Przeczytaj

Objętość sześcianu o krawędzi $a$ wyraża się wzorem:

V = a^{3}

Przykład 1

Niech będzie dany sześcian o przekątnej ścianyprzekątna ścianyprzekątnej ściany bocznej $p$ . Wyrazimy objętość sześcianu za pomocą długości tej przekątnej.

Rozwiązanie

Mamy $p = a \sqrt{2}$ .

Czyli $a = \frac{p}{\sqrt{2}} = \frac{p \sqrt{2}}{2}$ .

A zatem $V = {(\frac{p \sqrt{2}}{2})}^{3} = \frac{2 p^{3} \sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{4} p^{3}$ .

Oczywiście, jeżeli zwiększymy (odpowiednio zmniejszymy) krawędź sześcianu to jego objętość również się zwiększy (odpowiednio zmniejszy).

Przykład 2

Sprawdzimy, jak zmieni się objętość sześcianu, którego krawędź zmniejszymy trzykrotnie.

Rozwiązanie

Oznaczmy krawędź początkowego sześcianu przez $a$ .

Wówczas objętość tego sześcianu wynosi $V_{1} = a^{3}$ .

Krawędź zmniejszonego sześcianu wynosi więc $\frac{1}{3} a$ , a zatem objętość tego sześcianu wynosi $V_{2} = {(\frac{1}{3} a)}^{3} = \frac{1}{27} a^{3} = \frac{1}{27} V_{1}$ .

Czyli objętość sześcianu zmniejszyła się $27$ –krotnie.

Zauważmy, że jeżeli zwiększymy (odpowiednio zmniejszymy) krawędź sześcianu $k$ –krotnie, to jego objętość zwiększy się (odpowiednio zmniejszy się) $k^{3}$ –krotnie.

Znając objętość sześcianu możemy obliczyć długości odcinków w tym sześcianie.

Przykład 3

Obliczymy sumę długości krawędzi sześcianu, którego objętość wynosi $81 \sqrt{3}$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że $81 \sqrt{3} = 27 \cdot 3 \sqrt{3} = {(3)}^{3} \cdot {(\sqrt{3})}^{3} = {(3 \sqrt{3})}^{3}$ .

Mamy więc $a^{3} = {(3 \sqrt{3})}^{3}$ .

A stąd $a = 3 \sqrt{3}$ .

Suma długości krawędzi tego sześcianu wynosi więc $12 a = 36 \sqrt{3}$ .

Objętość sześcianu można również obliczyć, mając daną długości odcinków lub miary kątów w sześcianie.

Przykład 4

Odcinek $C S$ zaznaczony w sześcianie na rysunku ma długość $12$ . Punkt $S$ jest środkiem krawędzi $F E$ .

R142PkAjh3pPx

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H. Bryła ta leży na podstawie A B C D, natomiast podstawą górną jest kwadrat E F G H. Z wierzchołka C poprowadzony został odcinek dzielący krawędź F E w punkcie S na dwie równe części.

Obliczymy objętość tego sześcianu.

Rozwiązanie

Zrzutujmy punkt $S$ na podstawę.

R1KLNqrY6edjm

Powstały trójkąt $S I C$ jest prostokątny.

Obliczymy najpierw długość $x$ w zależności od $a$ .

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $I B C$ .

Mamy zatem ${(\frac{a}{2})}^{2} + a^{2} = x^{2}$ .

Czyli $x^{2} = \frac{5}{4} a^{2}$ , a stąd $x = \frac{\sqrt{5}}{2} a$ .

Obliczymy teraz długość krawędzi sześcianu $a$ z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $S I C$ : $a^{2} + \frac{5}{4} a^{2} = 12^{2}$ .

A zatem $\frac{9}{4} a^{2} = 144$ .

Mamy więc $a^{2} = 64$ i ostatecznie $a = 8$ .

Objętość sześcianu wynosi $V = 8^{3} = 512$ .

Przykład 5

Na krawędzi $A E$ sześcianu $A B C D E F G H$ wybrano punkt $I$ w taki sposób, że $|∢ A C I| = 30 °$ . Wiemy, że $|C I| = b$ . Wyznaczymy objętość sześcianu w zależności od $b$ .

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy:

RgRAaEGpqnkex

Trójkąt $A C I$ jest prostokątny.

Możemy skorzystać z funkcji trygonometrycznych, aby obliczyć długość $A C$ w zależności od $b$ .

Mamy więc $\cos 30 ° = \frac{|A C|}{b}$ .

A stąd $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{|A C|}{b}$ i ostatecznie $|A C| = \frac{b \sqrt{3}}{2}$ .

Obliczmy długość krawędzi sześcianu.

Wiemy, że $|A C| = |A B| \sqrt{2}$ . Czyli $|A B| = \frac{|A C| \sqrt{2}}{2}$ .

Podstawiając w miejsce $|A C|$ wcześniejsze wyrażenie mamy $|A B| = \frac{b \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{b \sqrt{6}}{4}$ .

Możemy już obliczyć objętość tego sześcianu w zależności od $b$ : $V = {(\frac{b \sqrt{6}}{4})}^{3} = \frac{b^{3} \cdot 6 \sqrt{6}}{64} = \frac{3 b^{3} \sqrt{6}}{32}$ .

Słownik

przekątna ściany

odcinek łączący dwa wierzchołki tej samej ściany nie będący jej krawędzią

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Słownik