Warto przeczytać

Jeśli w układzie optycznym umieścimy przedmiot w odległości x od soczewki, to w odległości y otrzymamy jego ostry obraz. Czy x i y są ze sobą powiązane?

RdYJanytOkEno

Rys. 1. Rysunek przedstawia konstrukcję obrazu w soczewce skupiającej, gdy przedmiot ustawiony jest w odległości większej niż podwojona ogniskowa. Na rysunku po lewej stronie schematycznie narysowany jest przedmiot w postaci strzałki osadzonej na osi optycznej pionowo z grotem w górę. Przedmiot ma wysokość h, przy grocie jest wielka litera A, u podstawy strzałki jest wielka litera B. Z grota strzałki, a więc z punktu A wychodzą trzy promienie o trzech kolorach. Kolory nie mają znaczenia światła o tych barwach, ale służą rozróżnieniu promieni. Promienie biegną przez soczewkę i załamują się w niej. Soczewka narysowana jest w postaci symbolu soczewki skupiającej to znaczy strzałki z dwoma grotami. Soczewka jest usytuowana centralnie. Po jej dwóch stronach w jednakowych odległościach zaznaczone są dwa ogniska wielką literą F oraz ogniskowe małą literą f. Po prawej stronie narysowany jest obraz, którego położenie wynika z biegu promieni. Obrazem punktu A jest punkt A prim, który leży w miejscu przecięcia trzech promieni załamanych w soczewce. Obraz ma wysokość h prim, która jest mniejsza niż h. Obraz jest odwrócony, to znaczy strzałka narysowana jest grotem w dół, cały obraz leży pod osią. Na osi leży tylko punkt B prim, który jest obrazem punktu B. Odległość przedmiotu od soczewki oznaczona w postaci strzałki poziomej z dwoma grotami i opisana jest małą literą x, obrazu od soczewki również oznaczona jest strzałką z dwoma grotami i opisana małą literą y. Ogniskowa, czyli odległość ogniska od soczewki oznacza się małą literą f i ta odległość również jest narysowana w postaci strzałki z dwoma grotami. Bieg promieni jest następujący: zielony promień wychodzi z punktu A. Biegnie poziomo, pada prostopadle na soczewkę, która zmienia jego bieg. Promień zielony po załamaniu ma kierunek w dół pod pewnym kątem i przechodzi przez ognisko oznaczone wielką literą F. Przechodzi na dolną część rysunku i dochodzi do punktu A prim. Promień niebieski wychodzi z punktu A i osiąga punkt A prim bez zmiany kierunku, ponieważ przechodzi przez środek soczewki. Czerwony promień ma kierunek skośny w dół i przechodzi najpierw przez ognisko, pada na soczewkę, która zmienia jego kierunek na poziomy i dochodzi do punktu A prim.

Na przykładzie soczewki skupiającej dla x > 2f spróbujemy wyprowadzić zależność pomiędzy x i y. Przyjrzyjmy się w tym celu Rys. 1. Z podobieństwa $\mathrm{\Delta }ABO$ i $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }O$ możemy zapisać, że:

Iloraz h’/h oznaczany jest literą p i nazywany w optyce powiększeniempowiększenie liniowepowiększeniem.

Pamiętając jednak, że y może przyjmować wartości ujemne, definiując powiększeniepowiększenie liniowepowiększenie, należy zapisać powyższe równanie z wartością bezwzględną. Mamy zatem:

Z podobieństwa ΔdeltaABF i ΔdeltaCOF:

Łącząc zależność [1] z [3] otrzymujemy:

co po odwróceniu przyjmuje postać:

Po przekształceniu prawej strony równania [5] otrzymujemy:

Po podzieleniu obu stron równania [6] przez x mamy:

Zatem:

Wzór [8] nazywany jest równaniem soczewki cienkiej, czyli takiej, której grubość jest znacznie mniejsza od bezwzględnej różnicy promieni krzywizny. Jest on prawdziwy zarówno dla soczewek skupiających, jak i rozpraszających. Przy czym zapisując tę zależność warto jest na początku przyjąć pewną konwencję znaków. Ustalmy, że w przypadku obrazu pozornegopozorny obrazobrazu pozornego: y < 0 oraz dla soczewki rozpraszającej: f < 0.

Każda soczewka ma określoną odległość ogniskową w danym ośrodku. Jak wyznaczyć zatem cechy obrazu z wykorzystaniem równania soczewki? Znajdźmy w tym celu najpierw jego położenie. Przekształcając równanie [8] otrzymujemy:

Wzór [9] określa zależność położenia obrazu y od położenia przedmiotu x przy ustalonej wartości ogniskowej f. Jest on zarazem funkcją algebraiczną, której przebieg możemy zbadać i nadać jej sens fizyczny. W tym celu sporządźmy wykres y(x) (Rys. 2.). Linia ciągła obrazuje omawianą zależność dla parametru f > 0, czyli dla soczewek skupiających, zaś linia przerywana – dla f < 0, czyli – soczewek rozpraszających.

RYBw22HHWAGxL

Rys. 2. Rysunek przedstawia wykres zależności położenia obrazu oznaczonym małą literą y od położenia przedmiotu oznaczonym małą literą x dla soczewki skupiającej i rozpraszającej. Na osi pionowej odłożone jest położenie obrazu y, na osi poziomej odłożone jest położenie przedmiotu x. Na osi y oznaczone są trzy szczególne wartości f, 2f i  minus f, czyli wartość ogniskowej, podwojonej ogniskowej i ujemnej ogniskowej. Od tych wartości odchodzą poziome przerywane linie. Te linie nazywa się asymptotami. Na osi poziomej również odłożona jest wartość ogniskowej, jej podwojona wartość, potrojona i pomnożona przez 4. Linie pionowe przerywane przechodzą przez wartości f i 2f.Te linie również są asymptotami. Asymptota to prosta, do której zbliża się wykres funkcji, ale nigdy jej nie przecina. Na wykresie w pierwszej ćwiartce zapisany jest wzór wyrażający zależność, której wykres jest obrazowany. Mianowicie y=xf (w liczniku) oraz x minus f (w mianowniku). Wykres tej zależności dla soczewki skupiającej ma dwie gałęzi. Dla x>f jest to hiperbola symetrycznie osadzona pomiędzy dwoma asymptotami wykreślonymi dla x=f i y=f. Dla x< f jest to fragment paraboli wychodzącej z punktu 0,0 skierowanej w dół asymptotycznie do wartości x=f. Obie te gałęzi narysowane są ciągłą czerwoną linią. Dla odróżnienia wykres dla soczewki rozpraszającej, f<0 narysowany jest przerywaną linią czerwoną. Linia również ma kształt fragmentu paraboli wychodzącego z punktu 0,0 i idącego asymptotycznie poziomo w kierunku na prawo. Obie te krzywe znajdują się w czwartej ćwiartce.

Co można powiedzieć na podstawie tego wykresu? Otóż w przypadku soczewki skupiającej dla:

• x = f (przedmiot znajduje się w ognisku soczewki) – funkcja nie jest określona (mianownik nie może przyjąć wartości 0), a obraz nie powstaje (tworzy się wiązka promieni równoległych, skutkiem czego jest brak obrazu).

• x ∈ (0, f) – wartość funkcji jest ujemna, więc otrzymany obraz jest pozorny.

Przesuwanie przedmiotu do ogniska oznacza zwiększanie wartości argumentu x badanej funkcji. Wówczas, jak widać na wykresie, wartość funkcji y asymptotycznie dąży do nieskończoności – oznacza to znikanie obrazu. Wielkość y maleje wraz ze zbliżaniem się do wartości f wraz z przesuwaniem przedmiotu do ogniska, a obraz oddala się od soczewki. Zwiększa się wówczas jego wysokość liniowa.

• x > f – wartości y są dodatnie, zatem obraz będzie rzeczywistyrzeczywisty obrazrzeczywisty. Dodatkowo funkcja ma charakter malejący – wraz ze wzrostem odległości przedmiotu, odległość obrazu będzie się zmniejszała i dążyła do f, jednak tej wartości nie osiągnie.

• f < x < 2f – analizując wykres możemy zauważyć, że y > x, obraz jest powiększony.

• x = 2f wyrażenie [10] przyjmie wartość 2f, zatem obraz znajduje się po drugiej stronie soczewki, ale w tej samej odległości co przedmiot. Dodatkowo ich rozmiary liniowe są takie same (powiększeniepowiększenie liniowepowiększenie jest równe 1).

• x > 2f → widać, że y < x, obraz jest zmniejszony.

W przypadku soczewki rozpraszającej ogniskowa jest ujemna (parametr f jest mniejszy od zera). Skutkuje to innym przebiegiem funkcji y(x). Został on oznaczony na Rys. 2. czerwoną linią przerywaną. Widać, że wartości funkcji dążą asymptotycznie do -f. Oznacza to tyle, że y nigdy nie przekroczy ogniskowej, a obraz zawsze będzie znajdował się po tej samej stronie soczewki co przedmiot – będzie on więc pozornypozorny obrazpozorny. Ponadto wraz ze wzrostem odległości przedmiotu x, odległość obrazu y również wzrasta, lecz nie dąży do minus nieskończoności, ale do -f.

Słowniczek