Siatka graniastosłupa prawidłowego trójkątnego to przedstawienie graniastosłupa na płaszczyźnie, powstające poprzez “rozcięcie” niektórych jego krawędzi tak, aby dało się rozłożyć ściany na płaszczyźnie.

R5aFGfqCnUgzE

Na ilustracji przedstawiono siatkę graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, która wygląda następująco. Na każdym boku trójkąta równobocznego długości a, zbudowano prostokąt o bokach długości a i h. Na krótszym boku jednego z prostokątów zbudowano kolejny trójkąt równoboczny o boku długości a.

Mrówka przeszła po powierzchni graniastosłupa prawidłowego trójkątnego z wierzchołka $D$ do wierzchołka $A$, przy czym była to najkrótsza droga z przedstawionych na rysunku. Uzasadnimy, że drogą, którą wybrała mrówka jest $s_3$ (niebieska), jeżeli wiemy, że tangens nachylenia przekątnej ściany bocznej do krawędzi podstawy wynosi $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

R1BB4A6G6zIoG

Na ilustracji przedstawiono siatkę graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, która wygląda następująco. Do każdego krótszego boku trójkąta równobocznego $ABC$, doklejono prostokąty przystające. Do jednego z prostokątów, do jego krótszego boku doklejono kolejny trójkąt równoboczny $DEF$. Kolorem żółtym zaznaczono sumę długości dwóch wysokości trójkąta równobocznego i prostej łączącej dwa przeciwległe boki prostokąta i oznaczono $s_1$. Kolorem fioletowym zaznaczono sumę długości boku krótszego i dłuższego prostokąta i oznaczono $s_2$. Przekątną prostokąta zaznaczono kolorem niebieskim i oznaczono $s_3$.

Rozwiązanie

Niech $a>0$ oznacza długość krawędzi podstawy oraz $h>0$ długość wysokości rozważanego graniastosłupa. Z warunków zadania wynika, że $\mathrm{tg}\sphericalangle ACD=\frac{h}{a}$, stąd $\frac{h}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, czyli $h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$. Gdybyśmy “skleili” siatkę graniastosłupa z rysunku powyżej otrzymalibyśmy bryłę przedstawioną poniżej.

Rgpjjkya2QGIp

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny o podstawie dolnej $ABC$ oraz górnej $DEF$. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek D, nad wierzchołkiem B wierzchołek E oraz nad wierzchołkiem C wierzchołek F. Na krawędzi $BC$ zaznaczono punkt M, stanowiący spodek wysokości trójkąta $ABC$, opuszczonej z wierzchołka A. Natomiast na krawędzi $EF$ zaznaczono punkt N stanowiący spodek wysokości trójkąta $DEF$, opuszczonej z wierzchołka D. Kolorem żółtym zaznaczono krzywą $s_1$ biegnącą od wierzchołka A do punktu M, następnie od punktu M do punktu N oraz od punktu N do wierzchołka D. Kolorem fioletowym zaznaczono krzywą $s_2$ biegnącą od wierzchołka A do wierzchołka C, następnie od wierzchołka C do wierzchołka F oraz od wierzchołka F do wierzchołka D. Kolorem niebieskim zaznaczono krzywą $s_3$ biegnącą od wierzchołka A do wierzchołka C, następnie od wierzchołka C do wierzchołka D.

Obliczymy teraz kolejno długości dróg jakie mrówka mogła przejść.

1) Droga $s_1$ składa się z trzech odcinków. Jeden z nich równy jest wysokości graniastosłupa, a dwa pozostałe są równe wysokości podstawy graniastosłupa. Otrzymujemy zatem kolejno:

$s_1=2·\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{3\sqrt{3}}{2}a\approx 2,6a$.

2) Droga $s_2$ składa się z trzech odcinków. Jeden z nich równy jest wysokości graniastosłupa, a dwa pozostałe są równe długości krawędzi podstawy graniastosłupa. Otrzymujemy zatem kolejno:

$s_2=2a+\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{4+\sqrt{3}}{2}a\approx 2,9a$.

3) Droga $s_3$ składa się z dwóch odcinków. Jeden z nich równy przekątnej ściany bocznej graniastosłupa, a drugi długości krawędzi podstawy graniastosłupa. Otrzymujemy zatem kolejno:

$s_3=a+\sqrt{a^2+\frac{3}{4}{a}^2}=\frac{\sqrt{7}}{2}a+a=\frac{2+\sqrt{7}}{2}a\approx 2,3a$.

Zatem $s_3<s_1<s_2$.

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym $ABCDEF$, w którym pole ściany bocznej i podstawy są równe, połączono środki krawędzi podstaw w sposób pokazany na rysunku. Obliczymy ile razy pole powierzchni całkowitej powstałej bryły $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}{E}^{\text{'}}{F}^{\text{'}}$ jest mniejsze od pola powierzchni całkowitej graniastosłupa $ABCDEF$.

RX4SKXGEEcmGm

Na ilustracji przedstawiono siatkę graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, która wygląda następująco. Do każdego krótszego boku trójkąta równobocznego $DEF$, doklejono prostokąty przystające. Do jednego z prostokątów, do jego krótszego boku doklejono kolejny trójkąt równoboczny $ABC$. Punkt D prim stanowi środek boku $DE$, punkt E prim stanowi środek boku $EF$, punkt F prim środek boku $DF$, punkt A prim środek boku $AB$, punkt B prim środek boku $BC$ oraz punkt C prim środek boku $AC$. Połączono środki boków w trójkącie $DEF$ i powstał mniejszy trójkąt $D\text{'}E\text{'}F\text{'}$ oraz w trójkącie $ABC$ powstał mniejszy trójkąt $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$. Połączono także wierzchołki F prim i C prim. Po połączeniu wierzchołków A prim, B prim, D prim, E prim powstał prostokąt.

Rozwiązanie

Niech $a>0$ oznacza długość krawędzi podstawy oraz $h>0$ długość wysokości rozważanego graniastosłupa. Z warunków zadania wynika, że $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=ah$. Stąd otrzymujemy, że $h=\frac{a\sqrt{3}}{4}$. W wyniku połączenia środków krawędzi podstaw w sposób pokazany na rysunku otrzymujemy graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy równej $\frac{1}{2}a$ i wysokości równej wysokości graniastosłupa $ABCDEF$, czyli $h=\frac{a\sqrt{3}}{4}$. Obliczymy pola powierzchni całkowitej obu graniastosłupów. Dla graniastosłupa $ABCDEF$ otrzymujemy kolejno

$P_{c1}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+3ah=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+3a·\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{5\sqrt{3}}{4}{a}^2$.

Dla graniastosłupa $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}{E}^{\text{'}}{F}^{\text{'}}$ otrzymujemy kolejno

$P_{c2}=2·{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2·\frac{\sqrt{3}}{4}+3·\frac{1}{2}ah=\frac{a^2\sqrt{3}}{8}+3a·\frac{a\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2$.

Możemy policzyć ile razy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}{E}^{\text{'}}{F}^{\text{'}}$ jest mniejsze od pola całkowitego graniastosłupa $ABCDEF$. Otrzymujemy

$\frac{P_{c1}}{P_{c2}}=\frac{5\sqrt{3}}{4}{a}^2·\frac{2}{\sqrt{3}{\displaystyle {{\displaystyle a}}^2}}=\frac{5}{2}$.

Czyli $P_{c2}=0,4P_{c1}$.

Obliczymy pole powierzchnipole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnegopole powierzchni i objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnegoobjętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnegoobjętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, którego siatkę przedstawia rysunek.

R1Vo09ossN9UI

Na ilustracji przedstawiono siatkę graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, która wygląda następująco. Do każdego krótszego boku trójkąta równobocznego $ABC$, doklejono prostokąty przystające. Do prostokąta zbudowanego na podstawie trójkąta, do jego krótszego boku, doklejono kolejny trójkąt równoboczny. W trójkąt równoboczny $ABC$ wpisano okrąg o środku w punkcie S i promieniu równym r. Okrąg jest styczny do boku $AB$ w punkcie D. Odległość punktu D od dolnego, prawego wierzchołka E prostokąta zbudowanego na tym boku, wynosi trzy.

Rozwiązanie

Niech $a>0$ oznacza długość krawędzi podstawy oraz $h>0$ długość wysokości rozważanego graniastosłupa. Z warunków zadania wynika, że promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny będący podstawą graniastosłupa jest równy $r=1$. Korzystając z zależności, że promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy $\frac{1}{3}$ wysokości tego trójkąta otrzymujemy kolejno

$\frac{1}{3}·\frac{a\sqrt{3}}{2}=1$,

$a\sqrt{3}=6$,

$a=2\sqrt{3}$

Punkt $D$ dzieli krawędź podstawy $AB$ na połowę, zatem odcinek $\left|DB\right|=\sqrt{3}$. Korzystając z twierdzenia Pitagorasatwierdzenie Pitagorasatwierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $DBE$ obliczymy wysokość graniastosłupa. Otrzymujemy

$h^2=9-3=6$,

$h=\sqrt{6}$.

Możemy obliczyć pole powierzchni całkowitej i objętość naszego graniastosłupa

$P_{pc}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+3ah=\frac{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2·\sqrt{3}}{2}+3·2\sqrt{3}·\sqrt{6}=6\sqrt{3}+18\sqrt{2}$.

$V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}·\sqrt{6}=9\sqrt{2}$.

Wiadomo, że prostokąt przedstawiony na rysunku jest jedną, ze ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego trójkątnego. Narysujemy jego siatkę oraz obliczymy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

R2WcjUG0h8mvQ

Na ilustracji przedstawiono prostokąt $ABCD$, którego krótszy bok ma długość pierwiastek drugiego stopnia z trzech. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie S. $\angle CSB$ wynosi 60 stopni.

Rozwiązanie

Na początku wyznaczymy wymiary prostokąta $ABCD$. Z danych przedstawionych na rysunku wynika, że trójkąt $CSB$ jest równoboczny (odcinki $SC$ i $CB$ są równe, bo przekątne w prostokącie dzielą się na połowy). Zatem przekątna prostokąta $ABCD$ jest równa $2\sqrt{3}$. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy wyliczyć długość drugiego boku prostokąta. Otrzymujemy

${\left|AB\right|}^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2=9$,

$\left|AB\right|=3$.

Jest wiele możliwości narysowania siatek tego graniastosłupa. Natomiast istnieją dwa różne graniastosłupy w zależności od tego, który z boków danego prostokąta weźmiemy za wysokość, a który za krawędź podstawy. Zobaczmy kilka przykładowych siatek. Obliczymy pola powierzchni tych graniastosłupów.

R1GtgG9GjSnjc

Na ilustracji przedstawiono trzy siatki graniastosłupa Długość krótszego boku prostokąta wynosi pierwiastek drugiego stopnia z trzech. Siatka numer jeden wygląda następująco. Na krótszych bokach prostokąta $ABCD$, czyli bokach $AD$ i $BC$ zbudowano trójkąty równoboczne. Na dwóch pozostałych bokach trójkąta zbudowanego na boku $BC$, zbudowano prostokąty. Siatka druga wygląda następująco. Na krótszych bokach prostokąta $ABCD$, czyli bokach $AD$ i $BC$ zbudowano trójkąty równoboczne. Na dwóch pozostałych bokach trójkąta zbudowanego na boku $AD$, zbudowano prostokąty. Siatka trzecia. Na krótszych bokach prostokąta $ABCD$, czyli bokach $AD$ i $BC$ zbudowano trójkąty równoboczne. Na bokach zawierających wierzchołek B, oraz D zbudowano dwa prostokąty.

R16mm8si1EoNt

Na ilustracji przedstawiono trzy siatki graniastosłupa. Długość krótszego boku prostokąta wynosi pierwiastek drugiego stopnia z trzech, natomiast długość dłuższego boku wynosi trzy. Siatka numer jeden wygląda następująco. Na dłuższych bokach prostokąta $ABCD$, czyli bokach $DC$ i $AB$ zbudowano trójkąty równoboczne. Na bokach zawierających wierzchołek D oraz B zbudowano dwa prostokąty. Siatka druga wygląda następująco. Na dłuższych bokach prostokąta $ABCD$, czyli bokach $DC$ i $AB$ zbudowano trójkąty równoboczne. Na dwóch pozostałych bokach trójkąta zbudowanego na boku $DC$, zbudowano prostokąty. Siatka trzecia. Na dłuższych bokach prostokąta $ABCD$, czyli bokach $DC$ i $AB$ zbudowano trójkąty równoboczne. Na dwóch pozostałych bokach trójkąta zbudowanego na boku $AB$, zbudowano prostokąty.

Dla pierwszego graniastosłupa krawędź podstawy jest równa $\sqrt{3}$ oraz wysokość $3$.

$P_{pc}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+3ah=\frac{3\sqrt{3}}{2}+9\sqrt{3}=\frac{21\sqrt{3}}{2}$.

Dla graniastosłupa na drugim rysunku krawędź podstawy jest równa $3$ oraz wysokość $\sqrt{3}$.

$P_{pc}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+3ah=\frac{9\sqrt{3}}{2}+9\sqrt{3}=\frac{27\sqrt{3}}{2}$.

Wskażemy, który z poniższych rysunków przedstawia siatkę z której można skleić graniastosłup prawidłowy trójkątny przedstawiony na rysunku poniżej.

R1Fg5fncI8TWm

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny. Zaznaczono wysokości trójkątów stanowiących podstawy graniastosłupa oraz połączono je odcinkiem przebiegającym wzdłuż ściany bocznej. Zaznaczono również odcinki prostopadłe do krawędzi podstawy, na dwóch sąsiednich ścianach bocznych.

Rozwiązanie

• Rysunek 1 przedstawia prawidłową siatkę. Po sklejeniu schemat odcinków na siatce odpowiada wyjściowemu schematowi odcinków na graniastosłupie.

• Rysunek 2 nie przedstawia prawidłowej siatki. Po sklejeniu schemat odcinków na siatce nie odpowiada wyjściowemu schematowi odcinków na graniastosłupie.

• Rysunek 3 nie przedstawia prawidłowej siatki. Po sklejeniu schemat odcinków na siatce nie odpowiada wyjściowemu schematowi odcinków na graniastosłupie.

graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt równoboczny

w dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta

jest równa iloczynowi pola podstawy przez wysokość

definiujemy jako sumę pól jego podstaw (dwa trójkąty równoboczne) i pola powierzchni bocznej (trzy przystające prostokąty); pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe polu jego siatki