Fraktalami zwane są kształty samopodobne lub nieskończenie złożone. Nie istnieje matematyczna definicja tego pojęcia, ponieważ przykładów fraktali jest wiele i w dodatku bardzo różniących się od siebie. Można jednak wyróżnić pewne cechy, które zauważymy w większości opisanych fraktali:

• prosta definicja rekurencyjna,

• samopodobieństwo (możliwe na wielu poziomach),

• wysoki poziom szczegółów,

• nieregularność trudna do opisania za pomocą geometrii euklidesowejgeometria euklidesowageometrii euklidesowej.

Aby zrozumieć pojęcie fraktali, warto przyjrzeć się przykładom kilku najbardziej znanych konstrukcji fraktalnych.

Zbiór Cantora

R4ajD9mmpJ48x

Zdjęcie przedstawia Linie, która w kolejnych rzędach dzieli się na dwie równe części.

Zbiór Cantora to najprostszy przykład fraktala. Powstaje przez usunięcie części zbioru ze środka, a następnie powtórzenie tej samej czynności dla pozostałych dwóch części. Klasyczny zbiór Cantora określony jest w przestrzeni jednowymiarowej, jednak istnieją jego uogólnienia na większą liczbę wymiarów. Jednym z uogólnień zbioru Cantora na przestrzeń dwuwymiarową jest dywan Sierpińskiego.

Dywan Sierpińskiego

RG5tCDBzeCWHw

Zdjęcie ukazuje Dywan Sierpińskiego w kształcie kwadratu.
Z środka został usunięty zbiór w kształcie kwadratu, następnie dla kolejnych części usuwane są coraz mniejsze zbiory w kształcie kwadratów.

Dywan Sierpińskiego to fraktal, który otrzymujemy poprzez podzielenie kwadratu na dziewięć części. Usuwana jest część środkowa, a każda następna poddawana jest temu samemu procesowi. W efekcie powierzchnia zajmowana przez dywan Sierpińskiego zmierza do 0.

Trójkąt Sierpińskiego

R2agdqiLknX44

Zdjęcie ukazuje Trójkąt Sierpińskiego. Jest on w kształcie czarnego trójkąta.
Z środka został usunięty zbiór w kształcie trójkąta, następnie dla kolejnych części usuwane są coraz mniejsze zbiory w kształcie trójkątów.

Trójkąt Sierpińskiego to fraktal, tworzony w podobny sposób do dywanu Sierpińskiego. Jednak w tym przypadku usuwany jest środek trójkąta, nie kwadratu.

Płatek Kocha

RPAXYtEDCUmTL

Zdjęcie przedstawia Płatek Kocha. Posiada on kształt płatka śniegu wypełnionego kolorem.

Płatek Kocha to łamana zamknięta, której tworzenie zaczynamy od trójkąta równobocznego. Każdy kolejny etap powstawania kształtu opiera się na usunięciu środkowej części każdego boku łamanej oraz zastąpienie jej dwoma odcinkami tej samej długości skierowanymi na zewnątrz figury w taki sposób, aby tworzyły z usuniętą częścią trójkąt równoboczny. Tak powstała krzywa jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni.

Fraktale występujące w naturze

Istnieje wiele przykładów fraktalnej natury świata. W przyrodzie jesteśmy w stanie zaobserwować wiele roślin, w których kształcie można dopatrzeć się samopodobieństwa. Najprostszym oraz bardzo powszechnym przykładem jest liść paproci.

R1XpRFGVijOOa

Zdjęcie przedstawia gęste, zielone liście paproci tworzące naturalne fraktale.

Łatwo zauważyć, że każdy liść gałęzi paproci przypomina mniejszą gałązkę. Tak samo każdy z tych liści również przybiera kształt gałązki. Liczba detali zależna jest od odmiany paproci, ale cecha samopodobieństwa jawi się tutaj bardzo wyraźnie.

Jednym z najpopularniejszych przykładów konstrukcji fraktalnych w przyrodzie są płatki śniegu.

RbHlk1JHP163F

Zdjęcie przedstawia model 3D płatka śniegu.

Muszle łodzików również podawane są jako przykład konstrukcji fraktalnych.

RumoeGJwEOY3U

Zdjęcie przedstawia zakręconą muszlę głowonoga o nazwie: Głodzik.
Muszla zakręca się i staje się mniejsza ku środkowi.
Wzory muszli zmniejszają się i zagęszczają im bliżej końca.

Kolejnym wyrazistym przykładem jest kalafior romanesco.

RCiZc5OEBiuXY

Zdjęcie przedstawia zielony kalafior romanesco.
Posiada on górki, które zagęszczają się przy czubkach tego warzywa.

Zauważmy, że w strukturze tego warzywa można dopatrzeć się podobieństwa do jego całości. Każda różyczka kalafiora składa się z małych różyczek. Zależność taką można zaobserwować również na zwykłym kalafiorze oraz brokule, jednak nie jest ona tak wyrazista, jak w przypadku tej odmiany.

Fraktalem występującym w naturze jest także mało znana z nazwy roślina – arcydzięgiel litwor.

R1Z04OH8m2oDL

Zdjęcie przedstawia roślinę o nazwie: dzięgiel litwor. Posiada gładką ciemną łodygę i liście ułożone w kształcie kuli na końcach rozgałęzień. Liście są w formie kulek na długich patykach.

Warto zwrócić uwagę na wygląd skupisk kwiatów w tej roślinie. Każda z części przypomina całość. Podobne struktury można zobaczyć także w przekwitniętym mniszku lekarskim, znanym jako dmuchawiec.

Fraktale w sztuce

Idealnym przykładem rekurencji występującej we współczesnej sztuce i kulturze jest efekt Droste. Nazwa ta pochodzi od holenderskiej marki kakao, która na opakowaniu swojego produktu umieściła pielęgniarkę, która trzyma na tacy opakowanie tego samego produktu.

Rauw2zbj72l2T

Zdjęcie przedstawia opakowanie kakao firmy: Droste's Cacao, na którym umieszczona jest pielęgniarka, która trzyma na tacy opakowanie tego samego produktu.

Powstały w ten sposób obiekt można uznać za fraktal, ponieważ jest samopodobny.

Sztuka fraktalna to również forma algorytmiki. Polega na tworzeniu filmów, animacji i obrazów, które przedstawiają wyniki obliczeń związanych z fraktalami. Standardowe liczby zmiennoprzecinkowe obsługiwane przez procesory, mają ograniczoną dokładność, a algorytmy tworzenia fraktali są mocno złożone czasowo. Sztuka ta nie jest zatem oczywista i wymaga wielu optymalizacji. Duże znaczenia mają tutaj także rekordy w najlepszych przybliżeniach struktur, takich jak zbiór Mandelbrota.

Fraktale w filozofii

W starożytnej filozofii oraz w wierzeniach można zauważyć samopodobność. Doskonałym przykładem może być reinkarnacjareinkarnacjareinkarnacja, która występuje nawet w religiach zakładających istnienie Boga.

Doskonałym przykładem jest również koncepcja wiecznego powrotu, której źródeł możemy się dopatrywać w filozofii starożytnych Egipcjan. Koncepcja ta zakłada, że wszechświat powtarza się za każdym razem w identyczny sposób. Nie ma znaczenia wędrówka dusz ani życie po śmierci. Jest to fizyczne wyobrażenie świata, w którym czas zatacza koło – nie jest wymiarem ciągłym, a cyklicznym. Istotnym dla tego pomysłu symbolem jest uroboros – wąż połykający własny ogon.

R1Dqg79p0rYY7

Zdjęcie przedstawia uroboros, czyli wąż połykający własny ogon.

Istnieją teorie, które zakładają, że wszechświat rozszerza się na skutek wielkiego wybuchu, a później kurczy na skutek własnej grawitacji. Proces ten ma się powtarzać. Każdy wszechświat po kolejnym wielkim wybuchu mógłby być inny, jednak mógłby też być podobny do poprzedniego. Co więcej, proces ten mógłby powtarzać się tak wiele razy, że w pewnym momencie zapętliłby się. Wówczas mielibyśmy do czynienia z prawdziwie fraktalną naturą wszechświata.

Fraktal w ogólności jest obiektem samopodobnym – rekurencyjnym. Jednak gdy zaczynamy myśleć o fraktalach, nasz mózg nie wpada w pętlę nieskończonego wyobrażania sobie fraktalnego kształtu. Zrozumienie intuicyjne rekurencji jest zatem możliwe. Czym innym jest podanie definicji matematycznej, która (jak już wiemy) nie jest prosta do sformułowania i zapewne ma wiele interpretacji. Jednak pewne jest to, że fraktale od zawsze były przedmiotem fascynacji filozofów, obrazują bowiem nieskończoność.

Słownik