrostem odległości przedmiotu x, odległość obrazu y również wzrasta, lecz nie dąży do minus nieskończoności, ale do -f.
Słowniczek
pozorny obraz
pozorny obraz
(ang.: virtual image) obraz powstający w miejscu przecięcia się przedłużeń promieni przechodzących przez soczewkę, niewidoczny na ekranie
rzeczywisty obraz
rzeczywisty obraz
(ang.: real image) obraz powstający w miejscu przecięcia się promieni przechodzących przez soczewkę, możliwy do zobaczenia na ekranie
powiększenie liniowe
powiększenie liniowe
(ang.: linear magnification) wielkość bezwymiarowa będąca ilorazem liniowych rozmiarów obrazu hIndeks dolny oo i przedmiotu hIndeks dolny pp . Można je zapisać również jako wartość bezwzględną z ilorazu odległości obrazu i przedmiotu od soczewki