Korzystając z interpretacji graficznej, określimy liczbę rozwiązań równania

$x^2-1=-x^3$.

R14EssSxnLPjx

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 4 i pionową osią y od minus 3 do dwa. Na płaszczyźnie zaznaczona jest parabola oraz wykres funkcji trzeciego stopnia. Parabola przecina oś x w punktach: minus 1 i 1, jej ramiona skierowane są do góry. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie: 0, minus 1. Parabola jest podpisana literą g. Wykres funkcji trzeciego stopnia przechodzi przez środek układu współrzędnych. Dodatnie wartości wykresu znajdują się po lewej stronie osi y, ujemne po prawej stronie osi y. Jest podpisany literą f. Oba wykresy przecinają się w punkcie znajdującym się poniżej osi x oraz po prawej stornie osi y.

W układzie współrzędnych narysowane są wykresy funkcji $f\left(x\right)=x^2-1$ oraz $g\left(x\right)=-x^3$.

Wykresy tych funkcji przecinają się co najmniej w jednym punkcie, zatem równanie

$x^2-1=-x^3$ ma co najmniej jedno rozwiązanie.

Korzystając z interpretacji graficznej, rozwiążemy równanie

$x^2-2=-x^3$.

RngpJfhA6R81m

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 4 i pionową osią y od minus 3 do 2. Na płaszczyźnie zaznaczona jest parabola oraz wykres funkcji trzeciego stopnia. Parabola przecina oś x w dwóch punktach: jeden znajduje się pomiędzy minus 2 i minus 1, a drugi pomiędzy 1 i 2, jej ramiona skierowane są do góry. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie: 0, minus 2. Parabola jest podpisana literą g. Wykres funkcji trzeciego stopnia przechodzi przez środek układu współrzędnych. Dodatnie wartości wykresu znajdują się po lewej stronie osi y, ujemne po prawej stronie osi y. Jest podpisany literą f. Oba wykresy przecinają się w punkcie 1, minus 1.

W układzie współrzędnych narysowane są wykresy funkcji $f\left(x\right)=x^2-2$ oraz $g\left(x\right)=-x^3$.

Wykresy funkcji przecinają się w punkcie o współrzędnych $\left(-1, 1\right)$.

Zatem jednym z rozwiązań równania $x^2-2=-x^3$ jest $x=1$.

Określimy liczbę rozwiązań równania

$\left(x+2\right)x\left(x-1\right)=1$.

W układzie współrzędnych narysujemy wykresy funkcji $f\left(x\right)=\left(x+2\right)x\left(x-1\right)$ oraz $g\left(x\right)=1$.

Funkcja $f\left(x\right)=\left(x+2\right)x\left(x-1\right)$ ma trzy miejsca zerowe $-2$, $0$, $1$. Każdy pierwiastek jest pojedynczy. Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $x$ jest dodatni.

Dokładny wykres tej funkcji wielomianowej uzyskany za pomocą programu komputerowego wygląda następująco:

RL9gkyw8VoD1U

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 4 i pionową osią y od minus 3 do dwa. Na płaszczyźnie zaznaczony jest wykres. Jest on krzywą. Wykres zaczyna się w minus nieskończoności, przy czym na wysokości y równej minus 3 wartość x znajduje się między minus 3 a minus dwa. Wykres przecina oś x w punkcie minus dwa. Blisko punktu minus 1, 2 jest pierwszy wierzchołek wykresu i zaczyna on maleć. Następnie przechodzi przez środek układu współrzędnych. Na wysokości punktu minus 0,5, 0,5 znajduje się kolejny wierzchołek i funkcja zaczyna rosnąć. Przecina oś x w punkcie 1, następnie biegnie w stronę nieskończoności, przy czym wysokości y równej 2 wartość x znajduje się między 1 a dwa. Wykres podpisany jest literą f.

Przypomnijmy, że szkic wykresu funkcji wielomianowej ma kształt „wężyka”. Wykres ten spotyka się z osią $X$ w punktach, które są pierwiastkami wielomianu. Jeśli pierwiastek jest nieparzystego stopnia, to wykres przechodzi na drugą stronę osi $X$, jeżeli natomiast pierwiastek jest parzystego stopnia to wykres „odbija się” od osi $X$. Ważne jest również, że jeżeli współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu jest dodatni, wówczas krzywą rysujemy od prawej strony kartki zaczynając od góry.

Interpretacja graficzna równania $\left(x+2\right)x\left(x-1\right)=1$ wygląda następująco:

RmvIpZN0DkIrw

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 4 i pionową osią y od minus 3 do dwa. Na płaszczyźnie zaznaczony jest wykres. Jest on krzywą. Wykres zaczyna się w minus nieskończoności, przy czym na wysokości y równej minus 3 wartość x znajduje się między minus 3 a minus dwa. Wykres przecina oś x w punkcie minus dwa. Blisko punktu minus 1, 2 jest pierwszy wierzchołek wykresu i zaczyna on maleć. Następnie przechodzi przez środek układu współrzędnych. Na wysokości punktu minus 0,5, 0,5 znajduje się kolejny wierzchołek i funkcja zaczyna rosnąć. Przecina oś x w punkcie 1, następnie biegnie w stronę nieskończoności, przy czym wysokości y równej 2 wartość x znajduje się między 1 a dwa. Wykres podpisany jest literą f. Na wysokości y równej 1 poprowadzona została pozioma linia, równoległa do osi x. Ma ona kolor czerwony i jest podpisana literą g.

Zatem równanie ma trzy rozwiązania.

Określimy liczbę rozwiązań równania

$-\left(x+2\right)x{\left(x-1\right)}^2=1$.

W układzie współrzędnych narysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=-\left(x+2\right)x{\left(x-1\right)}^2$ oraz $g\left(x\right)=1$.

Funkcja $f\left(x\right)=-\left(x+2\right)x{\left(x-1\right)}^2$ ma trzy miejsca zerowemiejsce zerowe funkcjimiejsca zerowe $-2$, $0$, $1$. Pierwiastki $-2$ i $0$ są pojedyncze, pierwiastek 1 jest podwójny.

Dokładny wykres tej funkcji wielomianowej uzyskany za pomocą programu komputerowego wygląda następująco:

Rr80819wJCmkj

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 4 i pionową osią y od minus 3 do pięć. Na płaszczyźnie zaznaczony jest wykres. Jest on krzywą. Wykres zaczyna się w minus nieskończoności, przy czym na wysokości y równej minus 3 wartość x znajduje się między minus 3 a minus dwa. Wykres przecina oś x w punkcie minus dwa. Pierwszy wierzchołek znajduje się pomiędzy wartością x równą minus 2 i minus 1, na wysokości y bliskiej pięć. Następnie wykres zaczyna maleć i przechodzi przez środek układu współrzędnych. Na wysokości punktu minus 0,5, 0,5 znajduje się kolejny wierzchołek i funkcja zaczyna rosnąć. W punkcie 1, 0 wykres ma swój drugi wierzchołek i zaczyna maleć, następnie biegnie w stronę minus nieskończoności, przy czym wysokości y równej minus 2 wartość x znajduje się między 1 a dwa. Wykres podpisany jest literą f.

Ponieważ pierwiastek $1$ jest parzystego stopnia to wykres „odbija się” od osi $X$. Ważne jest również, że współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu jest ujemny, zatem krzywą rysujemy od prawej strony kartki zaczynając od dołu.

Interpretacja graficzna równania $-\left(x+2\right)x{\left(x-1\right)}^2=1$ wygląda następująco:

R1JD1D31lPYVS

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 4 i pionową osią y od minus 3 do pięć. Na płaszczyźnie zaznaczony jest wykres. Jest on krzywą. Wykres zaczyna się w minus nieskończoności, przy czym na wysokości y równej minus 3 wartość x znajduje się między minus 3 a minus dwa. Wykres przecina oś x w punkcie minus dwa. Pierwszy wierzchołek znajduje się pomiędzy wartością x równą minus 2 i minus 1, na wysokości y bliskiej pięć. Następnie wykres zaczyna maleć i przechodzi przez środek układu współrzędnych. Na wysokości punktu minus 0,5, 0,5 znajduje się kolejny wierzchołek i funkcja zaczyna rosnąć. W punkcie 1, 0 wykres ma swój drugi wierzchołek i zaczyna maleć, następnie biegnie w stronę minus nieskończoności, przy czym wysokości y równej minus 2 wartość x znajduje się między 1 a dwa. Wykres podpisany jest literą f. Na wysokości y równej 1 poprowadzona została pozioma linia, równoległa do osi x. Ma ona kolor czerwony i jest podpisana literą g.

Zatem równanie ma dwa rozwiązania.

Obliczymy taką wartość parametru $a$ oraz taką wartość parametru $b$, dla których poniższy rysunek przedstawia interpretację graficzną równania

$\left(x-a\right)x\left(x+1\right)=-x^3+b$.

R1bk8doUXxIO5

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 4 i pionową osią y od minus 3 do dwa. Na płaszczyźnie zaznaczone są dwa wykresy. Oba wykresy są interpretacją graficzną równania trzeciego stopnia. Wykres pierwszy jest wykresem malejącym. Przecina oś y na wysokości jeden. Oś x również przecina w punkcie 1, 0. Jest on podpisany literą g. Drugi wykres jest wykresem o zmiennej monotoniczności. Najpierw rośnie od minus nieskończoności, przecina oś x w punkcie minus 1, 0. Pomiędzy wartościami x minus 1 i 0 zaczyna maleć, na wysokości y mniejszej niż 0,5. Następnie przechodzi przez środek układu współrzędnych. Pomiędzy wartościami x 0 i 1, na wysokości y większej niż minus 0,5 znajduje się wierzchołek i wykres zaczyna rosnąć. Przecina oś x w punkcie 1, 0 i ciągnie się do nieskończoności.

W układzie współrzędnych narysowane są wykresy funkcji

$f\left(x\right)=\left(x-a\right)x\left(x+1\right)$ oraz $g\left(x\right)=-x^3+b$.

Z wykresu wynika, że funkcja $f\left(x\right)=\left(x-a\right)x\left(x+1\right)$ ma trzy pojedyncze miejsca zerowe: $-1$, $0$, $1$. Ze wzoru funkcji zapisanego w postaci iloczynowej wynika, że funkcja $f$ ma trzy miejsca zerowe $-1$, $0$, $a$. Czyli $a=1$.

Wykres funkcji wielomianowej trzeciego stopnia $g\left(x\right)=-x^3+b$ przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $\left(0, 1\right)$, zatem $b=1$.

taki argument $x$, dla którego wartość funkcji równa się zero