Przypomnijmy, jak wygląda model oraz za pomocą jakich wzorów, obliczamy pole powierzchni oraz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnegograniastosłup prawidłowy czworokątnygraniastosłupa prawidłowego czworokątnego.
R1aaqJKcKxyAA
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego przy oznaczeniach z rysunku wyraża się wzorem:
Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wyraża się wzorem:
Płaszczyzny przekrojów wraz ze ścianami tworzą kąty dwuściennekąt dwuściennykąty dwuścienne. Miarą każdego z tych kątów jest miara kąta płaskiego, który jest częścią wspólną kąta dwuściennego i płaszczyzny prostopadłej do krawędzi kąta dwuściennego.
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym możemy wyróżnić wiele kątów pomiędzy różnymi płaszczyznami, np.:
Kąt nachylenia płaszczyzny przekroju graniastosłupa prawidłowego czworokątnego przechodzącej przez krawędź podstawy i środki przeciwległych krawędzi bocznych do płaszczyzny podstawy graniastosłupa.
RgnjhkX8V4L8X
Kąt nachylenia płaszczyzny przekroju graniastosłupa prawidłowego czworokątnego przechodzącej przez przekątne przeciwległych ścian bocznych do płaszczyzny podstawy graniastosłupa.
RhTJquN7z8yPK
Kąt nachylenia płaszczyzny przekroju graniastosłupa prawidłowego czworokątnego przechodzącej przez przekątną dolnej podstawy i wierzchołek górnej podstawy do płaszczyzny podstawy graniastosłupa.
R13Mqvwe1Kgpl
Do wyznaczania miar kątów między płaszczyznami w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym będziemy używali wartości funkcji trygonometrycznych.
Przykład 1
Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny oraz jego przekrój. Wyznaczymy miarę kąta nachylenia tego przekroju do płaszczyzny podstawy.
R1FBjNYeS5rrY
Rozwiązanie:
Zaznaczmy na rysunku szukany kąt oraz wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.
RCaB1BeY7kNM4
Zauważmy, że do wyznaczenia miary kąta wystarczy rozpatrzeć trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku.
Ro49qzMvFUSTc
Długość odcinka jest równa połowie długości przekątnej podstawy graniastosłupa, zatem:
Wobec tego
Zatem .
Przykład 2
Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy równej . Obliczymy pole powierzchni i objętość tego graniastosłupa, jeżeli płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą kąt .
R1Ib6zukQvZbN
Rozwiązanie:
Zaznaczmy na rysunku kąt nachylenia płaszczyzny przekroju do podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z zadania.
RXL87PZlCf21n
Z treści zadania wynika, że .
Ponieważ narysowana płaszczyzna jest nachylona do płaszczyzny podstawy graniastosłupa pod kątem , to:
Zatem pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z rysunku wynosi:
Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z rysunku wynosi:
Przykład 3
Obliczymy miarę kąta nachylenia płaszczyzny przechodzącej przez przekątną podstawy i środek krawędzi bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym pole podstawy jest równe , a objętość wynosi .
Rozwiązanie:
Narysujmy graniastosłup prawidłowy czworokątny, odpowiednie płaszczyzny oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.
Rrc3FLJN7Rmmm
Z treści zadania mamy następujące dane:
oraz
Korzystając ze wzoru na objętość graniastosłupa, do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
Zatem .
Ponieważ pole podstawy graniastosłupa jest równe , to do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
Czyli oraz
Wobec tego do wyznaczenia miary kąta rozpatrujemy trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku:
RIB8VI1FHc29b
Zatem:
Korzystając z tablic wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że .
Przykład 4
Obliczymy miarę kąta nachylenia płaszczyzny przekroju graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, przechodzącej przez przekątną podstawy i wierzchołek górnej podstawy do płaszczyzny podstawy jeżeli wiadomo, że pole otrzymanego przekroju jest równe , a krawędź podstawy graniastosłupa ma długość .
Rozwiązanie:
Narysujmy graniastosłup prawidłowy czworokątny, opisany przekrój i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.
R1Iv1bhZa6eZa
Niech będzie polem narysowanego przekroju graniastosłupa.
Z treści zadania wynika, że oraz .
Zatem
Jeżeli , to do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
Zatem do wyznaczenia miary kąta rozpatrujemy trójkąt prostokątny tak, jak na poniższym rysunku:
R1YXweq6FQroY
Wobec tego:
Korzystając z tablic wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że .
Przykład 5
Obliczymy miary kątów nachylenia płaszczyzny przekroju graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z rysunku do ściany bocznej oraz płaszczyzny podstawy, jeżeli wiadomo, że krawędź podstawy ma długość , krawędź boczna ma długość , a zaznaczone punkty są środkami krawędzi graniastosłupa.
RghBNgmzS5b2k
Rozwiązanie:
Niech będzie kątem nachylenia podanej płaszczyzny przekroju do górnej podstawy graniastosłupa, a kątem nachylenia tej płaszczyzny do ściany bocznej graniastosłupa.
Do wyznaczenia miar szukanych kątów wystarczy rozpatrzeć trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku.
R1RoZz7adwHr9
Zatem:
,
,
Przykład 6
Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość , a krawędź boczna . Graniastosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy tak, że w przekroju otrzymano trapez, którego jedna podstawa jest trzy razy krótsza od drugiej. Obliczymy miarę kąta nachylenia przekroju do płaszczyzny podstawy graniastosłupa.
Rozwiązanie:
Narysujmy graniastosłup prawidłowy czworokątny oraz jego przekrój, będący trapezem . Otrzymany trapez jest równoramienny.
R9yhUzdPpjfiw
Z zadania wiadomo, że krawędź podstawy graniastosłupa ma długość , zatem .
Narysujmy odcinek , będący wysokością przekroju oraz zaznaczmy szukany kąt.
RSyPI2GcsD8sX
Obliczmay długość odcinka :
Korzystając z trójkąta prostokątnego wyznaczamy długość odcinka :
RCUtklWVRn4cY
Zauważmy, że .
Wobec tego obliczamy długość wysokości trapezu . W tym celu ponownie użyjemy twierdzenia Pitagorasa.
Do wyznaczenia miary kąta użyjemy funkcji trygonometrycznej sinus, korzystając z trójkąta prostokątnego z rysunku:
RDR4BsGk5w5nP
Zatem:
Wobec tego .
Miara kąta nachylenia przekroju do płaszczyzny podstawy graniastosłupa wynosi około .
Słownik
graniastosłup prawidłowy czworokątny
graniastosłup prawidłowy czworokątny
graniastosłup, którego podstawą jest kwadrat, a ściany boczne są prostokątami
kąt dwuścienny
kąt dwuścienny
część przestrzeni ograniczona dwiema półpłaszczyznami o wspólnej krawędzi, wraz z tymi półpłaszczyznami