Warto przeczytać

Najpowszechniej występującym układem wykonującym drgania jest oscylator harmonicznyoscylator harmonicznyoscylator harmoniczny. Wynika to z faktu, że jeżeli jakikolwiek układ wychylimy ze stanu równowagi trwałej, pojawi się siła, która będzie próbować ten stan równowagi przywrócić. A przy niewielkim wychyleniu, siła ta zwykle jest proporcjonalna do wychylenia, dokładnie tak, jak w oscylatorze harmonicznym. W rzeczywistości jednak, samo spowodowane początkowego wychylenia często nie wystarczy, żeby drgania trwały. Wynika to z obecności sił oporu, które rozpraszając energię, hamują ruch, zmniejszając amplitudęamplitudaamplitudę drgań. Drgania możemy utrzymać za pomocą wymuszenia, czyli zewnętrznej siły oddziałującej na układ drgający. By drgania były periodyczne, siła wymuszająca również musi być periodyczna.

Najłatwiej to zrozumieć na przykładzie znanej zabawki – piłeczki zawieszonej na elastycznej gumce (Rys. 1.). Jeśli jest ona przymocowana do nieruchomego haczyka i wychylona z położenia równowagi, wykonuje drgania, poruszając się w górę i w dół z określoną częstotliwościączęstotliwośćczęstotliwością fIndeks dolny 0₀, zwaną częstotliwością własną. Gdy gumkę z piłeczką weźmiemy w rękę i zaczniemy wykonywać powolne ruchy periodyczne w górę i w dół, piłeczka podążając za ręką, zacznie drgać z taką samą częstotliwością, jak ręka, ale maksymalne wychylenie piłeczki (amplituda) będzie niewielkie (Rys. 1a).). Gdy częstotliwość drgań ręki zwiększa się, amplituda drgań piłeczki wzrasta, osiągając maksimum przy częstotliwości drgań ręki równej częstotliwości drgań własnych piłeczki fIndeks dolny 0₀ (Rys. 1b).). Przy dalszym zwiększaniu częstotliwości drgań ręki, amplituda oscylacji piłeczki znów zmniejsza się (Rys. 1c).).

Jeśli wykonasz opisane tu doświadczenie zauważysz, że w początkowym okresie działania siły wymuszającej mogą wystąpić drgania nieustalone, czyli nieregularny ruch, podczas którego układ wymuszany (piłeczka) stopniowo dopasowuje się do wymuszenia (do ruchów ręki).

RXMc95K7mRnfN

Rys. 1. Rysunek przedstawia symbolicznie białą piłeczkę zawieszoną na elastycznej gumce przyczepionej do palca dłoni. Dla drgań dłoni z częstotliwością znacznie mniejszą od rezonansowej piłeczka drga słabo (z niewielką amplitudą). Rysunek przedstawia symbolicznie białą piłeczkę zawieszoną na elastycznej gumce przyczepionej do palca dłoni. Dla drgań dłoni z częstotliwością równą rezonansowej piłeczka drga mocno (z dużą amplitudą). Rysunek przedstawia symbolicznie białą piłeczkę zawieszoną na elastycznej gumce przyczepionej do palca dłoni. Dla drgań dłoni z częstotliwością znacznie większej od rezonansowej piłeczka drga słabo (z niewielką amplitudą).

Podsumujmy wnioski z tych obserwacji.

1. Częstotliwość drgań wymuszonych jest zawsze równa częstotliwości siły wymuszającej.

2. Amplituda drgań wymuszonych jest tym większa, im częstotliwość siły wymuszającej jest bliższa częstotliwości własnej układu.

Istnieje pewna wartość częstotliwości, przy której układ wymuszany drga z maksymalną amplitudą. Taką częstotliwość nazywamy rezonansową, a samo zjawisko - rezonansem. Zależy ona od wielkości tłumienia w układzie. Przy braku tłumienia, częstotliwość rezonansowa równa jest częstotliwości własnej (oczywiście w realnych warunkach opory ruchu zawsze występują). Jeśli tłumienie jest niewielkie, jak w naszym przykładzie z piłeczką zawieszoną na gumce, częstotliwość rezonansowa jest bardzo bliska częstotliwości własnej. Gdy występuje znaczne tłumienie,  jest ona mniejsza od częstotliwości własnej układu i maleje wraz ze wzrostem tłumienia.

Rys. 2. pokazuje zależność amplitudy ruchu drgającego wymuszonego od częstościczęstość / częstość kołowaczęstości siły wymuszającej. Na osi x odłożono stosunek częstości siły wymuszającej do częstości własnej układu ($\frac{\omega }{{\omega }_0}$), a na osi y – amplitudę drgań w dowolnych jednostkach odległości.

Zwróć uwagę, że dla dużego tłumienia, maksimum amplitudy drgań przypada dla częstości drgań mniejszych od częstości własnej (ωomega < ωomegaIndeks dolny 0₀ lub $\frac{\omega }{{\omega }_0}<1$). Tłumienie drgań powoduje też zmniejszenie amplitudy drgań rezonansowych. Natomiast przy braku tłumienia, amplituda drgań rezonansowych dąży do nieskończoności. To oczywiście przypadek czysto teoretyczny, bo realne drgania zawsze przebiegają z tłumieniem.

R1HKxjUgQuA0C

Rys. 2. Rysunek przedstawia wykres zależności amplitudy od stosunku częstości drgań dla różnych poziomów tłumienia (omega do omega zero). Amplituda w zakresie od 1 do 10. Stosunek częstości omega do omega zero w zakresie od 0 do 2 co 0,25. Wszystkie wykresy z tłumieniem mają kształt kapelusza lub też inaczej krzywej dzwonowej z maksimum dla częstotliwości niższej od częstotliwości rezonansowej (tym niższej im większe jest tłumienie). Im większe jest tłumienie tym mniejsza jest też maksymalna amplituda na wykresie. Wykresy dla kolejnych tłumień narysowano linią ciągła od najmniejszego tłumienia kolejno: kolorem niebieskim, żółtym, zielonymi czerwonym. Linią przerywaną czerwoną narysowano wykres bez tłumienia, dla którego przy częstotliwości rezonansowej amplituda dąży do nieskończoności.

RbS2eZ9bRocSe

Rys. 3. Rysunek przedstawia poprzeczkę przyczepioną do ściany w taki sposób aby mogła się obracać wokół swojego środka oznaczonego liczbą zero. Na lewym jej końcu w punkcie oznaczonym wielką literą A zaczepiono sprężynę, na której końcu przyczepiono ciężarek. Na prawym jej końcu w punkcie oznaczonym wielką literą B przykładana jest siła wymuszająca drgania.

Przeanalizujmy ruch układu przedstawionego na Rys. 3. Na długiej sprężynie zawieszony jest ciężarek. Sprężyna jest zaczepiona w punkcie A. Punkt ten jednak nie jest nieruchomy, a znajduje się na końcu ruchomej poprzeczki. Poprzeczka może obracać się o niewielki kąt względem nieruchomego punktu O. Punkt B na drugim końcu poprzeczki poruszany jest przez pewien zewnętrzny układ, który może wprawiać poprzeczkę w ruch periodyczny.

Układ ten jest przykładem oscylatora harmonicznego (ciężarek na sprężynie) z wymuszeniem (ruchoma poprzeczka). Załóżmy, że amplituda wymuszenia jest stała i stosunkowo niewielka. W ten sposób nasz układ ma tylko jeden parametr, który możemy dowolnie zmieniać - częstotliwość wymuszenia. Natomiast wielkości fizyczne, które możemy przy zmianach częstości wymuszenia obserwować, to: amplituda i częstotliwość drgań ciężarka.

Słowniczek