Rozważmy równanie kwadratowe $a{x}^2+bx+c=0$, $a\ne 0$.

1. Jeżeli $∆>0$, to równanie ma dwa pierwiastki $x_1=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a}$, $x_2=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a}$.

2. Jeżeli $∆=0$, to równanie ma jeden pierwiastek, nazwany podwójnym pierwiastkiem $x_0=\frac{-b}{2a}$.

3. Jeżeli $∆<0$, to równanie nie ma pierwiastków.

Rozwiążemy równanie kwadratowerównanie kwadratowerównanie kwadratowe $\frac{1}{2}{x}^2-2x+\frac{3}{2}=0$.

Współczynniki trójmianu kwadratowego to $a=\frac{1}{2}$, $b=-2$, $c=\frac{3}{2}$.

Obliczymy $∆$.

$∆=b^2-4ac$

$∆={\left(-2\right)}^2-4·\frac{1}{2}·\frac{3}{2}=4-3=1\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{1}=1$

Ponieważ $∆>0$ zatem równanie ma dwa rozwiązania.

$x_1=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a}$

$x_1=\frac{-\left(-2\right)-1}{2·\frac{1}{2}}$

$x_1=1$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a}$

$x_2=\frac{-\left(-2\right)+1}{2·\frac{1}{2}}$

$x_2=3$

Rozwiązania równania to liczby   $1,3$.

Obliczymy pierwiastki równania $5x^2-2\sqrt{5}x+1=0$ (o ile istnieją) z dokładnością do $\mathrm{0,01}$.

Współczynniki trójmianu kwadratowego to $a=5$, $b=-2\sqrt{5}$, $c=1$.

Obliczymy $∆$.

$∆=b^2-4ac$

$∆={\left(-2\sqrt{5}\right)}^2-4·5·1=20-20=0$

Ponieważ $∆=0$ zatem równanie posiada jeden pierwiastek podwójny.

$x_0=\frac{-b}{2a}$

$x_0=\frac{-\left(-2\sqrt{5}\right)}{2·5}$

$x_0=\frac{\sqrt{5}}{5}\approx \mathrm{0,45}$

Równanie posiada jeden pierwiastek podwójny $x_0\approx \mathrm{0,45}$.

Obliczymy, jeżeli istnieją, pierwiastki równaniapierwiastki równaniapierwiastki równania $2\sqrt{3}{x}^2+3x+\sqrt{3}=0$.

Współczynniki trójmianu kwadratowego to $a=2\sqrt{3}$, $b=3$, $c=\sqrt{3}$.

Obliczymy $∆$.

$∆=b^2-4ac$

$∆=3^2-4·2\sqrt{3}·\sqrt{3}=9-24=-15$

Ponieważ $∆<0$ zatem równanie nie posiada rzeczywistych pierwiastków.

Obliczymy zbiór rozwiązań równania kwadratowego ${\left(3x-1\right)}^2={\left(x+2\right)}^2$.

Najpierw doprowadzimy równanie do najprostszej postaci. W tym celu zastosujemy wzory skróconego mnożenia.

${\left(3x-1\right)}^2={\left(x+2\right)}^2$

$9x^2-6x+1=x^2+4x+4$

$8x^2-10x-3=0$

Współczynniki trójmianu kwadratowego to $a=8$, $b=-10$, $c=-3$.

Obliczymy $∆$.

$∆=b^2-4ac$

$∆={\left(-10\right)}^2-4·8·\left(-3\right)=100+96=196\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{196}=14$

Ponieważ $∆>0$ zatem równania posiada dwa pierwiastki $x_1=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a}$, $x_2=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a}$.

$x_1=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a}$

$x_1=\frac{-\left(-10\right)-14}{2·8}$

$x_1=\frac{-1}{4}$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a}$

$x_2=\frac{-\left(-10\right)+14}{2·8}$

$x_2=\frac{3}{2}$

Rozwiązaniami  równania są liczby  $-\frac{1}{4},\frac{3}{2}$.

Wyznaczymy współrzędne punktów  przecięcia wykresu funkcji $f\left(x\right)=x^2+\left(3-\sqrt{2}\right)x-3\sqrt{2}$ z osią $X$ układu współrzędnych.

Aby obliczyć punkty przecięcia wykresu funkcji z osią $X$ należy obliczyć, dla jakich argumentów $x$, $f\left(x\right)=0$.

$x^2+\left(3-\sqrt{2}\right)x-3\sqrt{2}=0$

Współczynniki trójmianu kwadratowego to $a=1$, $b=\left(3-\sqrt{2}\right)$, $c=-3\sqrt{2}$.

Obliczymy wyróżnik  równania.

$∆={\left(3-\sqrt{2}\right)}^2-4·1·\left(-3\sqrt{2}\right)=9-6\sqrt{2}+2+12\sqrt{3}=11+6\sqrt{2}$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{11+6\sqrt{2}}=\sqrt{{\left(3+\sqrt{2}\right)}^2}=\left|3+\sqrt{2}\right|=3+\sqrt{2}$

$x_1=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a}$

$x_1=\frac{-3+\sqrt{2}-3-\sqrt{2}}{2·1}$

$x_1=-3$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a}$

$x_2=\frac{-3+\sqrt{2}+3+\sqrt{2}}{2·1}$

$x_2=\sqrt{2}$

Czyli punkty przecięcia z osią $X$ to $\left(-3, 0\right)$ i $\left(\sqrt{2}, 0\right)$.

równanie $a{x}^2+bx+c=0$ dla $a\ne 0$

liczby spełniające równanie