Stopnie prawdopodobieństwa

Rozważ poniższe przypadki zdań:

1. Jeśli spędzisz pod wodą trzy minuty bez tlenu, to umrzesz z niedotlenienia.

2. 2 + 2 = 4

3. W tym roku w maju w Warszawie spadnie śnieg.

4. Mam nieusprawiedliwioną nieobecność na sprawdzianie z fizyki, zatem pewnie dostanę ocenę niedostateczną ze sprawdzianu.

5. Żaden człowiek nie przeżyje pod wodą bez dostępu do tlenu dłużej niż trzy minuty.

Czy te zdania są w równym stopniu prawdopodobne? Na pewno nie, prawda? Czy jesteś je w stanie ułożyć od najbardziej do najmniej prawdopodobnego? Jedno z nich jest pewne, to znaczy, że ma wartość logiczną 1 (zdanie nr 2). Jedno z nich jest nieprawdziwe, to znaczy, że ma wartość logiczną 0 (zdanie nr 5), czyli jest całkowicie nieprawdopodobne. Jednak wszystkie pozostałe zdania w skali wartości logicznej wahają się gdzieś między 0,0001 a 0,9999. Od czego zależy, gdzie je umieścimy? Na pewno od stanu naszej wiedzy.

Prawdopodobieństwo a wiedza o świecie

Być może dziwi fakt, że zdanie nr 5 zostało uznane za fałszywe. Jest tak dlatego, że zanim je zapisałem sprawdziłem, jaki jest aktualny rekord przebywania pod wodą bez tlenu. Okazało się, że został on ustanowiony w roku 2016 na poziomie ponad 24 minut. Właśnie ten fakt rozstrzyga o nieprawdziwości omawianego zdania. To nie zmienia postaci rzeczy, że bardzo duża część ludzkiej populacji nie wytrzymałaby pod wodą bez tlenu dłużej niż 3 minuty, co sprawia, że zdanie nr 1 jest bardzo prawdopodobne (badania statystyczne wykazują, że przeciętny człowiek (a więc powiedzmy 98% populacji) jest w stanie wstrzymać powietrze przez 30–90 sekund). W stosunku do tego faktu opad śniegu w Warszawie w maju wydaje się jednak bardziej prawdopodobny – wiemy to na podstawie danych pogodowych z poprzednich lat. Moglibyśmy też sprawdzić odpowiednie statystyki, żeby lepiej oszacować to prawdopodobieństwo, ale przyjmijmy, iż mógłby to być stosunek 3:10. Należy podkreślić, że i w tym wypadku konieczna jest powszechna wiedza. Osobnym przypadkiem jest zdanie nr 4 – do ustalenia stopnia jego prawdopodobieństwa potrzebna jest już wiedza szczegółowa na temat sposobu oceniania danego nauczyciela. Wiedza ta mogłaby przyjąć postać przesłanek wspierających typu:

Przesłanka 1: W przedmiotowym systemie oceniania nauczyciela X widnieje zapis, że nieusprawiedliwiona nieobecność na sprawdzianie skutkuje oceną niedostateczną z tego sprawdzianu.
Przesłanka 2: Nauczyciel X zawsze konsekwentnie stosuje zapisy swojego przedmiotowego systemu nauczania.

Po uzupełnieniu wiedzy powyższymi przesłankami, zdanie nr 4 okazuje się bardzo prawdopodobne. Po raz kolejny widzimy więc, że stopień prawdopodobieństwa stwierdzenia zależny jest od faktycznego stanu wiedzy.

Trzy znaczenia terminu „prawdopodobieństwo”

Określenia „prawdopodobieństwo”, czy „możliwość” używamy zazwyczaj w znaczeniu potocznym, czy naiwnym, nie uświadamiając sobie, że ma ono trzy istotnie różne zastosowania. Wyróżniamy więc trzy znaczenia prawdopodobieństwa:

• W znaczeniu logicznym – jako strategia oceniania stopnia prawdopodobieństwa przesłanek i wniosków rozumowania.

• W znaczeniu rachunku prawdopodobieństwa – jako wyliczalna liczbowo częstotliwość występowania określanego zdarzenia.

• W znaczeniu psychologicznym – jako stopień subiektywnego poczucia pewności, że jakieś stwierdzenie, przesłanka lub wniosek rozumowania, jest prawdziwe.

Używając pojęcia prawdopodobieństwa, musimy najpierw ustalić, w jakim znaczeniu go używamy. Czy chodzi nam o wyrażenie naszego poczucia pewności, że jakieś stwierdzenie jest prawdą? Czy chodzi nam o wyrażane liczbowo wyliczone statystycznie prawdopodobieństwo wystąpienia jakiegoś zdarzenia? A może chodzi o logiczną ocenę prawdopodobieństwa prawdziwości naszego rozumowania? Przeanalizujmy następujące zdanie:

Jest mało prawdopodobne, że Jan będzie jutro wywołany do odpowiedzi na fizyce.

Jeśli autor tej wypowiedzi chce powiedzieć, że jest 5% szansy na wywołanie do odpowiedzi (co ustalił na podstawie faktu, że w klasie jest dwadzieścioro uczniów), to mamy do czynienia z teorią prawdopodobieństwa. Kwestią osobną jest, czy użycie w tej sytuacji teorii prawdopodobieństwa jest zasadne. Byłoby zasadne tylko wtedy, gdyby prawdą była uzupełniająca przesłanka: Nauczyciel fizyki zawsze wywołuje do odpowiedzi na podstawie losowania.
Jeśli autor wypowiedzi chce po prostu wyrazić swój stan subiektywnego przekonania, że prawdą jest, iż Jan raczej nie będzie wywołany do odpowiedzi, to mamy do czynienia z prawdopodobieństwem w znaczeniu psychologicznym, bez względu na ile to przekonanie jest zasadne. Jeśli wreszcie autor wypowiedzi oszacował różne przesłanki prawdziwości tego stwierdzenia i na tej podstawie doszedł do wniosku, iż mało prawdopodobne jest, że Jan zostanie wywołany do odpowiedzi, mówimy wówczas o prawdopodobieństwie w sensie logicznym. Przesłanki, jakie mogą być brane pod uwagę to:

Jan był pytany na ostatniej lekcji. Nauczyciel prawie nigdy nie pyta danego ucznia dwa razy pod rząd. Jan ma dużo ocen, podczas gdy jest sporo uczniów ze znacznie mniejszą liczbą ocen. Nauczycielowi zależy, żeby uczniowie mieli mniej więcej tyle samo ocen.

Przesłanki te, poddane analizie pod kątem ich prawdopodobieństwa, stanowią logiczną podstawę oceny prawdopodobieństwa analizowanego stwierdzenia.

Definicja prawdopodobieństwa w sensie logicznym

Sprawy dotyczące naszego życia rzadko daje się ująć w ścisłych kategoriach teorii prawdopodobieństwa. W ocenie jakości rozumowania chodzi nam o sprawdzenie, czy słuszne jest uznanie prawdziwości wyniku wnioskowania. Z tego powodu w logice najbardziej interesujące jest prawdopodobieństwo w znaczeniu logicznym właśnie. Możemy je zdefiniować następująco: Prawdopodobieństwo w sensie logicznym jest oceną stopnia możliwości wystąpienia jakiegoś zdarzenia spośród wyodrębnionej klasy zjawisk. Ściślej rzecz ujmując prawdopodobieństwo jest efektem dwóch podstawowych zabiegów, czy analiz przeprowadzonych w wyobraźni:
b) wyodrębnienie wszystkich możliwych stwierdzeń w danej kategorii, które są w równym stopniu prawdopodobne, co badane stwierdzenie, ale się z nim wykluczają logicznie, a) ocena, na ile możliwe jest aby wydarzenie ujmowane przez to stwierdzenie mogło zajść.

Jeżeli przykładowo nauczyciel fizyki zawsze wywołuje do odpowiedzi tylko jednego ucznia, to na tej podstawie możemy wyodrębnić jedną klasę i na przykład dwie podklasy uczniów:
a) wszyscy uczniowie,
b) uczniowie z niewielką liczbą ocen (nie więcej niż z dwiema),
c) uczniowie pytani na ostatnich dwóch lekcjach. Ocena prawdopodobieństwa, że Jan zostanie wywołany do odpowiedzi jest wypadkową zestawienia ze sobą tych trzech klas. Wszystkie możliwe stwierdzenia, o których była mowa wyżej, to na przykład:

Jan będzie wywołany do odpowiedzi.
Beata będzie wywołana do odpowiedzi.
Sebastian będzie wywołany do odpowiedzi. itd

Zatem pierwsza operacja polega na wyodrębnieniu wszystkich możliwych zdań na temat jakiegoś zdarzenia, druga zaś operacja to ocena stopnia prawdopodobieństwa, że właśnie to, a nie inne zdanie okaże się prawdziwe. W przypadku oceny prawdopodobieństwa wniosku jakiegoś dowodzenia zasada powyższa przyjmuje postać następującą:
a) ustalenie wszystkich możliwych zdań, które mogłyby okazać się prawdziwe, gdyby prawdziwe były przesłanki,
b) ocena stopnia prawdopodobieństwa, że prawdziwy okaże się właśnie ten wniosek, a nie inny.

Kłopoty z prawdopodobieństwem

Pojęcia prawdopodobieństwa używamy w określonych przypadkach. Albo w odniesieniu do zdarzeń przyszłych, od przewidzenia których zależą nasze dzisiejsze decyzje (czy nauczyciel wstawi mi ocenę niedostateczną, jeśli nie pojawię się na sprawdzianie), albo w odniesieniu zdarzeń, które już wprawdzie zaszły, ale o których nie wiemy (nie wiem, czy nauczyciel wstawił mi ocenę niedostateczną, bo nie zaglądałem do dziennika).
Każde logiczne wnioskowanie przy użyciu tej kategorii ma charakter wnioskowania zawodnegownioskowanie zawodnewnioskowania zawodnego, gdyż wniosek nigdy nie jest pewien, będąc jedynie prawdopodobnym (wyjątkiem jest sytuacja, kiedy prawdopodobieństwo wynosi 100%). Ponadto, zazwyczaj w życiu codziennym bardzo ciężko jest przeprowadzić zalecane tu wyżej operacje, ciężko jest uzyskać ścisłość. Jest tak z trzech kluczowych powodów:
a) nie zawsze mamy pewność, czy właściwie wyodrębniliśmy klasy i podklasy możliwych zdarzeń,
b) nie zawsze mamy pewność stopnia prawdopodobieństwa poszczególnych klas,
c) nigdy nie mamy pewności, czy dysponujemy dostateczną wiedzą o możliwych zdarzeniach.

Słownik