Funkcja liczbowa $f:X\to Y$ jest funkcją stałą w zbiorze $A$, $A\subset X$, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych  argumentów $x_1$, $x_2$, należących do zbioru $A$ zachodzi równość

Funkcja $f\left(x\right)=5$ opisana jest za pomocą wykresu.

R7RfnERjyDJfd

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu i pionową osią y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczona została pozioma prosta, która jest równoległa do osi x i przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 5, zamknięcie nawiasu.

Pokażemy, że funkcja $f$ jest funkcją stałą.

Rozwiązanie:

Obserwując wykres funkcji zauważamy, że wraz ze wzrostem argumentów wartości funkcji $f$ nie zmieniają się.

Odczytajmy z wykresu wartości funkcji dla argumentów: $\left(-2\right)$, $1$.

$f\left(-2\right)=5$

$f\left(1\right)=5$

Z nierówności $-2<1$ wynika równość $f\left(-2\right)=f\left(1\right)$.

Możemy wybrać inną parę argumentów. Np. $\left(-1\right)$ i $2$ i podobnie odczytać z wykresu wartości funkcji.

$f\left(-1\right)=5$

$f\left(2\right)=5$

Z nierówności $-1<0$ wynika równość $f\left(-1\right)=f\left(2\right)$.

Przypuszczamy, że funkcja $f$ jest funkcją stałą.

Na podstawie wzoru funkcji wnioskujemy, że dla każdych dwóch różnych argumentów, wartości funkcji są takie same. Zatem istotnie, funkcja jest stała.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\left\{\left(-5, 2\right), \left(-4, 2\right), \left(-3, 2\right), \left(-2, 2\right), \left(1, 2\right), \left(2, 2\right)\right\}$.

Pokażemy, że funkcja $f$ jest funkcją stałą.

Rozwiązanie:

Z nierówności $-5<-4$ wynika równość $\left(f\left(-5\right)=2\right)=\left(f\left(-4\right)=2\right)$.

Z nierówności $-3<2$ wynika równość $\left(f\left(-3\right)=2\right)=\left(f\left(2\right)=2\right)$.

Analizując zbiór par uporządkowanych zauważamy, że również w pozostałych przypadkach  wraz ze wzrostem argumentów nie zmienia się wartość funkcji.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ jest funkcją stałą.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

Pokażemy, że funkcja $f$ jest funkcją stałąfunkcja stałafunkcją stałą.

Rozwiązanie:

Analizując tabelkę opisującą funkcję $f$ zauważamy, że wzrost argumentu nie powoduje zmiany wartości funkcji. Np.

• z nierówności $-4<0$ wynika równość $\left(f\left(-4\right)=8\right)=\left(f\left(0\right)=8\right)$;

• z nierówności $1<5$ wynika równość $\left(f\left(1\right)=8\right)>\left(f\left(5\right)=8\right)$.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ jest funkcją stałą.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left|2x-6\right|-\left|2x+8\right|$, gdy $x\in ⟨4, 10⟩$.

Korzystając z definicji wykażemy, że funkcja $f$ jest funkcją stałą.

Rozwiązanie:

Sprawdzimy, jaki znak mają wyrażenia, znajdujące się pod znakiem wartości bezwzględnej, gdy $x\in ⟨4, 10⟩$.

$2x-6\ge 0$ oraz $2x+8\ge 0$

$2x\ge 6$ oraz $2x\ge -8$

$x\ge 3$ oraz $x\ge -4$

Dla $x\in ⟨4, 10⟩$ oba wyrażenia są nieujemne.

Przekształcimy wzór funkcji $f$.

$f\left(x\right)=(2x-6)-(2x+8)=2x-6-2x-8=-14$

Dla każdego $x\in ⟨4, 10⟩$ wartość funkcji jest stała i równa $\left(-14\right)$.

Pokazaliśmy więc, że funkcja $f$ jest funkcją stałąfunkcja stałafunkcją stałą.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

1. $f\left(x\right)=\frac{\left|x-4\right|}{x-4}$, gdy $x\in \left(-\infty , 4\right)$,

2. $f\left(x\right)=\frac{\left|x-4\right|}{x-4}$, gdy $x\in \left(4, \infty \right)$,

3. $f\left(x\right)=\frac{\left|x-4\right|}{x-4}$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{4\right\}$.

Sprawdzimy, czy funkcja $f$ jest funkcją stałą.

Rozwiązanie:

1. Założenie: $f\left(x\right)=\frac{\left|x-4\right|}{x-4}$, $x_1,x_2\in \left(-\infty , 4\right)$ oraz $x_1<x_2$
   Teza: $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$
   Dowód:
   Obliczamy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$ i $x_2$.
   $f\left(x_1\right)=\frac{\left|x_1-4\right|}{x_1-4}$
   $f\left(x_2\right)=\frac{\left|x_2-4\right|}{x_2-4}$
   Obliczamy różnicę wartości funkcji: $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$.
   Możemy zauważyć, że $x-4<0$ dla $x\in \left(-\infty , 4\right)$.
   $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{\left|x_1-4\right|}{x_1-4}-\left(\frac{\left|x_2-4\right|}{x_2-4}\right)=\frac{\left|x_1-4\right|}{x_1-4}-\frac{\left|x_2-4\right|}{x_2-4}=$
   $=\frac{-\left(x_1-4\right)}{x_1-4}-\frac{-\left(x_2-4\right)}{x_2-4}=-1+1=0$
   Dla dowolnych dwóch liczb $x_1$, $x_2$ należących do przedziału $\left(-\infty , 4\right)$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika równość $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$.
   Zatem funkcja $f$ jest stała w przedziale $\left(-\infty , 4\right)$.

2. Założenie: $f\left(x\right)=\frac{\left|x-4\right|}{x-4}$, $x_1,x_2\in \left(4, \infty \right)$ oraz $x_1<x_2$
   Teza: $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$
   Dowód:
   Obliczamy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$ i $x_2$.
   $f\left(x_1\right)=\frac{\left|x_1-4\right|}{x_1-4}$
   $f\left(x_2\right)=\frac{\left|x_2-4\right|}{x_2-4}$
   Obliczamy różnicę wartości funkcji:
   $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$.
   Możemy zauważyć, że $x-4>0$ dla $x\in \left(4, \infty \right)$.
   $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{\left|x_1-4\right|}{x_1-4}-\left(\frac{\left|x_2-4\right|}{x_2-4}\right)=\frac{\left|x_1-4\right|}{x_1-4}-\frac{\left|x_2-4\right|}{x_2-4}=$
   $=\frac{\left(x_1-4\right)}{x_1-4}-\frac{\left(x_2-4\right)}{x_2-4}=1-1=0$
   Dla dowolnych dwóch liczb $x_1$, $x_2$ należących do przedziału $\left(4, \infty \right)$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika równość $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$.
   Zatem funkcja $f$ jest stała w przedziale $\left(4, \infty \right)$.

3. W poprzednich podpunktach wykazaliśmy, że funkcja $f$ jest stała w przedziale $\left(-\infty , 4\right)$ oraz w przedziale $\left(4, \infty \right)$. Sprawdzimy, czy jest stała w sumie przedziałów.
   Weźmy dwa argumenty funkcji $f$ należące do zbioru $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{4\right\}$,
   $x_1=-5$ oraz $x_2=5$.
   I obliczmy wartości funkcji dla tych argumentów:
   $f\left(-5\right)=-1$ oraz $f\left(5\right)=1$.
   Okazuje się, że $x_1<x_2$, ale $f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right)$.
   Stąd funkcja $f$ nie jest stała w zbiorze $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{4\right\}$.

funkcja jest stała, jeżeli ze wzrostem argumentów wartości funkcji są takie same