Przeczytaj
Fraktalami zwane są kształty samopodobne lub nieskończenie złożone. Nie istnieje matematyczna definicja tego pojęcia, ponieważ przykładów fraktali jest wiele i w dodatku bardzo różniących się od siebie. Można jednak wyróżnić pewne cechy, które zauważymy w większości opisanych fraktali:
prosta definicja rekurencyjna,
samopodobieństwo (możliwe na wielu poziomach),
wysoki poziom szczegółów,
nieregularność trudna do opisania za pomocą geometrii euklidesowejgeometrii euklidesowej.
Aby zrozumieć pojęcie fraktali, warto przyjrzeć się przykładom kilku najbardziej znanych konstrukcji fraktalnych.
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to najprostszy przykład fraktala. Powstaje przez usunięcie części zbioru ze środka, a następnie powtórzenie tej samej czynności dla pozostałych dwóch części. Klasyczny zbiór Cantora określony jest w przestrzeni jednowymiarowej, jednak istnieją jego uogólnienia na większą liczbę wymiarów. Jednym z uogólnień zbioru Cantora na przestrzeń dwuwymiarową jest dywan Sierpińskiego.
Dywan Sierpińskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal, który otrzymujemy poprzez podzielenie kwadratu na dziewięć części. Usuwana jest część środkowa, a każda następna poddawana jest temu samemu procesowi. W efekcie powierzchnia zajmowana przez dywan Sierpińskiego zmierza do 0.
Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego to fraktal, tworzony w podobny sposób do dywanu Sierpińskiego. Jednak w tym przypadku usuwany jest środek trójkąta, nie kwadratu.
Płatek Kocha
Płatek Kocha to łamana zamknięta, której tworzenie zaczynamy od trójkąta równobocznego. Każdy kolejny etap powstawania kształtu opiera się na usunięciu środkowej części każdego boku łamanej oraz zastąpienie jej dwoma odcinkami tej samej długości skierowanymi na zewnątrz figury w taki sposób, aby tworzyły z usuniętą częścią trójkąt równoboczny. Tak powstała krzywa jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni.
Fraktale występujące w naturze
Istnieje wiele przykładów fraktalnej natury świata. W przyrodzie jesteśmy w stanie zaobserwować wiele roślin, w których kształcie można dopatrzeć się samopodobieństwa. Najprostszym oraz bardzo powszechnym przykładem jest liść paproci.
Łatwo zauważyć, że każdy liść gałęzi paproci przypomina mniejszą gałązkę. Tak samo każdy z tych liści również przybiera kształt gałązki. Liczba detali zależna jest od odmiany paproci, ale cecha samopodobieństwa jawi się tutaj bardzo wyraźnie.
Jednym z najpopularniejszych przykładów konstrukcji fraktalnych w przyrodzie są płatki śniegu.
Muszle łodzików również podawane są jako przykład konstrukcji fraktalnych.
Kolejnym wyrazistym przykładem jest kalafior romanesco.
Zauważmy, że w strukturze tego warzywa można dopatrzeć się podobieństwa do jego całości. Każda różyczka kalafiora składa się z małych różyczek. Zależność taką można zaobserwować również na zwykłym kalafiorze oraz brokule, jednak nie jest ona tak wyrazista, jak w przypadku tej odmiany.
Fraktalem występującym w naturze jest także mało znana z nazwy roślina – arcydzięgiel litwor.
Warto zwrócić uwagę na wygląd skupisk kwiatów w tej roślinie. Każda z części przypomina całość. Podobne struktury można zobaczyć także w przekwitniętym mniszku lekarskim, znanym jako dmuchawiec.
Fraktale w sztuce
Idealnym przykładem rekurencji występującej we współczesnej sztuce i kulturze jest efekt Droste. Nazwa ta pochodzi od holenderskiej marki kakao, która na opakowaniu swojego produktu umieściła pielęgniarkę, która trzyma na tacy opakowanie tego samego produktu.
Powstały w ten sposób obiekt można uznać za fraktal, ponieważ jest samopodobny.
Sztuka fraktalna to również forma algorytmiki. Polega na tworzeniu filmów, animacji i obrazów, które przedstawiają wyniki obliczeń związanych z fraktalami. Standardowe liczby zmiennoprzecinkowe obsługiwane przez procesory, mają ograniczoną dokładność, a algorytmy tworzenia fraktali są mocno złożone czasowo. Sztuka ta nie jest zatem oczywista i wymaga wielu optymalizacji. Duże znaczenia mają tutaj także rekordy w najlepszych przybliżeniach struktur, takich jak zbiór Mandelbrota.
Fraktale w filozofii
W starożytnej filozofii oraz w wierzeniach można zauważyć samopodobność. Doskonałym przykładem może być reinkarnacjareinkarnacja, która występuje nawet w religiach zakładających istnienie Boga.
Doskonałym przykładem jest również koncepcja wiecznego powrotu, której źródeł możemy się dopatrywać w filozofii starożytnych Egipcjan. Koncepcja ta zakłada, że wszechświat powtarza się za każdym razem w identyczny sposób. Nie ma znaczenia wędrówka dusz ani życie po śmierci. Jest to fizyczne wyobrażenie świata, w którym czas zatacza koło – nie jest wymiarem ciągłym, a cyklicznym. Istotnym dla tego pomysłu symbolem jest uroboros – wąż połykający własny ogon.
Gdy Albert Einstein odkrył, że wszechświat rozszerza się, postanowił do równania, które utworzył, wprowadzić stałą kosmologiczną, która w jego modelu zapobiegała stałemu rozszerzaniu się wszechświata. Później wycofał się z tego pomysłu, nazywając go największym błędem swojego życia
.
Istnieją teorie, które zakładają, że wszechświat rozszerza się na skutek wielkiego wybuchu, a później kurczy na skutek własnej grawitacji. Proces ten ma się powtarzać. Każdy wszechświat po kolejnym wielkim wybuchu mógłby być inny, jednak mógłby też być podobny do poprzedniego. Co więcej, proces ten mógłby powtarzać się tak wiele razy, że w pewnym momencie zapętliłby się. Wówczas mielibyśmy do czynienia z prawdziwie fraktalną naturą wszechświata.
James Gleick podał filozoficzną definicję fraktali:
Fraktal jest sposobem widzenia nieskończoności okiem duszy.
Fraktal w ogólności jest obiektem samopodobnym – rekurencyjnym. Jednak gdy zaczynamy myśleć o fraktalach, nasz mózg nie wpada w pętlę nieskończonego wyobrażania sobie fraktalnego kształtu. Zrozumienie intuicyjne rekurencji jest zatem możliwe. Czym innym jest podanie definicji matematycznej, która (jak już wiemy) nie jest prosta do sformułowania i zapewne ma wiele interpretacji. Jednak pewne jest to, że fraktale od zawsze były przedmiotem fascynacji filozofów, obrazują bowiem nieskończoność.
Słownik
klasyczna odmiana geometrii, opiera się na zbiorze aksjomatów, czyli zdań prawdziwych, które nie wymagają dowodów; wszystkie twierdzenia geometrii euklidesowej muszą wynikać ze zbioru aksjomatów
pogląd, według którego po śmierci dusza zostaje wcielona w nowy byt