Przeczytaj

Warto przeczytać

Składanie sił działających na punkt materialny

Zacznijmy od prostej sytuacji związanej ze składaniem sił. Na Rys. 1. znajduje się punkt materialnyPunkt materialnypunkt materialny, oznaczony czarną kropką, do którego przyłożone są dwie siły: $\vec{F_{1}}$ i $\vec{F_{2}}$ , mające ten sam kierunek (tj. współliniowe), lecz przeciwny zwroty i różne wartości.

R1Q5HghP8WWc6

Rys. 1. Rysunek przedstawia ciało w postaci czarnego kółka. Do środka ciała przyłożono dwa wektory sił, narysowane w postaci poziomych strzałek. Siła opisana wielką literą F z indeksem dolnym jeden skierowana jest poziomo w lewo i narysowana w postaci czerwonej strzałki. Siła opisana wielką literą F z indeksem dolnym dwa skierowana jest poziomo w prawo i narysowana w postaci niebieskiej strzałki. Wektor siły F z indeksem dolnym dwa jest dłuższy niż wektor siły F z indeksem dolnym jeden. — Rys. 1. Dwie siły przyłożone do punktu materialnego.

Jaka jest wypadkowa siła działająca na ten punkt? Jaka jest jej wartość, kierunek i zwrot? Gdy siły są współliniowe, jak na Rys. 1, wystarczy dodać od siebie wektory sił, co graficznie zilustrowano na Rys. 2. Strzałka oznaczona jako $\vec{F_{w}}$ oznacza siłę wypadkową.

R1R06LzBs2vte

Rys. 2. Rysunek przedstawia ciało w postaci czarnego kółka. Pokazano trzy siły narysowane jako poziome strzałki. Siła opisana wielką literą F z indeksem dolnym dwa, narysowana niebieską strzałką, skierowana jest poziomo w prawo. Umieszczona nad ciałem, zaczyna się od pionowej, czarnej przerywanej linii przechodzącej przez środek ciała. Na końcu wektora siły F z indeksem dolnym dwa przechodzi pionowa, czarna przerywana linia. Powyżej wektora siły F z indeksem dolnym dwa umieszczono wektor siły opisany wielką literą F z indeksem dolnym jeden, narysowany jako strzałka czerwona. Siła ta skierowana jest poziomo w lewo i zaczyna się od pionowej linii przechodzącej przez koniec wektora siły F z indeksem dolnym dwa. Wektor siły F z indeksem dolnym jeden jest krótszy niż wektor siły F z indeksem dolnym dwa. Przez koniec wektora siły F z indeksem dolnym jeden przechodzi pionowa, czarna przerywana linia. Ze środka ciała wychodzi zielona strzałka, skierowana poziomo w prawo. Oznaczono ją, jako wektor siły wypadkowej opisany wielką litera F z indeksem dolnym mała litera w. Długość wektora siły wypadkowej jest równa różnicy długości siły F z indeksem dolnym dwa i siły F z indeksem dolnym jeden. — Rys. 2. Graficzne składanie układu sił współliniowych.

Długości strzałek odpowiadają wartościom sił, które reprezentują. Powyższy przykład graficzny możemy zapisać przy pomocy równania:

| \vec{F_{w}} | = | \vec{F_{1}} | - | \vec{F_{2}} |,

gdzie: $| \vec{F_{w}} |$ to wartość (tj. długość wektora) siły wypadkowej, a $| \vec{F_{1}} |$ i $| \vec{F_{2}} |$ to wartości sił $\vec{F_{1}}$ i $\vec{F_{2}}$ .

Oczywiście przyłożone siły nie zawsze są współliniowe. Na przykład, gdy jedziemy samochodem, oprócz działania skierowanej pionowo w dół siły grawitacji, doświadczamy również działania poziomej siły związanej z napędem silnika. Jak w takiej sytuacji znaleźć siłę wypadkową? Posługujemy się wtedy graficzną metodą zilustrowaną na Rys. 3.

R7XCY90jF4bac

Rys. 3. Ilustracja podzielona jest na dwie części. Górny rysunek przedstawia ciało narysowane w postaci czarnego kółka. Ze środka ciała wychodzą dwa wektory sił narysowane w postaci strzałek. Wektor siły opisany wielką literą F z indeksem dolnym jeden, narysowany strzałką w kolorze czerwonym, skierowany jest pionowo w górę. Wektor siły opisany wielką literą F z indeksem dolnym dwa, narysowany strzałką w kolorze niebieskim, skierowany jest poziomo w prawo. Wektor siły F z indeksem dolnym dwa jest dłuższy niż wektor siły F z indeksem dolnym jeden. Drugi rysunek, umieszczony poniżej, przedstawia ciało narysowane w postaci czarnego kółka. Ze środka ciała wychodzą trzy wektory sił narysowane w postaci strzałek. Wektor siły opisany wielką literą F z indeksem dolnym jeden, narysowany strzałką w kolorze czerwonym, skierowany jest pionowo w górę. Wektor siły opisany wielką literą F z indeksem dolnym dwa, narysowany niebieską strzałką, skierowany jest poziomo w prawo. Wektor siły F z indeksem dolnym dwa jest dłuższy niż wektor siły F z indeksem dolnym jeden. Wektor siły wypadkowej opisany wielką literą F z indeksem dolnym mała litera w narysowano w postaci zielonej strzałki. Wektor siły wypadkowej skierowany jest w prawo i w górę, i powstał w wyniku dodania metodą równoległoboku siły F z indeksem dolnym jeden i F z indeksem dolnym dwa. — Rys. 3. Graficzne składanie układu sił prostopadłych do siebie.

Metoda ta polega na narysowaniu linii równoległych do każdej z działających sił i znalezieniu ich punktu przecięcia. Siła wypadkowa $\vec{F_{w}}$ zaczepiona jest w tym punkcie, co pozostałe siły. Jej wartość i kierunek znajdujemy łącząc punkt zaczepienia z przeciwległym wierzchołkiem utworzonego prostokąta. W tym wypadku wartość siły wypadkowej możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

| \vec{F_{w}} | = \sqrt{{| \vec{F_{1}} |}^{2} + {| \vec{F_{2}} |}^{2}},

gdzie: $| \vec{F_{w}} |$ to wartość siły wypadkowej, a $| \vec{F_{1}} |$ i $| \vec{F_{2}} |$ to wartości sił $\vec{F_{1}}$ i $\vec{F_{2}}$ .

W ogólnym przypadku siły działające na ciało mogą być skierowane pod dowolnymi kątami, jak na Rys. 4.:

RFpoSN5mIbasv

Rys. 4. Rysunek przedstawia ciało w postaci czarnego kółka. Do środka ciała przyłożono dwa wektory sił, narysowanych w postaci kolorowych strzałek. Siła opisana wielką literą F z indeksem dolnym jeden, narysowana strzałką w kolorem czerwonym, skierowana jest w lewo i w górę. Siła opisana wielką literą F z indeksem dolnym dwa, narysowana strzałką w kolorze niebieskim, skierowana jest w prawo i nieco w dół. Wektor siły F z indeksem dolnym dwa jest dłuższy niż wektor siły F z indeksem dolnym jeden. — Rys. 4. Układ sił, które nie są do siebie ani prostopadłe, ani równoległe - kąt między nimi ma dowolną wartość.

Wtedy postępujemy analogicznie, jak przy składaniu sił prostopadłych. Rysujemy proste równoległe do każdej z sił i szukamy punktu, w którym się przecinają. Punkt ten wyznacza koniec wektora siły wypadkowej, jak na Rys. 5. Metodę tę nazywamy metodą równoległoboku.

RFtN3uIqQ7Hol

Rys. 5. Rysunek przedstawia ciało w postaci czarnego kółka. Do środka ciała przyłożono trzy wektory sił, narysowane w postaci kolorowych strzałek. Siła opisana wielką literą F z indeksem dolnym jeden skierowana jest w lewo i w górę narysowana jest w postaci czerwonej strzałki. Siła opisana wielką literą F z indeksem dolnym dwa skierowana jest w prawo i nieco w dół i narysowana jest w postaci niebieskiej strzałki. Wektor siły drugiej jest dłuższy niż wektor siły pierwszej. Kąt rozwarty pomiędzy wektorami siły pierwszej i drugiej oznaczono małą grecką literą alfa. Trzeci wektor opisuje siłę wypadkową wielką literą F z indeksem dolnym mała litera w, narysowano go w postaci zielonej strzałki. Wektor siły wypadkowej skierowany jest w prawo i w górę i powstał w wyniku dodania metodą równoległoboku siły pierwszej i drugiej. — Rys. 5. Graficzne składanie sił przyłożonych pod dowolnym kątem.

W tym wypadku wartość siły wypadkowej obliczymy korzystając ze wzoru zwanego twierdzeniem cosinusówTwierdzenie cosinusówtwierdzeniem cosinusów:

jeśli siła wypadkowa jest dłuższą przekątną równoległoboku:

| \vec{F_{w}} | = \sqrt{{| \vec{F_{1}} |}^{2} + {| \vec{F_{2}} |}^{2} - 2 | \vec{F_{1}} | | \vec{F_{2}} | \cos α},

jeśli zaś siła wypadkowa jest krótszą przekątną równoległoboku:

| \vec{F_{w}} | = \sqrt{{| \vec{F_{1}} |}^{2} + {| \vec{F_{2}} |}^{2} + 2 | \vec{F_{1}} | | \vec{F_{2}} | \cos α},

gdzie: $| \vec{F_{w}} |$ to wartość siły wypadkowej, a $| \vec{F_{1}} |$ i $| \vec{F_{2}} |$ to wartości sił $\vec{F_{1}}$ i $\vec{F_{2}}$ , zaś $α$ jest kątem między siłami $\vec{F_{1}}$ i $\vec{F_{2}}$ .

Jak widać, metoda równoległoboku jest ogólną metodą umożliwiającą wyznaczenie wartości siły wypadkowej podczas składania dowolnych dwóch sił. Wzór, którego użyliśmy przy składaniu sił prostopadłych do siebie, w wyprowadzeniu którego korzystaliśmy z twierdzenia Pitagorasa, jest szczególnym przypadkiem ostatniej zależności, dla $α = 90^{\circ}$ , gdzie $\cos α$ wynosi 0.

Jeśli działających sił jest więcej (Rys. 6.), to posługując się opisaną wyżej metodą równoległoboku, możemy je składać parami. Na przykład po złożeniu sił $\vec{F_{1}}$ i $\vec{F_{2}}$ dostajemy siłę wypadkową $\vec{F_{w_{1, 2}}}$ . Następnie składając $\vec{F_{w_{1, 2}}}$ z trzecią z działających sił $\vec{F_{3}}$ , otrzymujemy siłę wypadkową tych trzech sił: $\vec{F_{w_{1, 2, 3}}}$ .

RMRyL6kANsJ7e

Rys. 6. Ilustracja podzielona jest na trzy części. Rysunek górny przedstawia ciało w postaci czarnego kółka. Do środka ciała przyłożono trzy wektory sił, narysowane w postaci kolorowych strzałek. Siła opisana wielką literą F z indeksem dolnym jeden skierowana w lewo i w górę, narysowano ją w postaci czerwonej strzałki. Siła opisana wielką literą F z indeksem dolnym dwa skierowana w prawo i nieco w dół, narysowano ją w postaci niebieskiej strzałki. Wektor siły drugiej jest dłuższy niż wektor siły pierwszej. Siła opisana wielką literą F z indeksem dolnym trzy, narysowana w postaci żółtej strzałki skierowanej w lewo i w górę, nieco mniej w górę niż wektor siły pierwszej. Poniżej umieszczono kolejny rysunek przedstawiający ciało w postaci czarnego kółka. Do środka ciała przyłożone są cztery wektory sił, narysowane w postaci kolorowych strzałek. Siła opisana wielką literą F z indeksem dolnym jeden skierowana w lewo i w górę, narysowano ją w postaci czerwonej strzałki. Siła opisana wielką literą F z indeksem dolnym dwa skierowana w prawo i nieco w dół, narysowano ją w postaci niebieskiej strzałki. Wektor siły drugiej jest dłuższy niż wektor siły pierwszej. Siła opisana wielką literą F z indeksem dolnym trzy narysowana jest w postaci żółtej strzałki, skierowana w lewo i w górę, nieco mniej w górę niż wektor siły. Czwarta siła wypadkowa z sił pierwszej i drugiej opisana wielką literą F z indeksem dolnym mała litera "w" jeden przecinek dwa, narysowana w postaci zielonej strzałki skierowanej w prawo i w górę. Wektor tej siły powstał w wyniku dodania metodą równoległoboku siły pierwszej i drugiej. Rysunek dolny przedstawia ciało w postaci czarnego kółka. Do środka ciała przyłożone są trzy wektory sił, narysowane w postaci kolorowych strzałek. Siła wypadkowa z sił pierwszej i drugiej opisana wielką literą F z indeksem dolnym mała litera "w" jeden przecinek dwa, narysowana w postaci zielonej strzałki skierowanej w prawo i w górę. Wektor tej siły powstał w wyniku dodania metodą równoległoboku siły pierwszej i drugiej. Siła opisana wielką literą F z indeksem dolnym trzy, narysowana w postaci żółtej strzałki, skierowana w lewo i w górę, nieco mniej w górę niż wektor siły pierwszej. Siła wypadkowa tych dwóch sił opisana wielką literą F z indeksem dolnym mała litera "w" jeden przecinek dwa przecinek trzy, narysowana w postaci fioletowej strzałki skierowanej w prawo i w górę. Wektor tej siły powstał w wyniku dodania metodą równoległoboku siły wypadkowej z sił pierwszej i drugiej oraz siły trzeciej. — Rys. 6. Graficzne składanie trzech sił.

Składanie sił działających na bryłę sztywną

Dotychczasowe rozważania dotyczyły układu sił działających na punkt materialnyPunkt materialnypunkt materialny. Teraz zajmiemy się składaniem sił przyłożonych do bryły sztywnejBryła sztywnabryły sztywnej. Z najprostszą sytuacją mamy do czynienia wtedy, gdy te siły są współliniowe i leżą na osi przechodzącej przez środek masy bryły. W takiej sytuacji postępujemy analogicznie, jak w przypadku punktu materialnego (porównaj Rys. 7. z Rys. 2).

R1MA8695nKM3x

Rys. 7. Ilustracja podzielona jest na trzy części. U góry przedstawiono ciało narysowane w postaci szarego, poziomego prostokąta, leżącego na płaskiej, poziomej powierzchni, zaznaczonej poziomą czarną linią. Środek ciała oznaczono czarnym punktem. Przez środek ciała przechodzi czarna, pozioma przerywana linia. Do lewego boku ciała przyłożony jest wektor siły opisany wielką literą F z indeksem dolnym jeden. Wektor ten narysowano w postaci czerwonej, krótkiej, poziomej strzałki skierowanej w lewo i biegnącej wzdłuż przerywanej linii. Do prawego boku ciała przyłożony jest wektor siły opisany wielką literą F z indeksem dolnym dwa. Wektor narysowano w postaci niebieskiej, poziomej strzałki skierowanej w prawo i biegnącej wzdłuż przerywanej linii. Wektor siły drugiej jest dłuższy niż wektor siły pierwszej. Poniżej umieszczono kolejny rysunek ciała w postaci szarego poziomego prostokąta, leżącego na płaskiej, poziomej powierzchni, zaznaczonej poziomą czarną linią. Środek ciała oznaczono czarnym punktem. Przez środek ciała przechodzi czarna, pozioma przerywana linia. Przez prawy bok ciała przechodzi pionowa, czarna przerywana linia. Siła opisana wielką literą F z indeksem dolnym dwa, skierowana jest poziomo w prawo. Widoczna jest nad ciałem i zaczyna się od pionowej, czarnej przerywanej linii przechodzącej przez prawy bok ciała. Narysowano ją w postaci niebieskiej strzałki. Przez koniec wektora siły drugiej przechodzi pionowa, czarna przerywana linia. Powyżej wektora siły drugiej zaznaczony jest wektor siły opisany wielką literą F z indeksem dolnym jeden. Siła pierwsza skierowana jest poziomo w lewo i zaczyna się od pionowej linii przechodzącej przez koniec wektora siły drugiej. Wektor siły pierwszej jest krótszy niż wektor siły drugiej. Przez koniec wektora siły pierwszej przechodzi pionowa, czarna przerywana linia. Z przerywanej linii przechodzącej przez prawy bok ciała wychodzi zielona strzałka, skierowana poziomo w prawo. Oznaczono ją jako wektor siły wypadkowej opisany wielką literą F z indeksem dolnym mała litera "w". Długość wektora siły wypadkowej jest równa różnicy długości siły drugiej i pierwszej. Dolny, trzeci rysunek przedstawia ciało narysowane w postaci szarego poziomego prostokąta, leżącego na płaskiej, poziomej powierzchni, zaznaczonej poziomą czarną linią. Środek ciała oznaczono czarnym punktem. Ze środka ciała wychodzi zielona strzałka opisująca wektor siły wypadkowej opisany wielką literą F z indeksem dolnym mała litera "w". Wektor siły wypadkowej skierowany jest poziomo w prawo. — Rys. 7. Układ sił współliniowych przyłożony do bryły sztywnej.

Zastanówmy się teraz, co się stanie, gdy działające na bryłę sztywną siły nie będą współliniowe, a punkty ich przyłożenia nie będą leżały na tej samej osi przechodzącej przez środek masy bryły. Taką sytuację pokazano na Rys. 8.

RbCCkeRGXzDsq

Rys. 8. Rysunek przedstawia ciało w postaci szarego poziomego prostokąta, leżącego na płaskiej, poziomej powierzchni, zaznaczonej poziomą czarną linią. Środek ciała oznaczono czarnym punktem. Przez środek ciała przechodzi czarna, pozioma przerywana linia. Do lewej części ciała powyżej przerywanej linii przyłożony jest wektor siły opisany wielką literą F z indeksem dolnym jeden. Siłę tę narysowano w postaci poziomej, czerwonej strzałki skierowanej w lewo. Odległość punktu przyłożenia wektora siły pierwszej od środka ciała oznaczono małą literą r z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor i narysowano w postaci czerwonej przerywanej linii. Do prawej części ciała powyżej punktu przyłożenia siły pierwszej przyłożono wektor siły opisany wielką literą F z indeksem dolnym dwa. Wektor siły drugiej narysowano w postaci niebieskiej strzałki skierowanej w prawo i w górę. Odległość punktu przyłożenia wektora siły drugiej od środka ciała oznaczono małą literą r z indeksem dolnym dwa i narysowano w postaci niebieskiej przerywanej linii. — Rys. 8. Nierównoległy układ sił przyłożonych do bryły sztywnej.

Na Rys. 8, oprócz sił $\vec{F_{1}}$ i $\vec{F_{2}}$ działających na bryłę sztywną (ciało), zaznaczono również wektory $\vec{r_{1}}$ i $\vec{r_{2}}$ łączące środek masy bryły z punktem przyłożenia każdej z sił. Jak w tej sytuacji wyznaczyć siłę wypadkową i w jakim punkcie ją przyłożyć? Łatwo się domyślić, że ponieważ te siły nie leżą na osi przechodzącej przez środek masy bryły, ich przyłożenie spowoduje pojawienie się momentów sił. Moment siły jest wielkością wektorową, zdefiniowaną jako iloczyn wektorowy wektora $\vec{r}$ , łączącego środek masy ciała z punktem przyłożenia siły, oraz przyłożonej siły $\vec{F}$ , tj. $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ . Obydwie siły pokazane na Rys. 8. skutkują pojawieniem się momentów sił: $\vec{M_{1}} = \vec{r_{1}} \times \vec{F_{1}}$ oraz $\vec{M_{2}} = \vec{r_{2}} \times \vec{F_{2}}$ , których złożenie (suma wektorowa) ma dla bryły sztywnejBryła sztywnabryły sztywnej znaczenie podobne do tego, jak (omówione wcześniej) złożenie dwóch sił działających na punkt materialnyPunkt materialnypunkt materialny.

Jak w praktyce wykonać operację składania momentów sił? Aby to wyjaśnić, wróćmy do przykładu z Rys. 8. Posłużymy się prostą konstrukcją geometryczną, której kolejne etapy ilustrują Rys. 9, 10 i 11.

R1PkhinIErJ3d

Rys. 9. Rysunek przedstawia ciało w postaci szarego, poziomego prostokąta, leżącego na płaskiej, poziomej powierzchni, zaznaczonej poziomą czarną linią. Środek ciała oznaczono czarnym punktem. Przez środek ciała przechodzi czarna, pozioma przerywana linia. Do lewej części ciała powyżej przerywanej linii przyłożony jest wektor siły opisany wielką literą F z indeksem dolnym jeden. Siłę tę narysowano w postaci poziomej, czerwonej strzałki skierowanej w lewo. Wektor siły pierwszej leży na przerywanej, poziomej czerwonej linii. Do prawej części ciała powyżej punktu przyłożenia siły pierwszej przyłożono wektor siły opisany wielką literą F z indeksem dolnym dwa. Wektor siły drugiej narysowano w postaci niebieskiej strzałki skierowanej w prawo i w górę. Wektor siły drugiej leży na przerywanej niebieskiej linii skierowanej wzdłuż wektora siły drugiej. Miejsce przecięcia się niebieskiej i czerwonej przerywanej linii oznaczono żółtym punktem. — Rys. 9. Konstrukcja służąca wyznaczeniu środka układu sił działających na bryłę sztywną.

Na Rys. 9. liniami przerywanymi zaznaczyliśmy proste, na których leżą wektory sił. Punkt przecięcia tych prostych zaznaczyliśmy żółtą kropką – ten właśnie punkt jest punktem, do którego przyłożymy siłę wypadkową i ten punkt nazywamy środkiem układu sił. Jaka będzie wartość, kierunek i zwrot siły wypadkowej? Aby to ustalić, posłużymy się metodą równoległoboku, jak pokazano na Rys. 10.

R1PCMcLDoQE5O

Rys. 10. Rysunek przedstawia ciało w postaci szarego poziomego prostokąta, leżącego na płaskiej poziomej powierzchni, zaznaczonej poziomą czarną linią. Środek ciała oznaczono czarnym punktem. Przez środek ciała przechodzi czarna pozioma przerywana linia. W prawej i górnej części ciała pokazany jest żółty punkt, do którego przyłożono trzy wektory sił narysowane kolorowymi strzałkami. Wektor siły opisanej wielką literą F z indeksem dolnym jeden, narysowano w postaci czerwonej strzałki, skierowany jest poziomo w lewo. Wektor siły opisanej wielką literą F z indeksem dolnym dwa narysowano w postaci niebieskiej strzałki skierowanej w prawo i w górę. Wektor siły wypadkowej opisanej wielką literą F z indeksem dolnym mała litera "w" narysowano zieloną strzałką skierowaną w prawo i w górę. Powstał on w wyniku dodania metodą równoległoboku sił pierwszej i drugiej. — Rys. 10. Wypadkowa siła (zielona) dwóch nierównoległych sił działających na bryłę sztywną.

W efekcie otrzymujemy zaznaczoną na zielono siłę wypadkową $\vec{F_{w}}$ , która jest zaczepiona w punkcie środka układu sił. Dodatkowo na Rys. 11. zieloną linią przerywaną zaznaczony został wektor $\vec{r_{w}}$ łączący środek masy bryły z punktem przyłożenia siły wypadkowej. W ten sposób uzyskujemy wypadkowy moment siły $\vec{M_{w}}$ , który jest złożeniem (sumą wektorową) momentów $\vec{M_{1}}$ i $\vec{M_{2}}$ :

\vec{M_{w}} = \vec{M_{1}} + \vec{M_{2}},

\vec{r_{w}} \times \vec{F_{w}} = \vec{r_{1}} \times \vec{F_{1}} + \vec{r_{2}} \times \vec{F_{2}} .

RQiAVioLunfXc

Rys. 11. Rysunek przedstawia ciało w postaci szarego poziomego prostokąta, leżącego na płaskiej poziomej powierzchni, zaznaczonej poziomą czarną linią. Środek ciała oznaczono czarnym punktem. Przez środek ciała przechodzi czarna pozioma przerywana linia. W prawej górnej części ciała pokazano żółty punkt. Odległość żółtego punktu od środka ciała opisano małą literą r z indeksem dolnym mała litera "w" oznaczono zieloną, przerywaną strzałką. Z żółtego punktu wychodzi zielona strzałka skierowana w prawo i w górę, oznaczono ją jako wektor siły wypadkowej opisany wielką literą F z indeksem dolnym mała litera "w". — Rys. 11. Wypadkowa siła tworząca moment siły.

W powyższym przykładzie przyłożyliśmy do ciała tylko dwie siły. Jasne jest jednak, że moglibyśmy przyłożyć dowolną ich liczbę. W takiej sytuacji, podobnie jak wtedy, gdy do punktu materialnego przyłożyliśmy trzy różne siły, wypadkowy moment siły moglibyśmy starać się wyznaczyć składając parami momenty składowe. W ogólnym przypadku postępowanie takie sprowadza się do wektorowego sumowania momentów składowych, zgodnie z poniższymi równaniami:

\vec{M_{w}} = \vec{M_{1}} + \vec{M_{2}} + . . . + \vec{M_{n}} = \sum_{i = 1}^{n} \vec{M_{n}},

\vec{r_{w}} \times \vec{F_{w}} = \vec{r_{1}} \times \vec{F_{1}} + \vec{r_{2}} \times \vec{F_{2}} + . . . + \vec{r_{n}} \times \vec{F_{n}} = \sum_{i = 1}^{n} \vec{r_{i}} \times \vec{F_{i}} .

Przykład 1.

Przykład ten ma na celu ilustrację równoważność układu wielu sił i układu jednej siły wypadkowej zaczepionej w punkcie zwanym środkiem układu sił.

Rozważmy kwadrat, do którego przyłożono dwie siły, jak na Rys. 12. a. Siła $\vec{F_{1}}$ ma wartość 1 N, a wartość siły $\vec{F_{2}}$ wynosi 2 N. Wektor $\vec{F_{1}}$ jest przyłożony prostopadle do górnej krawędzi kwadratu, wektor $\vec{F_{2}}$ tworzy z nią kątem równy 45°.

RkAGAkTm7NmJA

Rys. 12. Ilustracja podzielona jest na cztery części opisane małymi literami a, b, c, d. Część opisana małą literą "a" przedstawia ciało w postaci szarego kwadratu. Środek ciała oznaczono czarnym punktem. Do lewego górnego rogu ciała przyłożono wektor siły opisany wielką literą F z indeksem dolnym jeden. Wektor siły pierwszej narysowano w postaci czerwonej strzałki skierowanej pionowo w górę. Wektor odległości punktu przyłożenia siły pierwszej od środka ciała, opisany małą literą r z indeksem dolnym jeden, narysowano w postaci czerwonej strzałki skierowanej od środka ciała do lewego górnego rogu ciała. Do prawego górnego rogu ciała przyłożono wektor siły opisany wielką literą F z indeksem dolnym dwa. Wektor siły drugiej narysowano w postaci niebieskiej strzałki skierowanej pionowo w górę i w prawo. Wektor odległości punktu przyłożenia siły drugiej od środka ciała, opisany małą literą r z indeksem dolnym dwa, narysowano w postaci niebieskiej strzałki skierowanej od środka ciała do prawego górnego rogu ciała. Kąt równy czterdzieści pięć stopni pomiędzy czerwonymi wektorami oznaczono małą grecką literą alfa z indeksem dolnym jeden. Kąt równy zero stopni pomiędzy siłą drugą i wektorem jej odległości od środka ciała oznaczono małą grecką literą alfa z indeksem dolnym dwa. Część opisana małą literą "b" przedstawia ciało w postaci szarego kwadratu. Środek ciała oznaczono czarnym punktem. Do lewego górnego rogu ciała przyłożono wektor siły opisany wielką literą F z indeksem dolnym jeden. Wektor siły pierwszej narysowano w postaci czerwonej strzałki skierowanej pionowo w górę. Do prawego górnego rogu ciała przyłożono wektor siły opisany wielką literą F z indeksem dolnym dwa. Wektor siły drugiej narysowany w postaci niebieskiej strzałki skierowanej pionowo w górę i w prawo, pod kątem czterdziestu pięciu stopni do kierunku poziomego. Część opisana małą literą "c" przedstawia ciało w postaci szarego kwadratu. Środek ciała oznaczono czarnym punktem. Do lewego górnego rogu ciała przyłożono trzy wektory sił. Wektor siły pierwszej opisany wielką literą F z indeksem dolnym jeden skierowany pionowo w górę i narysowany w postaci czerwonej strzałki. Wektor siły drugiej opisany wielką literą F z indeksem dolnym dwa skierowany w górę i w prawo pod kątem czterdziestu pięciu stopni do kierunku poziomego i narysowany w postaci niebieskiej strzałki skierowanej do środka ciała. Wektor siły wypadkowej opisany wielką literą F z indeksem dolnym mała litera w narysowano w postaci zielonej strzałki. Wektor ten powstał w wyniku dodania metodą równoległoboku wektorów sił pierwszej i drugiej. Część opisana małą literą "d" przedstawia ciało w postaci szarego kwadratu. Środek ciała oznaczono czarnym punktem. Do lewego górnego rogu ciała przyłożono wektor siły wypadkowej opisany wielką literą F z indeksem dolnym mała litera w. Wektor tej siły narysowano w postaci zielonej strzałki skierowanej w prawo i w górę pod kątem większym niż czterdzieści pięć stopni do kierunku poziomego. Ramię siły wypadkowej opisanej małą literą r z indeksem mała litera w, narysowano w postaci zielonej, przerywanej strzałki skierowanej od lewego dolnego rogu ciała do jego środka. Kąt pomiędzy tymi wektorami oznaczono małą grecką literą gamma. — Rys. 12. Rysunek pomocniczy do przykładu 1 (omówiony w tekście).

Na Rys. 12. b. żółtą kropką zaznaczono środek układu sił $\vec{F_{1}}$ i $\vec{F_{2}}$ , wyznaczony w taki sam sposób, jak na Rys. 9. Na Rys. 12. c. widać, że po przesunięciu tych sił do punktu będącego środkiem układu sił tworzą one ze sobą kąt 45°.

Wartość siły wypadkowej $\vec{F_{w}}$ można teraz wyznaczyć korzystając z metody równoległoboku:

| \vec{F_{w}} | = \sqrt{{| \vec{F_{1}} |}^{2} + {| \vec{F_{2}} |}^{2} - 2 | \vec{F_{1}} | | \vec{F_{2}} | \cos α} .

Podstawiając do powyższej zależności dane liczbowe dostajemy:

| \vec{F_{w}} | = \sqrt{{(1 N)}^{2} + {(2 N)}^{2} - 2 \cdot 1 N \cdot 2 N \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} \approx 1, 47 N .

Aby wyznaczyć wartość wypadkowego momentu siły:

| \vec{M_{w}} | = | \vec{r_{w}} \times \vec{F_{w}} | = | \vec{r_{w}} | \cdot | \vec{F_{w}} | \cdot \sin γ,

oprócz długości wektora $\vec{F_{w}}$ (którą własnie obliczyliśmy) i długości wektora $\vec{r_{w}}$ (która jest równa połowie przekątnej kwadratu), musimy jeszcze znaleźć sinus kąta $γ$ między $\vec{F_{w}}$ i $\vec{r_{w}}$ . W tym celu, w pierwszej kolejności, korzystając z twierdzenia cosinusówTwierdzenie cosinusówtwierdzenia cosinusów, wyznaczymy cosinus tego kąta, a następnie, korzystając z jedynki trygonometrycznejJedynka trygonometryczna jedynki trygonometrycznej, znajdziemy jego sinus. I tak, z twierdzenia cosinusów, zastosowanego do trójkąta utworzonego przez wektory: $\vec{F_{1}}$ , $\vec{F_{2}}$ i $\vec{F_{w}}$ , mamy:

{| \vec{F_{1}} |}^{2} = {| \vec{F_{2}} |}^{2} + {| \vec{F_{w}} |}^{2} - | \vec{F_{2}} | \cdot | \vec{F_{w}} | \cdot \cos γ,

skąd dostajemy:

\cos γ = \frac{{| \vec{F_{w}} |}^{2} + {| \vec{F_{2}} |}^{2} - {| \vec{F_{1}} |}^{2}}{2 | \vec{F_{w}} | | \vec{F_{2}} |} \approx 0, 88,

co daje:

\sin γ = \sqrt{1 - {(\cos γ)}^{2}} \approx 0, 47.

Podstawiając odpowiednie wartości do wzoru na wypadkowy moment siły, otrzymujemy:

| \vec{M_{w}} | = | \vec{r_{w}} | \cdot | \vec{F_{w}} | \cdot \sin γ = \frac{\sqrt{2}}{2} m \cdot 1, 47 N \cdot 0, 47 \approx 0, 5 N \cdot m .

A jaką wartość wypadkowego momentu siły uzyskalibyśmy sumując momenty sił: $\vec{M_{1}} = \vec{r_{1}} \times \vec{F_{1}}$ i $\vec{M_{2}} = \vec{r_{2}} \times \vec{F_{2}}$ ? Ponieważ obydwa momenty są do siebie równoległe (są one prostopadłe do płaszczyzny, w której znajduje się kwadrat), dlatego:

| \vec{M_{w}} | = | \vec{M_{1}} | + | \vec{M_{2}} | = | \vec{r_{1}} | | \vec{F_{1}} | \sin α_{1} + | \vec{r_{2}} | | \vec{F_{2}} | \sin α_{2},

gdzie $α_{1} = 45^{\circ}$ i $α_{2} = 0^{\circ}$ (zob. Rys. 12. a.). Podstawiając odpowiednie wartości liczbowe do powyższego wyrażenia, dostajemy:

| \vec{M_{w}} | = \frac{\sqrt{2}}{2} m \cdot 1 N \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} m \cdot 2 N \cdot 0 = 0, 5 N \cdot m .

Wniosek: rozważane układy sił są sobie równoważne.

Słowniczek

Bryła sztywna

(ang. rigid body) ciało, którego elementy (części, punkty materialne) nie mogą się względem siebie przemieszczać. Jest to idealizacja ciał fizycznych, w których uwzględnia się możliwe zmiany położeń ich punktów względem siebie.

Jedynka trygonometryczna

(ang.: trigonometric identity) tożsamość trygonometryczna postaci: ${(\sin α)}^{2} + {(\cos α)}^{2} = 1$ .

Punkt materialny

(ang.: point particle) (inaczej: masa punktowa) ciało fizyczne obdarzone masą, ale mające nieskończenie małe rozmiary (tzn. będące punktem).

Twierdzenie cosinusów

(ang.: law of cosines) zwane również twierdzeniem Carnota lub uogólnionym twierdzeniem Pitagorasa. Twierdzenie, które pozwala wyznaczyć długość trzeciego boku trójkąta znając dwa pozostałe boki i kąt pomiędzy nimi.

Wprowadzenie

Animacja

Warto przeczytać

Składanie sił działających na punkt materialny

Składanie sił działających na bryłę sztywną

Przykład 1.

Słowniczek