Warto przeczytać

W życiu codziennym najczęściej spotykamy się z układami soczewek, czyli połączeniem ich kilku w ściśle określony sposób. Doskonałymi przykładami są tutaj lunetaLunetaluneta i mikroskopMikroskopmikroskop. Przyjrzyjmy się im dokładniej. Zanim jednak to uczynimy, warto wspomnieć jeszcze o zasadzie działania lupyLupalupy, co pozwoli nam na lepsze zrozumienie omawianych zagadnień.

LupaLupaLupa to soczewka skupiająca, która umożliwia powiększenie kąta widzenia małych przedmiotów – czyli po prostu obejrzenie ich w powiększeniu (Rys. 1.). Oglądany przedmiot należy umieścić w odległości mniejszej niż ogniskowa tej soczewki. W odległości dobrego widzenia otrzymamy wówczas obraz pozorny, prosty i powiększony.

R1QVN9EmQgNqh

Rys. 1. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym przedstawiono schematycznie powstawanie obrazu w przypadku lupy. Lupa w ogólności jest to przyrząd optyczny składający się z jednej soczewki skupiającej, która może powiększyć obraz obiektu znajdującego się w bliskiej odległości, co najmniej trzy razy. Na ilustracji widoczna jest soczewka skupiająca w postaci Eliptycznego, dwuwypukłego, pionowego kształtu w kolorze jasnoniebieskim. Środek soczewki opisano jako punkt wielka litera O. Przez środek soczewki biegnie oś optyczna widoczna w postaci poziomej, przerywanej i czarnej linii. Na osi optycznej zaznaczono w równych odległościach od środka soczewki dwa czarne punkty, po prawej i lewej stronie, które opisano wielkimi literami F. Są to położenia ogniska soczewki po obu jej stronach. Odległość pomiędzy środkiem soczewki a położeniem ogniska nazywane jest ogniskową i oznaczone zostało małą f. Po lewej stornie soczewki, w odległości poziomej mała litera x od środka soczewki umieszczono przedmiot. Przedmiot narysowano w postaci czarnej i pionowej strzałki biegnącej od osi optycznej w górę. Odległość przedmiotu od soczewki jest mniejsza niż długość ogniskowej. Punkt na osi optycznej, w którym widoczny jest początek strzałki symbolizującej obiekt oznaczono wielką literą B, a punkt na szczycie strzałki opisano wielką literą A. Odległość pionowa pomiędzy punktami wielka litera A i wielka litera B stanowią zatem wysokość obiektu. Z wierzchołka strzałki poprowadzono dwie czerwone strzałki symbolizujący promienie świetlne. Jeden z nich skierowany jest poziomo w prawo, równolegle do osi optycznej. Po przejściu przez soczewkę promień biegnie w prawo i w dół i przechodzi przez ognisko soczewki po jej prawej stronie. Drugi promień skierowany jest w prawo i w dół i przechodzi przez środek soczewki. Czerwone promienie są rozbieżne. Pomiędzy rozbieżnymi promieniami widoczny jest konturowy rysunek ludzkiego oka symbolizujący obserwatora. Czerwone promienie, rozbieżne z prawej strony soczewki zostały przedłużone czerwonymi i przerywanymi liniami w stronę lewego i górnego rogu ilustracji. Czerwone i przerywane linie są zbieżne z lewej strony soczewki. Punkt ich spotkania widoczny jest w odległości poziomej z lewej strony soczewki, większej niż długość ogniskowej. Odległość pozioma pomiędzy środkiem soczewki i obrazem opisana jest małą literą y równą mała litera d. Punkt ten stanowi wierzchołek powstałego obrazu, narysowanego w postaci czerwonej i pionowej strzałki, zaczynającej się na osi optycznej w punkcie wielka litera B prim i kończącej w punkcie wielka litera A prim. Odległość pionowa pomiędzy punktami wielka litera A prim i wielka litera B prim jest wysokością powstałego obrazu. Wysokość obrazu jest większa niż wysokość obiektu.

Zastanówmy się, jak obliczyć powiększenie tego obrazu.

Powiększenie definiujemy jako stosunek wielkości obrazu do przedmiotu (oznaczenia wielkości – jak na rysunku):

Korzystając z powyższego rysunku oraz podobieństwa trójkątów OAB i OA’B’ możemy zapisać:

Wiemy również, że:

oraz:

gdzie $d$ to odległość dobrego widzenia wynosząca 25 cm.

Mamy zatem:

Pomnóżmy obustronnie równanie przez $y$:

Po lewej stronie równania otrzymujemy powiększenie $p$, zaś po prawej – możemy zastąpić $y$ literą $d$. Tym samym dostajemy wzór na powiększenie lupy:

Wiedząc, jak wygląda powstawanie obrazu w przypadku lupy, możemy przejść do układów soczewek. Na początek – lunetaLunetaluneta, czyli przyrząd pozwalający na obserwację odległych obiektów, powiększający kąt widzenia. Istnieje kilka rodzajów lunet, jednak ich działanie opiera się na podobnej zasadzie. Omówimy ją na przykładzie lunety Keplera. W jej skład wchodzą dwie duże soczewki skupiające nazywane obiektywem i okularem (Rys. 2.). Obiektyw, o dużej wartości ogniskowej, powoduje powstawanie obrazu rzeczywistego, pomniejszonego i odwróconego w odległości, którą oznaczymy $l_{1}$ od soczewki. Odległość ta jest w przybliżeniu równa ogniskowej obiektywu $f_{ob}$ (wynika to z faktu, że przedmiot znajduje się w bardzo dużej odległości od soczewki, padają na nią zatem promienie niemal równoległe do osi optycznej, które po przejściu przez nią tworzą obraz prawie dokładnie w ognisku). Obraz powstający za pomocą obiektywu jest następnie powiększany za pomocą okularu, który działa dokładnie tak, jak wspomniana wyżej lupa. Otrzymujemy więc obraz pozorny, prosty i powiększony (względem obrazu pośredniego) powstający w odległości dobrego widzenia $d$. Aby uzyskać jak najlepsze powiększenie, należy ustawić okular w odległości $l_{2}$ (mierzonej od obrazu pośredniego do okularu) w przybliżeniu równej ogniskowej okularu $f_{ok}$.

REcHLJEdtoFXK

Rys. 2. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym schematycznie przedstawiono powstawanie obrazu w lunecie. Luneta jest przyrządem optycznym składającym się z co najmniej dwóch soczewek. Na rysunku widoczne są dwie soczewki skupiające, widoczne w postaci pionowych, eliptycznych kształtów w kolorze niebieskim. Środki soczewek widoczne są na tej samej wysokości, obok siebie. Soczewka po lewej stronie jest większa i symbolizuje obiektyw. Soczewka po prawej stronie jest mniejsza i symbolizuje okular. Przez środki soczewek poprowadzona jest pozioma, czarna i przerywana linia, która stanowi oś optyczną. Na osi optycznej z lewej i z prawej strony od obiektywu zaznaczono czarne punkty wielka litera F z indeksem dolnym małe litery ob, które reprezentują ogniska obiektywu. Ognisko obiektywu po prawej stronie znajduje się pomiędzy obiektywem i okularem, oraz pokrywa się z lewym ogniskiem okularu wielka litera F z indeksem dolnym małe litery ok. Po lewej stornie od obiektywu widoczny jest obiekt, w postaci pionowej, niebieskiej strzałki, skierowanej w górę i mającej swój początek na osi optycznej. Odległość pozioma obiekty od środka obiektywy jest większa od jego ogniskowej. Z wierzchołka obiektu wychodzą trzy czerwone lnie symbolizujące bieg promieni świetlnych. Jeden z promieni biegnie poziomo w prawo, wzdłuż osi optycznej. Po przejściu przez obiektyw jego tor zostaje zakrzywiony w prawo i w dół a promień przechodzi przez prawe ognisko obiektywu. Drugi promień biegnie w prawo i w dół, przechodząc przez środek obiektywu. Drugi z promieni jest nachylony pod kątem małą grecka litera alfa z indeksem dolnym jeden względem osi optycznej. Trzeci promień biegnie w prawo i w dół, przechodząc przez lewe ognisko obiektywu a następnie pada na obiektyw w jego dolnej części poniżej osi optycznej. Po przejściu przez obiektyw promień ten, propaguje się poziomo w prawo. Wszystkie trzy promienie świetlne, po przejściu przez obiektyw przecinają się w punkcie wielka litera B, poniżej osi optycznej. Punkt wielka litera B stanowi wierzchołek grotu czerwonej, pionowej strzałki, skierowanej w dół i zaczynającej się na osi optycznej. Punkt na osi optycznej, w którym początek swój ma czerwona strzałka opisano wielką literą A. Odległość pozioma punktu wielka litera A od środka obiektywu mała litera l z indeksem dolnym jeden jest większa niż długość jego ognikowej. Odległość punktu wielka litera A od środka okularu mała litera l z indeksem dolnym dwa jest mniejsza niż ogniskowa okularu. Z punktu wielka litera B wychodzą dwie kolejne czerwone linie symbolizujące promienie świetlne. Jeden z nich skierowany jest poziomo w prawo, równolegle do osi optycznej. Po przejściu przez okular, promień ten biegnie w prawo i w górę. Drugi z promieni biegnie w prawo i w górę, przechodząc przez środek okularu. Drugi promień nachylony jest do osi optycznej pod kątem mała grecka litera alfa z indeksem dolnym dwa. Po przejściu przez okular promienie są rozbieżne. Czerwonymi i przerywanymi liniami narysowano przedłużenia promieni wychodzących z punktu wielka litera B. Przedłużenia biegną w lewo i w dół i przecinają się w punkcie poniżej osi optycznej, który stanowi wierzchołek pionowej, czerwonej strzałki narysowanej przerywaną linią, która jest skierowana w dół. Punkt na osi optycznej, który stanowi początek tej strzałki opisano wielką literą A prim. Odległość pomiędzy środkiem obiektywu a punktem wielka litera A prim jest znacznie mniejsza niż długość ogniskowej obiektywu. Odległość pomiędzy punktem wielka litera A prim i środkiem okularu opisano małą literą d. Pionowa, czerwona strzałka narysowana przerywaną linią jest to powstały obraz obiektu, widoczny dla obserwatora ustawionego po prawej stronie od okularu, którego symbolizuje rysunek oka patrzącego na punkt przecięcia się przerywanych przedłużeń promieni wychodzących z punktu wielka litera B. Obraz widziany przez obserwatora jest większy niż obiekt.

Pozostaje pytanie o powiększenie lunety. W przypadku przedmiotów wyposażonych w okular, w których powstaje obraz pozorny, określa się tak zwane powiększenie kątowe. Jest to iloraz rozmiaru kątowego obrazu (czyli kąta wyznaczonego przez skrajne promienie tworzące obraz tego obiektu, dobiegające do punktu, w którym znajduje się obserwator) do rozmiaru kątowego przedmiotu.

R1RkNGZ7GfVad

Rys. 3. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym zaprezentowano schematycznie czym jest rozmiar kątowy obserwowanego obiektu. Po prawej stornie widoczny jest rysunek zielonej postaci poruszającej się na rowerze., która symbolizuje obiekt. Postać jest skierowana w lewo. Z lewej strony ilustracji widoczny jest konturowy rysunek przedstawiający oko, narysowany żółtym kolorem, który symbolizuje obserwatora. Rysunek oka składa się z okrągłego i żółtego kształtu po prawej stronie symbolizującego soczewkę i dwóch zbieżnych po prawej stornie odcinków prostych. Kształtem rysunek przypomina łzę, której wypukła część skierowana jest w prawo. Kąt pomiędzy zbieżnymi, żółtymi odcinkami na rysunku oka opisano małą grecką literą teta z indeksem dwa. Kąt ten obrazuje maksymalny zasięg kątowy oka, jaki może ono zarejestrować w pełni. Z punktu, w którym łączą się żółte odcinki poprowadzono dwie rozbieżne zielone linie, jedną w prawo i w górę a drugą w prawo i w dół. Linie te są styczne do skrajnie dolnego i górnego punktu na rysunku postaci na rowerze. Zielone linie symbolizują skrajne promienie tworzące obraz. Kąt pomiędzy skrajnymi promieniami opisano małą grecką literą teta z indeksem dolnym jeden. Jest to rozmiar kątowy przedmiotu.

Na podstawie Rys. 2. możemy więc napisać, że powiększenie kątowe to:

Wiedząc, że dla małych kątów $\textrm{tg}\alpha\approx\alpha$, mamy:

gdzie $|AB|$ jest wysokością obrazu pośredniego. Zatem:

Chcąc uzyskać duże powiększenie, należy więc stosować długie ogniskowe obiektywu oraz krótkie ogniskowe okularu.

Pozostaje jeszcze do omówienia mikroskopMikroskopmikroskop, czyli urządzenie pozwalające na oglądanie małych przedmiotów, składające się – podobnie jak luneta – z dwóch soczewek (lub układów soczewek): obiektywu i okularu (Rys. 4.).

RX83Z7c3BcsGG

Rys. 4. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym przedstawiono schematycznie powstawanie obrazu w mikroskopie. Mikroskop jest przyrządem optycznym służącym do obserwacji małych obiektów z bliskiej odległości. Na rysunku widoczne są dwie soczewki skupiające w postaci poziomych i eliptycznych kształtów jeden nad drugim. Górna soczewka jest większa i nazwana została okularem. Dolna soczewka jest mniejsza i nazwana została obiektywem. Przez środki soczewek przechodzi pionowa, czarna i przerywana linia, która stanowi oś optyczna układu. Odległość w kierunku pionowym, w jakiej znajdują się okular i obiektyw opisano małą literą l. Na osi optycznej, pomiędzy okularem i obiektywem zaznaczono dwa czarne punkty. Jeden z nich widoczny jest wyżej i przedstawia położenie ogniska okularu wielka litera F z indeksem dolnym małymi literami ok. Drugi, widoczny niżej przedstawia położenie ogniska obiektywu wielka litera F z indeksem dolnym małymi literami ob. Poniżej obiektywu widoczna jest niebieska, pozioma strzałka, zaczynająca się na osi optycznej i skierowana w prawo, która symbolizuje obiekt. Początek strzałki na osi optycznej opisano wielką literą A. koniec grotu strzałki opisano wielką literą B. Odległość w kierunku poziomym, pomiędzy punktami wielka litera A i wielka litera B stanowi wysokość obiektu. Odległość w kierunku pionowym pomiędzy środkiem obiektywu w obiektem opisana jest małą literą z indeksem dolnym jeden. Z grotu strzałki symbolizującej obiekt wychodzą dwie ciągłe, czerwone linie, które przedstawiają promienie świetlne. Jeden z promieni biegnie pionowo w górę, równolegle do osi optycznej. Po przejściu przez obiektyw jego kierunek ulega zmianie i biegnie w górę i w lewo, przechodząc przez ognisko obiektywu. Drugi czerwony promień biegnie w górę i w lewo, przechodząc przez środek obiektywu. Po przejściu przez obiektyw, czerwone promienie są zbieżne i spotykają się w punkcie wielka litera A z indeksem dolnym jeden, po prawej stronie osi optycznej nieco powyżej punktu symbolizującego ognisko okularu. Od osi optycznej, z punktu wielka litera B z indeksem dolnym jeden widocznego na wysokości punktu wielka litera A z indeksem dolnym jeden poprowadzono czerwoną, poziomą strzałkę skierowaną w lewo do punktu przecięcia się czerwonych promieni. Odległość pionowa pomiędzy środkiem obiektywu i puntem wielka litera B z indeksem dolnym jeden opisano małą literą y z indeksem dolnym jeden. Odległość pionowa pomiędzy punktem wielka litera B z indeksem dolnym jeden a środkiem okularu opisano małą literą x z indeksem dolnym dwa. Z punktu przecięcia się czerwonych promieni wielka litera A z indeksem dolnym jeden wychodzą dwa kolejne promienie narysowane ponownie czerwonymi i ciągłymi liniami. Jeden z promienie biegnie pionowo w górę, równolegle do osi optycznej. Po przejściu przez okular jego tor wskazuje kierunek w górę i w prawo. Drugi promień biegnie w górę i w prawo przechodząc przez środek okularu. Po przejściu przez okular promienie są rozbieżne. Na rysunku widoczne są przedłużenia promieni przechodzących przez okular. Przedłużenie biegną w dół i w lewo. Przedłużenia promieni narysowano czerwonymi i przerywanymi liniami, które są zbieżne i spotykają się w punkcie wielka litera A prim, po lewej stronie od osi optycznej, poniżej obiektywu. Od osi optycznej, z punktu wielka litera B prim widocznego na wysokości punktu wielka litera A prim poprowadzono poziomą strzałkę, narysowaną czerwoną i przerywaną linią, do punktu przecięcia się przedłużeń promieni. Strzalka ta symbolizuje obraz powstały w mikroskopie. Odległość pionowa pomiędzy obrazem i środkiem okularu opisano malą literąy z indeksem dolnym dwa, która jest równa mała litera d. Powyżej okulary widoczny jest rysunek ludzkiego oka, skierowanego na powstały obraz.

W przypadku mikroskopu, przedmiot umieszczamy w odległości nieznacznie większej niż ogniskowa obiektywu:

Wówczas w odległości nieco mniejszej od ogniskowej okularu powstaje obraz odwrócony. Możemy ponownie dokonać przybliżenia:

Wobec tego, na postawie Rys. 4., zapiszmy powiększenie dla obiektywu i okularu:

oraz:

gdzie $l$ to odległość obiektywu od okularu.

Całkowite powiększenie mikroskopu wynosi zaś:

co da nam po dokonaniu przekształceń matematycznych:

a po podstawieniu:

Aktualnie wykorzystywane mikroskopy są dużo bardziej skomplikowane, gdyż okular i obiektyw złożone są nie z pojedynczych soczewek, lecz z ich układów.

Lornetka, której zdjęcie znajduje się we wprowadzeniu, to układ dwóch lunet sprzężonych ze sobą. Dzięki temu możliwe jest obuoczne oglądanie odległych przedmiotów, czyli widzenie stereoskopowe. Aby można było wygodnie posługiwać się lornetką, musi ona dawać obraz prosty, czyli nie odwrócony.

Słowniczek