Miejsce zerowe funkcji

miejsce zerowe
Definicja: miejsce zerowe

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0.

Już wiesz

Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Przez każde dwa punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.

Istnienie miejsca zerowego funkcji liniowej zależy od położenia prostej, będącej wykresem tej funkcji w układzie współrzędnych.

Graficznie, miejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcji interpretujemy jako pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji z poziomą osią X.

Liczba miejsc zerowych funkcji

liczba miejsc zerowych funkcji liniowej
Własność: liczba miejsc zerowych funkcji liniowej

Jeżeli funkcja liniowa jest określona wzorem fx=ax+b, to:

  • funkcja ma jedno miejsce zerowe x0, gdy a0b,

RTDn4kdflAYfj
  • funkcja nie ma miejsc zerowych, gdy a=0b0,

R1cabiziRag3W
  • funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, gdy a=0b=0

RGQIXHcPzUsya

Mając dany wzór funkcji, możemy bez szkicowania wykresu określić liczbę miejsc zerowych tej funkcji.

Jeżeli funkcja liniowa jest określona wzorem fx=ax+b, gdzie a0, to miejsce zerowe tej funkcji obliczamy na dwa sposoby:

  1. Korzystamy z definicji miejsca zerowego funkcji, czyli wyznaczamy argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0. W tym celu rozwiązujemy równanie fx=0.

  2. Jeżeli 0=ax+b, to miejsce zerowe funkcji liniowej obliczamy ze wzoru x0=-ba.

Przykład 1

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji f,gh.

ReQPEsH90qUYm

Odczytamy miejsca zerowe tych funkcji.

Rozwiązanie

  • miejscem zerowym funkcji f jest liczba 3,

  • funkcja g nie ma miejsc zerowych,

  • funkcja h ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Przykład 2

Obliczymy miejsca zerowe funkcji liniowych określonych wzorami:

a) fx=-33x+27

b) fx=53x+10

Rozwiązanie

a) Ponieważ a=-33 oraz b=27, zatem

x0=-27-33=9

b) Ponieważ a=53 oraz b=10, zatem

x0=-1053=-6

Przykład 3

Wyznaczymy wartość parametru m, jeżeli wiemy, że miejscem zerowym funkcji określonej wzorem fx=-12m+3x+2 jest liczba 3.

Rozwiązanie

Ponieważ liczba 3 jest miejscem zerowym, zatem zachodzi warunek f3=0.

Dlatego też do wyznaczenia wartości m należy rozwiązać równanie:

0=-12m+3·3+2

Zatem m=223 - zauważmy przy tym, że dla tej liczby współczynnik stojący przy x we wzorze funkcji, jest różny od zera.

Przykład 4

Określimy, dla jakiej wartości parametru m funkcja liniowa zadana wzorem fx=34m-12x+m-1 nie ma miejsc zerowych.

Rozwiązanie

Funkcja liniowa określona wzorem fx=ax+b nie ma miejsc zerowych, gdy a=0b0.

Ponieważ a=34m-12b=m-1, więc zachodzą warunki:

34m-12=0m-10

Dlatego też funkcja nie ma miejsc zerowych, gdy m=16m1.

Wobec tego szukana wartość parametru m wynosi 16.

Przykład 5

Wyznaczymy wzór funkcji liniowej fx=ax-4, jeżeli wiadomo, że miejscem zerowym tej funkcji jest liczba -3.

Rozwiązanie

Ponieważ liczba -3 jest miejscem zerowym funkcji f, zatem do wyznaczenia wartości a należy rozwiązać równanie:

0=a·-3-4

Wobec tego a=-43.

Funkcja jest określona wzorem fx=-43x-4.

Przykład 6

Określimy liczbę miejsc zerowych funkcji zadanej wzorem fx=2m+3x-1, w zależności od wartości parametru m.

Rozwiązanie

Ponieważ a=2m+3 oraz b=-1, to funkcja:

  • ma jedno miejsce zerowe, gdy a0, zatem 2m+30, wobec tego m-32,

  • nie ma miejsc zerowych, gdy a=0, zatem 2m+3=0, wobec tego m=-32.

Ponieważ b0, zatem funkcja nie może mieć nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Słownik

miejsce zerowe funkcji
miejsce zerowe funkcji

argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0