Przeczytaj
Powiemy, że wektory i są przeciwne, gdy mają równe długościdługości, ten sam kierunekkierunek, ale przeciwne zwroty.
Wektor przeciwny do wektora oznaczamy .
W związku z powyższym oznacza, że wektory i są przeciwne.
Możemy zapisać:
Wektory przeciwneWektory przeciwne, tak jak w przypadku każdego innego wektora, możemy zaczepić w dowolnym punkcie, co oznacza, że możemy wybrać dowolny, wygodny do obliczeń punkt rozpatrywanej przestrzeni, do którego przesuniemy wektor. Punkt zaczepienia będzie stanowił początek badanego wektora.
Wektory i są wektorami przeciwnymi, co ilustruje poniższy rysunek. Możemy zanotować .
Zwróćmy uwagę, że jeśli wektory i są przeciwne, to i są wektorami równymi, a zatem .
Wypiszemy teraz kilka par wektorów przeciwnych wyznaczonych przez wierzchołki równoległoboku. Wektorami przeciwnymi są na przykład i , i , i , i . Możemy zapisać ten fakt z użyciem znaków równości: , , , .
Rozważmy sześciokąt foremny . Punkt przecięcia dłuższych przekątnych sześciokąta oznaczmy literą . Z własności sześciokąta foremnego wynika, że odcinki , , są równoległe. Tę samą własność mają odcinki , , . Równoległe są również odcinki , i . Ponadto wiadomo, że każdy z trójkatów , , , , i jest równoboczny i przystający do pozostałych.
Wówczas:
wektory i nie są przeciwne, ponieważ mają różne długości, pomimo że mają ten sam kierunek i przeciwne zwroty,
wektory i nie są przeciwne, ponieważ mają zgodne zwroty, pomimo że mają ten sam kierunek i tę samą długość,
wektory i nie są przeciwne, ponieważ wektory mają różne kierunki, pomimo że mają tę samą długość.
Dany jest czworokąt wypukły . Niech , , , będą odpowiednio środkami boków , , , tego czworokąta. Uzasadnimy, że wektory i są przeciwne.
Uzasadnienie
Zauważmy, że odcinek jest linią środkową trójkąta (łączy środki boków i trójkąta ), zaś odcinek jest linią środkową trójkątalinią środkową trójkąta (łączy środki boków i trójkąta ). Z twierdzenia o linii środkowej trójkąta wiemy, że jest ona równoległa do trzeciego boku trójkąta i jej długość jest połową długości trzeciego boku. Ponieważ każdy z odcinków i jest równoległy do odcinka i ich długości są równe połowie długości odcinka , więc wektory i są zawarte w równoległych odcinkach. Mają więc ten sam kierunek oraz równe długości. Z uporządkowania punktów i oraz i widzimy, że zwroty wektorów i są przeciwne. Zatem wektory i są przeciwne.
Uzasadnimy, że wybrane pary wektorów są parami wektorów przeciwnych.
Zauważmy, że aby przemieścić się z punktu do punktu wystarczy przesunąć się o dwie jednostki w lewo i trzy jednostki w dół. Dokładnie taki sam ruch pozwala przemieścić się z punktu do punktu . Oznacza to, że wektory i są równoległe (mają to samo nachylenie do poziomych lini siatki) i mają równe długości (wynika to np. z twierdzenia Pitagorasa lub przystawania odpowiednich trójkątów prostokątnych). Kierunki ruchu od punktów początkowych do końcowych wskazują też, że te wektory mają takie same zwroty. Zatem wektory i są równe, a wektory i są przeciwne.
Zwróćmy uwagę, że aby dostać się z punktu do punktu możemy wykonać przesunięcie o trzy jednostki w prawo i jedną jednostkę w dół. Dokładnie taka sama sekwencja ruchów pozwala przemieścić się z punktu do punktu oraz z punktu do punktu . Argumenty analogiczne jak w poprzednim przypadku pozwalają stwierdzić, że wektory , i są równe. Wynika stąd, że wektor jest przeciwny do wektorów i .
Zauważmy jeszcze, że wektory i są wektorami przeciwnymi - z powodów podobnych do powyższych.
Romb i trapez można podzielić na przystające trójkąty równoboczne , , , , . Wypiszemy przykładowe pary wektorów przeciwnych.
Zauważmy, że przeciwne są m. in. wektory w następujących parach:
i
i
i
i
i
i
i .
Słownik
wektory, które mają ten sam kierunek, równe długości i przeciwne zwroty
prosta, na której leżą początek i koniec niezerowego wektora
odległość początku wektora od jego końca
odcinek łączący punkty będące środkami dwóch boków trójkąta, linia środkowa trójkąta jest równoległa do trzeciego boku trójkąta, a jej długość jest równa połowie długości tego boku