Aby określić liczbę rozwiązań równania wielomianowego, można w jednym układzie współrzędnych narysować wykresy funkcji, których wzory odpowiadają wyrażeniom znajdującym się z lewej i z prawej strony równania oraz określić w ilu punktach przecinają się te wykresy. Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. Aby narysować wykres funkcji liniowej można wykorzystać tabelę. W górnym wierszu umieszczamy minimum dwa, dowolnie wybrane argumenty x. W dolnym wierszu, korzystając ze wzoru funkcji, zapisujemy wartość funkcji dla danego argumentu. Zaznaczamy w układzie współrzędnych otrzymane punkty i łączymy je linią prostą.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Aby naszkicować parabolę, wygodnie jest obliczyć współrzędne wierzchołka paraboli oraz miejsca zerowe odpowiedniej funkcji (jeżeli istnieją). Do wyznaczenia charakterystycznych punktów można również posłużyć się tabelką. Wykresy bardziej skomplikowanych funkcji wyższych stopni możemy narysować posługując się programami komputerowymi.
Przykład 1
Korzystając z interpretacji graficznej, określimy liczbę rozwiązań równania
.
R14EssSxnLPjx
W układzie współrzędnych narysowane są wykresy funkcji oraz .
Wykresy tych funkcji przecinają się co najmniej w jednym punkcie, zatem równanie
ma co najmniej jedno rozwiązanie.
Przykład 2
Korzystając z interpretacji graficznej, rozwiążemy równanie
.
RngpJfhA6R81m
W układzie współrzędnych narysowane są wykresy funkcji oraz .
Wykresy funkcji przecinają się w punkcie o współrzędnych .
Zatem jednym z rozwiązań równania jest .
Przykład 3
Określimy liczbę rozwiązań równania
.
W układzie współrzędnych narysujemy wykresy funkcji oraz .
Funkcja ma trzy miejsca zerowe , , . Każdy pierwiastek jest pojedynczy. Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest dodatni.
Dokładny wykres tej funkcji wielomianowej uzyskany za pomocą programu komputerowego wygląda następująco:
RL9gkyw8VoD1U
Przypomnijmy, że szkic wykresu funkcji wielomianowej ma kształt „wężyka”. Wykres ten spotyka się z osią w punktach, które są pierwiastkami wielomianu. Jeśli pierwiastek jest nieparzystego stopnia, to wykres przechodzi na drugą stronę osi , jeżeli natomiast pierwiastek jest parzystego stopnia to wykres „odbija się” od osi . Ważne jest również, że jeżeli współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu jest dodatni, wówczas krzywą rysujemy od prawej strony kartki zaczynając od góry.
W układzie współrzędnych narysujemy wykres funkcji oraz .
Funkcja ma trzy miejsca zerowemiejsce zerowe funkcjimiejsca zerowe , , . Pierwiastki i są pojedyncze, pierwiastek 1 jest podwójny.
Dokładny wykres tej funkcji wielomianowej uzyskany za pomocą programu komputerowego wygląda następująco:
Rr80819wJCmkj
Ponieważ pierwiastek jest parzystego stopnia to wykres „odbija się” od osi . Ważne jest również, że współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu jest ujemny, zatem krzywą rysujemy od prawej strony kartki zaczynając od dołu.
Obliczymy taką wartość parametru oraz taką wartość parametru , dla których poniższy rysunek przedstawia interpretację graficzną równania
.
R1bk8doUXxIO5
W układzie współrzędnych narysowane są wykresy funkcji
oraz .
Z wykresu wynika, że funkcja ma trzy pojedyncze miejsca zerowe: , , . Ze wzoru funkcji zapisanego w postaci iloczynowej wynika, że funkcja ma trzy miejsca zerowe , , . Czyli .
Wykres funkcji wielomianowej trzeciego stopnia przecina oś w punkcie o współrzędnych , zatem .
Słownik
miejsce zerowe funkcji
miejsce zerowe funkcji
taki argument , dla którego wartość funkcji równa się zero