Mówimy, że ciąg jest zdefiniowany rekurencyjnie, jeżeli:

• określony jest pewien skończony zbiór wyrazów tego ciągu (zwykle jest to pierwszy wyraz ciągu lub kilka jego pierwszych wyrazów),

• pozostałe wyrazy ciągu są  wyrażone  za pomocą poprzednich wyrazów tego ciągu.

Ciąg $\left(a_n\right)$ dla $n\ge 1$ określony jest wzorem ogólnym $a_n=\left(n-2\right)\left(n+2\right)$. Określimy ten ciąg rekurencyjnie.

Rozwiązanie

Zapisujemy najpierw wzór ciągu w prostszej postaci.

$a_n=\left(n-2\right)\left(n+2\right)$

$a_n=n^2-4$

Teraz obliczamy wartość pierwszego wyrazu ciągu.

$a_1=1-4=-3$

Wyznaczamy wyraz $a_{n+1}$.

$a_{n+1}={\left(n+1\right)}^2-4=n^2+2n+1-4$

Przekształcamy tak wyrażenie, aby wyraz $a_{n+1}$ zapisać w zależności od wyrazu $a_n$.

$a_{n+1}=\left(n^2-4\right)+2n+1$

$a_{n+1}=a_n+2n+1$

Zapisujemy wzór rekurencyjny ciągu.

$\left\{\begin{array}{l}{a}_1=-3\\ a_{n+1}=a_n+2n+1,n\ge 1\end{array}\right.$

W historii matematyki ważną rolę odgrywa ciąg liczbowy $\left(j_n\right)$, zwany ciągiem Jacobsthal – Lucasa, nazwany tak na cześć dwóch znamienitych dziewiętnastowiecznych matematyków – Niemca Ernsta Jacobsthala i Francuza Eduarda Lucasa.

Początkowe wyrazy tego ciągu to:

$2$, $1$, $5$, $7$, $17$, $31$, $65$, $127$, $257$, $511$, $1025$, $2047$, $4097$, $8191$, $16385$, $32767$, $65537$, $131071$, $262145$, $524287$, $1048577$,……

Wzór ogólny ciągu: $j_n=2^n+{\left(-1\right)}^n$ dla $n\ge 0$.

Znajdziemy wzór rekurencyjny tego ciągu.

Rozwiązanie

Znajdujemy pierwszy wyraz ciągu, czyli w tym przypadku wyraz $j_0$, oraz drugi wyraz ciągu, czyli $j_1$.

$j_0=2^0+{\left(-1\right)}^0=2$

$j_1=2^1+{\left(-1\right)}^1=1$

Wyznaczamy wyraz $j_{n+1}$.

$j_{n+1}=2^{n+1}+{\left(-1\right)}^{n+1}$

Przekształcamy tak wyrażenie, aby wyraz $j_{n+1}$ zapisać w zależności od wyrazu $j_n$.

$j_{n+1}=2\cdot 2^n+\left(-1\right)\cdot {\left(-1\right)}^n+2\cdot {\left(-1\right)}^n-2\cdot {\left(-1\right)}^n$

$j_{n+1}=\left[2\cdot 2^n+2\cdot \left(-1\right){}^n\right]-3\cdot {\left(-1\right)}^n$

$j_{n+1}=2\cdot j_n-3\cdot {\left(-1\right)}^n$

Zapisujemy wzór rekurencyjny ciągu.

$\left\{\begin{array}{l}{j}_0=2\\ j_1=1\\ j_{n+1}=2j_n-3\cdot {\left(-1\right)}^n,n\ge 1\end{array}\right.$

Ciąg $\left(a_n\right)$ określony jest dla $n\ge 1$ wzorem ogólnym $a_n=\frac{1}{n+1}$. Podamy przykład wzoru rekurencyjnego tego ciągu.

Rozwiązanie

Wyznaczamy pierwszy wyraz tego ciągu.

$a_1=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

Zapisujemy wyraz $a_{n+1}$.

$a_{n+1}=\frac{1}{n+1+1}$

Przekształcamy tak wyrażenie, aby wyraz $a_{n+1}$ zapisać w zależności od wyrazu $a_n$.

$a_{n+1}=\frac{1}{n+1+1}=\frac{1}{\frac{1}{a_n}+1}$

$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$

Zapisujemy wzór rekurencyjny ciągu.

$\left\{\begin{array}{l}{a}_1=\frac{1}{2}\\ a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n},n\ge 1\end{array}\right.$

Na rysunku przedstawiono wykres skończonego ciągu $\left(a_n\right)$. Opiszemy ten ciąg wzorem rekurencyjnym.

Re2NNyP8A80Y3

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią n od zera do dziewięciu oraz z pionową osią $a_n$ od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono następujące punkty: $\left(0;4\right), \left(1;3,2\right), \left(2;2,4\right), \left(3;1,6\right), \left(4;0,8\right), \left(5;0\right), \left(6;-0,8\right), \left(7;-1,6\right), \left(8;-2,4\right)$.

Rozwiązanie

Zauważmy, że wyrazy ciągu leżą na prostej.

R57xcRmVuR56J

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią n od zera do dziewięciu oraz z pionową osią $a_n$ od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano ukośną prostą przechodzącą przez dwa zaznaczone punkty: $\left(0;4\right), \left(5;0\right)$.

Wyznaczymy najpierw równanie tej prostej.

Zapisujemy równanie prostej w postaci kierunkowej.

$y=ax+b$, gdzie $a$, $b$ to współczynniki liczbowe.

Odczytujemy z wykresu współrzędne dwóch punktów należących do tej prostej, np. $\left(0,4\right)$ i $\left(5,0\right)$ i podstawiamy do równania prostej.

$4=a\cdot 0+b$ i $0=a\cdot 5+b$.

Stąd

$b=4$ i $a=-\frac{4}{5}$, czyli $y=-\frac{4}{5}x+4$.

Wzór ogólny ciągu:

$a_n=-0,8n+4$, gdzie $n\in \left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\right\}$.

Teraz możemy przystąpić do wyznaczania wzoru rekurencyjnego. Odczytujemy z wykresu wyraz $a_0$.

$a_0=4$

Obliczamy wyraz $a_1$.

$a_1=-0,8\cdot 1+4=3,2$

Obliczamy $a_{n+1}$ i przekształcamy.

$a_{n+1}=-0,8\left(n+1\right)+4=-0,8n+4-0,8$

$a_{n+1}=a_n-0,8$

Wzór rekurencyjny:

$\left\{\begin{array}{l}{a}_0=4\\ a_1=3,2\\ a_{n+1}=a_n-0,8, 1\le n\le 7\end{array}\right.$

Podobnie jak wzór ogólny ciągu, wzór rekurencyjny można wyznaczać różnymi sposobami. W zależności od użytego sposobu, ten sam ciąg można opisać różnymi wzorami rekurencyjnymi.

Określimy dwoma sposobami wzór rekurencyjny ciągu opisanego słownie:

każdej liczbie naturalnej dodatniej przyporządkowany jest jej kwadrat.

Rozwiązanie

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu: $a_n=n^2$.

Wyznaczamy wyraz pierwszy:  $a_1=1$ oraz wyraz $a_{n+1}$.

$a_{n+1}={\left(n+1\right)}^2=n^2+2n+1$.

Ciąg określimy rekurencyjnie na podstawie różnicy:

$a_{n+1}-a_n=n^2+2n+1-n^2=2n+1$.

Otrzymujemy wzór rekurencyjny.

$\left\{\begin{array}{l}{a}_1=1\\ a_{n+1}=a_n+2n+1, n\ge 1\end{array}\right.$

Wzór rekurencyjny można też uzyskać na podstawie ilorazu.

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{{\left(n+1\right)}^2}{n^2}={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^2$

Teraz otrzymujemy nieco inny wzór rekurencyjny.

$\left\{\begin{array}{l}{a}_1=1\\ a_{n+1}={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^2\cdot a_n, n\ge 1\end{array}\right.$

mówimy, że ciąg jest zdefiniowany rekurencyjnie, jeżeli:

• określony jest pewien  skończony zbiór wyrazów tego ciągu (zwykle jest to pierwszy wyraz ciągu lub kilka jego pierwszych wyrazów),

• pozostałe wyrazy ciągu są wyrażone  za pomocą poprzednich wyrazów tego ciągu