Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$.

Jeżeli funkcja liniowa jest określona wzorem $f\left(x\right)=ax+b$, to:

• funkcja ma jedno miejsce zerowe $x_0$, gdy $a\ne 0$ i $b\in \mathrm{ℝ}$,

RTDn4kdflAYfj

Ilustracja

• funkcja nie ma miejsc zerowych, gdy $a=0$ i $b\ne 0$,

R1cabiziRag3W

Ilustracja

• funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, gdy $a=0$ i $b=0$

RGQIXHcPzUsya

Ilustracja

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji $f,g$ i $h$.

ReQPEsH90qUYm

Ilustracja

Odczytamy miejsca zerowe tych funkcji.

Rozwiązanie

• miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $3$,

• funkcja $g$ nie ma miejsc zerowych,

• funkcja $h$ ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Obliczymy miejsca zerowe funkcji liniowych określonych wzorami:

a) $f\left(x\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{27}$

b) $f\left(x\right)=\frac{5}{3}x+10$

Rozwiązanie

a) Ponieważ $a=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ oraz $b=\sqrt{27}$, zatem

$x_0=\frac{-\sqrt{27}}{-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}}=9$

b) Ponieważ $a=\frac{5}{3}$ oraz $b=10$, zatem

$x_0=\frac{-10}{{\displaystyle \frac{5}{3}}}=-6$

Wyznaczymy wartość parametru $m$, jeżeli wiemy, że miejscem zerowym funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=\left(-\frac{1}{2}m+3\right)x+2$ jest liczba $3$.

Rozwiązanie

Ponieważ liczba $3$ jest miejscem zerowym, zatem zachodzi warunek $f\left(3\right)=0$.

Dlatego też do wyznaczenia wartości $m$ należy rozwiązać równanie:

$0=\left(-\frac{1}{2}m+3\right)·3+2$

Zatem $m=\frac{22}{3}$ - zauważmy przy tym, że dla tej liczby współczynnik stojący przy x we wzorze funkcji, jest różny od zera.

Określimy, dla jakiej wartości parametru $m$ funkcja liniowa zadana wzorem $f\left(x\right)=\left(\frac{3}{4}m-12\right)x+\left(m-1\right)$ nie ma miejsc zerowych.

Rozwiązanie

Funkcja liniowa określona wzorem $f\left(x\right)=ax+b$ nie ma miejsc zerowych, gdy $a=0$ i $b\ne 0$.

Ponieważ $a=\frac{3}{4}m-12$ i $b=m-1$, więc zachodzą warunki:

$\frac{3}{4}m-12=0$ i $m-1\ne 0$

Dlatego też funkcja nie ma miejsc zerowych, gdy $m=16$ i $m\ne 1$.

Wobec tego szukana wartość parametru $m$ wynosi $16$.

Wyznaczymy wzór funkcji liniowej $f\left(x\right)=ax-4$, jeżeli wiadomo, że miejscem zerowym tej funkcji jest liczba $\left(-3\right)$.

Rozwiązanie

Ponieważ liczba $\left(-3\right)$ jest miejscem zerowym funkcji $f$, zatem do wyznaczenia wartości $a$ należy rozwiązać równanie:

$0=a·\left(-3\right)-4$

Wobec tego $a=-\frac{4}{3}$.

Funkcja jest określona wzorem $f\left(x\right)=-\frac{4}{3}x-4$.

Określimy liczbę miejsc zerowych funkcji zadanej wzorem $f\left(x\right)=\left(2m+3\right)x-1$, w zależności od wartości parametru $m\in \mathrm{ℝ}$.

Rozwiązanie

Ponieważ $a=2m+3$ oraz $b=-1$, to funkcja:

• ma jedno miejsce zerowe, gdy $a\ne 0$, zatem $2m+3\ne 0$, wobec tego $m\ne -\frac{3}{2}$,

• nie ma miejsc zerowych, gdy $a=0$, zatem $2m+3=0$, wobec tego $m=-\frac{3}{2}$.

Ponieważ $b\ne 0$, zatem funkcja nie może mieć nieskończenie wiele miejsc zerowych.

argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$