Przeczytaj

Miejsce zerowe funkcji

miejsce zerowe

Definicja: miejsce zerowe

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ .

Już wiesz

Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Przez każde dwa punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.

Istnienie miejsca zerowego funkcji liniowej zależy od położenia prostej, będącej wykresem tej funkcji w układzie współrzędnych.

Graficznie, miejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcji interpretujemy jako pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji z poziomą osią $X$ .

Liczba miejsc zerowych funkcji

liczba miejsc zerowych funkcji liniowej

Własność: liczba miejsc zerowych funkcji liniowej

Jeżeli funkcja liniowa jest określona wzorem $f (x) = a x + b$ , to:

funkcja ma jedno miejsce zerowe $x_{0}$ , gdy $a \neq 0$ i $b \in ℝ$ ,

RTDn4kdflAYfj

funkcja nie ma miejsc zerowych, gdy $a = 0$ i $b \neq 0$ ,

R1cabiziRag3W

funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, gdy $a = 0$ i $b = 0$

RGQIXHcPzUsya

Mając dany wzór funkcji, możemy bez szkicowania wykresu określić liczbę miejsc zerowych tej funkcji.

Jeżeli funkcja liniowa jest określona wzorem $f (x) = a x + b$ , gdzie $a \neq 0$ , to miejsce zerowe tej funkcji obliczamy na dwa sposoby:

Korzystamy z definicji miejsca zerowego funkcji, czyli wyznaczamy argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ . W tym celu rozwiązujemy równanie $f (x) = 0$ .
Jeżeli $0 = a x + b$ , to miejsce zerowe funkcji liniowej obliczamy ze wzoru $x_{0} = \frac{- b}{a}$ .

Przykład 1

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji $f, g$ i $h$ .

ReQPEsH90qUYm

Odczytamy miejsca zerowe tych funkcji.

Rozwiązanie

miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $3$ ,
funkcja $g$ nie ma miejsc zerowych,
funkcja $h$ ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Przykład 2

Obliczymy miejsca zerowe funkcji liniowych określonych wzorami:

a) $f (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{27}$

b) $f (x) = \frac{5}{3} x + 10$

Rozwiązanie

a) Ponieważ $a = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ oraz $b = \sqrt{27}$ , zatem

$x_{0} = \frac{- \sqrt{27}}{- \frac{\sqrt{3}}{3}} = 9$

b) Ponieważ $a = \frac{5}{3}$ oraz $b = 10$ , zatem

$x_{0} = \frac{- 10}{\frac{5}{3}} = - 6$

Przykład 3

Wyznaczymy wartość parametru $m$ , jeżeli wiemy, że miejscem zerowym funkcji określonej wzorem $f (x) = (- \frac{1}{2} m + 3) x + 2$ jest liczba $3$ .

Rozwiązanie

Ponieważ liczba $3$ jest miejscem zerowym, zatem zachodzi warunek $f (3) = 0$ .

Dlatego też do wyznaczenia wartości $m$ należy rozwiązać równanie:

$0 = (- \frac{1}{2} m + 3) \cdot 3 + 2$

Zatem $m = \frac{22}{3}$ - zauważmy przy tym, że dla tej liczby współczynnik stojący przy x we wzorze funkcji, jest różny od zera.

Przykład 4

Określimy, dla jakiej wartości parametru $m$ funkcja liniowa zadana wzorem $f (x) = (\frac{3}{4} m - 12) x + (m - 1)$ nie ma miejsc zerowych.

Rozwiązanie

Funkcja liniowa określona wzorem $f (x) = a x + b$ nie ma miejsc zerowych, gdy $a = 0$ i $b \neq 0$ .

Ponieważ $a = \frac{3}{4} m - 12$ i $b = m - 1$ , więc zachodzą warunki:

$\frac{3}{4} m - 12 = 0$ i $m - 1 \neq 0$

Dlatego też funkcja nie ma miejsc zerowych, gdy $m = 16$ i $m \neq 1$ .

Wobec tego szukana wartość parametru $m$ wynosi $16$ .

Przykład 5

Wyznaczymy wzór funkcji liniowej $f (x) = a x - 4$ , jeżeli wiadomo, że miejscem zerowym tej funkcji jest liczba $(- 3)$ .

Rozwiązanie

Ponieważ liczba $(- 3)$ jest miejscem zerowym funkcji $f$ , zatem do wyznaczenia wartości $a$ należy rozwiązać równanie:

$0 = a \cdot (- 3) - 4$

Wobec tego $a = - \frac{4}{3}$ .

Funkcja jest określona wzorem $f (x) = - \frac{4}{3} x - 4$ .

Przykład 6

Określimy liczbę miejsc zerowych funkcji zadanej wzorem $f (x) = (2 m + 3) x - 1$ , w zależności od wartości parametru $m \in ℝ$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $a = 2 m + 3$ oraz $b = - 1$ , to funkcja:

ma jedno miejsce zerowe, gdy $a \neq 0$ , zatem $2 m + 3 \neq 0$ , wobec tego $m \neq - \frac{3}{2}$ ,
nie ma miejsc zerowych, gdy $a = 0$ , zatem $2 m + 3 = 0$ , wobec tego $m = - \frac{3}{2}$ .

Ponieważ $b \neq 0$ , zatem funkcja nie może mieć nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Słownik

miejsce zerowe funkcji

argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$

Wprowadzenie

Schemat interaktywny

Miejsce zerowe funkcji

Liczba miejsc zerowych funkcji

Słownik