Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny oraz jego przekrój. Wyznaczymy miarę kąta nachylenia tego przekroju do płaszczyzny podstawy.

R1FBjNYeS5rrY

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości 4, natomiast długość krawędzi bocznej wynosi osiem. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyznę stanowi trójkąt ograniczony dwoma przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka oraz przekątną podstawy.

Rozwiązanie:

Zaznaczmy na rysunku szukany kąt oraz wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RCaB1BeY7kNM4

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podsatwy długości 4, natomiast długość krawędzi bocznej wynosi osiem. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyznę stanowi trójkąt ograniczony dwoma przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka oraz przekątną podstawy. Zaznaczono wysokość trójkąta, której spodek znajduje się na przekątnej podstawy. Kąt nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy oznaczono alfa i jest on pomiędzy wysokością płaszczyzny przekroju a połową przekątnej kwadratu. Połowa przekątnej kwadratu wynosi x.

Zauważmy, że do wyznaczenia miary kąta $\alpha$ wystarczy rozpatrzeć trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku.

Ro49qzMvFUSTc

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości x i osiem. Kąt naprzeciw przyprostokątnej osiem oznaczono alfa.

Długość odcinka $x$ jest równa połowie długości przekątnej podstawy graniastosłupa, zatem:

$x=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

Wobec tego

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{8}{2\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{4}=2\sqrt{2}$

Zatem $\alpha \approx 70°$.

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy równej $3\sqrt{2}$. Obliczymy pole powierzchni i objętość tego graniastosłupa, jeżeli płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą kąt $60°$.

R1Ib6zukQvZbN

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono h. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyzna jest prostokątem. Boki prostokąta stanowią krawędzie podstaw graniastosłupa, oraz przekątne przeciwległych ścian bocznych graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Zaznaczmy na rysunku kąt nachylenia płaszczyzny przekroju do podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z zadania.

RXL87PZlCf21n

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono h. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyzna jest prostokątem. Boki prostokąta stanowią krawędzie podstaw graniastosłupa, oraz przekątne przeciwległych ścian bocznych graniastosłupa. Kąt nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy wynosi 60 stopni.

Z treści zadania wynika, że $a=3\sqrt{2}$.

Ponieważ narysowana płaszczyzna jest nachylona do płaszczyzny podstawy graniastosłupa pod kątem $60°$, to:

$h=a\sqrt{3}=3\sqrt{2}·\sqrt{3}=3\sqrt{6}$

Zatem pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z rysunku wynosi:

$P=2·a^2+4·a·h=2·{\left(3\sqrt{2}\right)}^2+4·3\sqrt{2}·3\sqrt{6}=36+72\sqrt{3}$

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z rysunku wynosi:

$V={\left(3\sqrt{2}\right)}^2·3\sqrt{6}=54\sqrt{6}$

Obliczymy miarę kąta nachylenia płaszczyzny przechodzącej przez przekątną podstawy i środek krawędzi bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym pole podstawy jest równe $20$, a objętość wynosi $80\sqrt{3}$.

Rozwiązanie:

Narysujmy graniastosłup prawidłowy czworokątny, odpowiednie płaszczyzny oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

Rrc3FLJN7Rmmm

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono h. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyznę stanowi trójkąt równoramienny , którego podstawą jest przekątna kwadratu a ramionami odcinki łączące wierzchołki podstawy z punktem zaznaczonym w połowie krawędzi bocznej leżącej na przeciwko przekątnej podstawy . Połowa przekątnej kwadratu wynosi x i łączy spodek wysokości przekroju trójkąta będący w punkcie przecięcia przekątnych kwadratu z wierzchołkiem leżącym pod środkiem krawędzi bocznej będącej wierzchołkiem przekroju. Kąt nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy oznaczono alfa.

Z treści zadania mamy następujące dane:

$P_p=20$ oraz $V=80\sqrt{3}$

Korzystając ze wzoru na objętość graniastosłupa, do wyznaczenia wartości $h$ rozwiązujemy równanie:

$80\sqrt{3}=20·h$

Zatem $h=4\sqrt{3}$.

Ponieważ pole podstawy graniastosłupa jest równe $20$, to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$20=a^2$

Czyli $a=2\sqrt{5}$ oraz

$x=\frac{2\sqrt{5}·\sqrt{2}}{2}=\sqrt{10}$

Wobec tego do wyznaczenia miary kąta $\alpha$ rozpatrujemy trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku:

RIB8VI1FHc29b

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości x i $\frac{1}{2}h$. Naprzeciw przyprostokątnej $\frac{1}{2}h$ znajduje się kąt alfa.

Zatem:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}h}}{x}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}·4\sqrt{3}}}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{30}}{5}$

Korzystając z tablic wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że $\alpha \approx 47°$.

Obliczymy miarę kąta nachylenia płaszczyzny przekroju graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, przechodzącej przez przekątną podstawy i wierzchołek górnej podstawy do płaszczyzny podstawy jeżeli wiadomo, że pole otrzymanego przekroju jest równe $40$, a krawędź podstawy graniastosłupa ma długość $6$.

Rozwiązanie:

Narysujmy graniastosłup prawidłowy czworokątny, opisany przekrój i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R1Iv1bhZa6eZa

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny o długości krawędzi podstawy oznaczonej literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono literą h. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyznę stanowi trójkąt ograniczony dwoma przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka oraz przekątną podstawy. Zaznaczono wysokość trójkąta oznaczoną literą t, której spodek znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych podstawy. Kąt nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy oznaczono alfa. Długość połowy przekątnej kwadratu wynosi x.

Niech $P_{△}$ będzie polem narysowanego przekroju graniastosłupa.

Z treści zadania wynika, że $a=6$ oraz $P_{△}=40$.

Zatem

$d=a\sqrt{2}=6\sqrt{2}$

$x=\frac{1}{2}d=3\sqrt{2}$

Jeżeli $P_{△}=40$, to do wyznaczenia wartości $t$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{2}·d·t=40$

$\frac{1}{2}·6\sqrt{2}·t=40$

$6\sqrt{2}·t=80$

$t=\frac{80}{6\sqrt{2}}=\frac{40}{3\sqrt{2}}=\frac{40\sqrt{2}}{6}=\frac{20\sqrt{2}}{3}$

Zatem do wyznaczenia miary kąta $\alpha$ rozpatrujemy trójkąt prostokątny tak, jak na poniższym rysunku:

R1YXweq6FQroY

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny o przyprostokątnej długości x i przeciwprostokątnej t. Naprzeciw nieoznaczonej przyprostokątnej znajduje się kąt alfa.

Wobec tego:

$\cos \alpha =\frac{x}{t}=\frac{3\sqrt{2}}{{\displaystyle \frac{20\sqrt{2}}{3}}}=\frac{9}{20}$

Korzystając z tablic wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że $\alpha \approx 63°$.

Obliczymy miary kątów nachylenia płaszczyzny przekroju graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z rysunku do ściany bocznej oraz płaszczyzny podstawy, jeżeli wiadomo, że krawędź podstawy ma długość $10$, krawędź boczna ma długość $16$, a zaznaczone punkty są środkami krawędzi graniastosłupa.

RghBNgmzS5b2k

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy równej 10 i krawędzi bocznej równej 16. Na dwóch krawędziach górnej podstawy równoległych do siebie zaznaczono środki tych krawędzi i połączono je z środkami krawędzi bocznych równoległych do siebie oraz prostopadłych do wspomnianych krawędzi podstawy. Powstały przekrój ma kształt prostokąta.

Rozwiązanie:

Niech $\alpha$ będzie kątem nachylenia podanej płaszczyzny przekroju do górnej podstawy graniastosłupa, a $\beta$ kątem nachylenia tej płaszczyzny do ściany bocznej graniastosłupa.

Do wyznaczenia miar szukanych kątów wystarczy rozpatrzeć trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku.

R1RoZz7adwHr9

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości osiem i pięć. Naprzeciw przyprostokątnej długości osiem znajduje się kąt alfa, natomiast naprzeciw przyprostokątnej równej 5, znajduje się kąt beta.

Zatem:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{8}{5}$, $\alpha \approx 58°$

$\mathrm{tg}\beta =\frac{5}{8}$, $\beta \approx 32°$

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $6$, a krawędź boczna $9$. Graniastosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy tak, że w przekroju otrzymano trapez, którego jedna podstawa jest trzy razy krótsza od drugiej. Obliczymy miarę kąta nachylenia przekroju do płaszczyzny podstawy graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Narysujmy graniastosłup prawidłowy czworokątny $ABCDA\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ oraz jego przekrój, będący trapezem $ACEF$. Otrzymany trapez jest równoramienny.

R9yhUzdPpjfiw

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny o podstawie dolnej $ABCD$ oraz górnej $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$. Długość krawędzi podstawy wynosi 6, natomiast długość krawędzi bocznej wynosi dziewięć. Na krawędzi $A\text{'}D\text{'}$ zaznaczono punkt F, natomiast na krawędzi $D\text{'}C\text{'}$ zaznaczono punkt E. Zaznaczono płaszczyznę przekroju łącząc punkty A, C, F, E, w taki sposób że powstał trapez.

Z zadania wiadomo, że krawędź podstawy graniastosłupa ma długość $6$, zatem $\left|AC\right|=6\sqrt{2}$.

Narysujmy odcinek $PS$, będący wysokością przekroju oraz zaznaczmy szukany kąt.

RSyPI2GcsD8sX

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny o podstawie dolnej $ABCD$ oraz górnej $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$. Długość krawędzi podstawy wynosi 6, natomiast długość krawędzi bocznej wynosi dziewięć. Na krawędzi $A\text{'}D\text{'}$ zaznaczono punkt F, natomiast na krawędzi $D\text{'}C\text{'}$ zaznaczono punkt E. Zaznaczono płaszczyznę przekroju łącząc punkty A, C, F, E, w taki sposób że powstał trapez. Z punktu S na odcinku $FE$ opuszczono wysokość trapezu, której spodek leży w punkcie P na przekątnej $AC$. Z punktu S poprowadzono także prostą prostopadłą do płaszczyzny podstawy w punkcie O. Kąt nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy oznaczono alfa.

Obliczmay długość odcinka $EF$:

$\left|EF\right|=\frac{1}{3}·6\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

Korzystając z trójkąta prostokątnego $CC\text{'}E$ wyznaczamy długość odcinka $CE$:

RCUtklWVRn4cY

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny $EC\text{'}C$ z kątem prostym przy wierzchołku C.

${\left|CC\text{'}\right|}^2+{\left|EC\text{'}\right|}^2={\left|CE\right|}^2$

Zauważmy, że $\left|EC\text{'}\right|=\frac{2}{3}·\left|C\text{'}D\text{'}\right|$.

$9^2+{\left(\frac{2}{3}·6\right)}^2={\left|CE\right|}^2$

${\left|CE\right|}^2=81+16=97\Rightarrow \left|CE\right|=\sqrt{97}$

Wobec tego obliczamy długość wysokości $PS$ trapezu $ACEF$. W tym celu ponownie użyjemy twierdzenia Pitagorasa.

${\left|PS\right|}^2={\left(\sqrt{97}\right)}^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2=97-8=89\Rightarrow \left|PS\right|=\sqrt{89}$

Do wyznaczenia miary kąta $\alpha$ użyjemy funkcji trygonometrycznej sinus, korzystając z trójkąta prostokątnego z rysunku:

RDR4BsGk5w5nP

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny $SOP$ z kątem prostym przy wierzchołku O oraz kątem alfa przy wierzchołku P.

Zatem:

$\sin \alpha =\frac{9}{\sqrt{89}}=\frac{9\sqrt{89}}{89}$

Wobec tego $\alpha \approx 72°$.

Miara kąta nachylenia przekroju do płaszczyzny podstawy graniastosłupa wynosi około $72°$.

graniastosłup, którego podstawą jest kwadrat, a ściany boczne są prostokątami

część przestrzeni ograniczona dwiema półpłaszczyznami o wspólnej krawędzi, wraz z tymi półpłaszczyznami