Przeczytaj
Miejsce zerowe funkcji
Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi .
Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Przez każde dwa punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.
Istnienie miejsca zerowego funkcji liniowej zależy od położenia prostej, będącej wykresem tej funkcji w układzie współrzędnych.
Graficznie, miejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcji interpretujemy jako pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji z poziomą osią .
Liczba miejsc zerowych funkcji
Jeżeli funkcja liniowa jest określona wzorem , to:
funkcja ma jedno miejsce zerowe , gdy i ,
![Ilustracja](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RTDn4kdflAYfj/1630405466/1469fERshqIjVRZDe1jY2BNI4aG7on59.png)
funkcja nie ma miejsc zerowych, gdy i ,
![Ilustracja](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1cabiziRag3W/1630405467/ZU19hm86tPDT3JErDToIFSkRwBGFTuBA.png)
funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, gdy i
![Ilustracja](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RGQIXHcPzUsya/1630405467/1SXeAAaRBNHxEzl8NqfIXusKjATPYTuM.png)
Mając dany wzór funkcji, możemy bez szkicowania wykresu określić liczbę miejsc zerowych tej funkcji.
Jeżeli funkcja liniowa jest określona wzorem , gdzie , to miejsce zerowe tej funkcji obliczamy na dwa sposoby:
Korzystamy z definicji miejsca zerowego funkcji, czyli wyznaczamy argument, dla którego wartość funkcji wynosi . W tym celu rozwiązujemy równanie .
Jeżeli , to miejsce zerowe funkcji liniowej obliczamy ze wzoru .
Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji i .
![Ilustracja](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/ReQPEsH90qUYm/1630405468/1Bv8F935g81wn2Z7wKydLalbVxVAqsbJ.png)
Odczytamy miejsca zerowe tych funkcji.
Rozwiązanie
miejscem zerowym funkcji jest liczba ,
funkcja nie ma miejsc zerowych,
funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.
Obliczymy miejsca zerowe funkcji liniowych określonych wzorami:
a)
b)
Rozwiązanie
a) Ponieważ oraz , zatem
b) Ponieważ oraz , zatem
Wyznaczymy wartość parametru , jeżeli wiemy, że miejscem zerowym funkcji określonej wzorem jest liczba .
Rozwiązanie
Ponieważ liczba jest miejscem zerowym, zatem zachodzi warunek .
Dlatego też do wyznaczenia wartości należy rozwiązać równanie:
Zatem - zauważmy przy tym, że dla tej liczby współczynnik stojący przy x we wzorze funkcji, jest różny od zera.
Określimy, dla jakiej wartości parametru funkcja liniowa zadana wzorem nie ma miejsc zerowych.
Rozwiązanie
Funkcja liniowa określona wzorem nie ma miejsc zerowych, gdy i .
Ponieważ i , więc zachodzą warunki:
i
Dlatego też funkcja nie ma miejsc zerowych, gdy i .
Wobec tego szukana wartość parametru wynosi .
Wyznaczymy wzór funkcji liniowej , jeżeli wiadomo, że miejscem zerowym tej funkcji jest liczba .
Rozwiązanie
Ponieważ liczba jest miejscem zerowym funkcji , zatem do wyznaczenia wartości należy rozwiązać równanie:
Wobec tego .
Funkcja jest określona wzorem .
Określimy liczbę miejsc zerowych funkcji zadanej wzorem , w zależności od wartości parametru .
Rozwiązanie
Ponieważ oraz , to funkcja:
ma jedno miejsce zerowe, gdy , zatem , wobec tego ,
nie ma miejsc zerowych, gdy , zatem , wobec tego .
Ponieważ , zatem funkcja nie może mieć nieskończenie wiele miejsc zerowych.
Słownik
argument, dla którego wartość funkcji wynosi