Zacznijmy od prostej sytuacji związanej ze składaniem sił. Na Rys. 1. znajduje się punkt materialnyPunkt materialnypunkt materialny, oznaczony czarną kropką, do którego przyłożone są dwie siły: i , mające ten sam kierunek (tj. współliniowe), lecz przeciwny zwroty i różne wartości.
R1Q5HghP8WWc6
Jaka jest wypadkowa siła działająca na ten punkt? Jaka jest jej wartość, kierunek i zwrot? Gdy siły są współliniowe, jak na Rys. 1, wystarczy dodać od siebie wektory sił, co graficznie zilustrowano na Rys. 2. Strzałka oznaczona jako oznacza siłę wypadkową.
R1R06LzBs2vte
Długości strzałek odpowiadają wartościom sił, które reprezentują. Powyższy przykład graficzny możemy zapisać przy pomocy równania:
gdzie: to wartość (tj. długość wektora) siły wypadkowej, a i to wartości sił i .
Oczywiście przyłożone siły nie zawsze są współliniowe. Na przykład, gdy jedziemy samochodem, oprócz działania skierowanej pionowo w dół siły grawitacji, doświadczamy również działania poziomej siły związanej z napędem silnika. Jak w takiej sytuacji znaleźć siłę wypadkową? Posługujemy się wtedy graficzną metodą zilustrowaną na Rys. 3.
R7XCY90jF4bac
Metoda ta polega na narysowaniu linii równoległych do każdej z działających sił i znalezieniu ich punktu przecięcia. Siła wypadkowa zaczepiona jest w tym punkcie, co pozostałe siły. Jej wartość i kierunek znajdujemy łącząc punkt zaczepienia z przeciwległym wierzchołkiem utworzonego prostokąta. W tym wypadku wartość siły wypadkowej możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
gdzie: to wartość siły wypadkowej, a i to wartości sił i .
W ogólnym przypadku siły działające na ciało mogą być skierowane pod dowolnymi kątami, jak na Rys. 4.:
RFpoSN5mIbasv
Wtedy postępujemy analogicznie, jak przy składaniu sił prostopadłych. Rysujemy proste równoległe do każdej z sił i szukamy punktu, w którym się przecinają. Punkt ten wyznacza koniec wektora siły wypadkowej, jak na Rys. 5. Metodę tę nazywamy metodą równoległoboku.
RFtN3uIqQ7Hol
W tym wypadku wartość siły wypadkowej obliczymy korzystając ze wzoru zwanego twierdzeniem cosinusówTwierdzenie cosinusówtwierdzeniem cosinusów:
jeśli siła wypadkowa jest dłuższą przekątną równoległoboku:
jeśli zaś siła wypadkowa jest krótszą przekątną równoległoboku:
gdzie: to wartość siły wypadkowej, a i to wartości sił i , zaś jest kątem między siłami i .
Jak widać, metoda równoległoboku jest ogólną metodą umożliwiającą wyznaczenie wartości siły wypadkowej podczas składania dowolnych dwóch sił. Wzór, którego użyliśmy przy składaniu sił prostopadłych do siebie, w wyprowadzeniu którego korzystaliśmy z twierdzenia Pitagorasa, jest szczególnym przypadkiem ostatniej zależności, dla , gdzie wynosi 0.
Jeśli działających sił jest więcej (Rys. 6.), to posługując się opisaną wyżej metodą równoległoboku, możemy je składać parami. Na przykład po złożeniu sił i dostajemy siłę wypadkową . Następnie składając z trzecią z działających sił , otrzymujemy siłę wypadkową tych trzech sił: .
RMRyL6kANsJ7e
Składanie sił działających na bryłę sztywną
Dotychczasowe rozważania dotyczyły układu sił działających na punkt materialnyPunkt materialnypunkt materialny. Teraz zajmiemy się składaniem sił przyłożonych do bryły sztywnejBryła sztywnabryły sztywnej. Z najprostszą sytuacją mamy do czynienia wtedy, gdy te siły są współliniowe i leżą na osi przechodzącej przez środek masy bryły. W takiej sytuacji postępujemy analogicznie, jak w przypadku punktu materialnego (porównaj Rys. 7. z Rys. 2).
R1MA8695nKM3x
Zastanówmy się teraz, co się stanie, gdy działające na bryłę sztywną siły nie będą współliniowe, a punkty ich przyłożenia nie będą leżały na tej samej osi przechodzącej przez środek masy bryły. Taką sytuację pokazano na Rys. 8.
RbCCkeRGXzDsq
Na Rys. 8, oprócz sił i działających na bryłę sztywną (ciało), zaznaczono również wektory i łączące środek masy bryły z punktem przyłożenia każdej z sił. Jak w tej sytuacji wyznaczyć siłę wypadkową i w jakim punkcie ją przyłożyć? Łatwo się domyślić, że ponieważ te siły nie leżą na osi przechodzącej przez środek masy bryły, ich przyłożenie spowoduje pojawienie się momentów sił. Moment siły jest wielkością wektorową, zdefiniowaną jako iloczyn wektorowy wektora , łączącego środek masy ciała z punktem przyłożenia siły, oraz przyłożonej siły, tj. . Obydwie siły pokazane na Rys. 8. skutkują pojawieniem się momentów sił: oraz , których złożenie (suma wektorowa) ma dla bryły sztywnejBryła sztywnabryły sztywnej znaczenie podobne do tego, jak (omówione wcześniej) złożenie dwóch sił działających na punkt materialnyPunkt materialnypunkt materialny.
Jak w praktyce wykonać operację składania momentów sił? Aby to wyjaśnić, wróćmy do przykładu z Rys. 8. Posłużymy się prostą konstrukcją geometryczną, której kolejne etapy ilustrują Rys. 9, 10 i 11.
R1PkhinIErJ3d
Na Rys. 9. liniami przerywanymi zaznaczyliśmy proste, na których leżą wektory sił. Punkt przecięcia tych prostych zaznaczyliśmy żółtą kropką – ten właśnie punkt jest punktem, do którego przyłożymy siłę wypadkową i ten punkt nazywamy środkiem układu sił. Jaka będzie wartość, kierunek i zwrot siły wypadkowej? Aby to ustalić, posłużymy się metodą równoległoboku, jak pokazano na Rys. 10.
R1PCMcLDoQE5O
W efekcie otrzymujemy zaznaczoną na zielono siłę wypadkową , która jest zaczepiona w punkcie środka układu sił. Dodatkowo na Rys. 11. zieloną linią przerywaną zaznaczony został wektor łączący środek masy bryły z punktem przyłożenia siły wypadkowej. W ten sposób uzyskujemy wypadkowy moment siły , który jest złożeniem (sumą wektorową) momentów i :
RQiAVioLunfXc
W powyższym przykładzie przyłożyliśmy do ciała tylko dwie siły. Jasne jest jednak, że moglibyśmy przyłożyć dowolną ich liczbę. W takiej sytuacji, podobnie jak wtedy, gdy do punktu materialnego przyłożyliśmy trzy różne siły, wypadkowy moment siły moglibyśmy starać się wyznaczyć składając parami momenty składowe. W ogólnym przypadku postępowanie takie sprowadza się do wektorowego sumowania momentów składowych, zgodnie z poniższymi równaniami:
Przykład 1.
Przykład ten ma na celu ilustrację równoważność układu wielu sił i układu jednej siły wypadkowej zaczepionej w punkcie zwanym środkiem układu sił.
Rozważmy kwadrat, do którego przyłożono dwie siły, jak na Rys. 12. a. Siła ma wartość 1 N, a wartość siły wynosi 2 N. Wektor jest przyłożony prostopadle do górnej krawędzi kwadratu, wektor tworzy z nią kątem równy 45°.
RkAGAkTm7NmJA
Na Rys. 12. b. żółtą kropką zaznaczono środek układu sił i , wyznaczony w taki sam sposób, jak na Rys. 9. Na Rys. 12. c. widać, że po przesunięciu tych sił do punktu będącego środkiem układu sił tworzą one ze sobą kąt 45°.
Wartość siły wypadkowej można teraz wyznaczyć korzystając z metody równoległoboku:
Podstawiając do powyższej zależności dane liczbowe dostajemy:
Aby wyznaczyć wartość wypadkowego momentu siły:
oprócz długości wektora (którą własnie obliczyliśmy) i długości wektora (która jest równa połowie przekątnej kwadratu), musimy jeszcze znaleźć sinus kąta między i . W tym celu, w pierwszej kolejności, korzystając z twierdzenia cosinusówTwierdzenie cosinusówtwierdzenia cosinusów, wyznaczymy cosinus tego kąta, a następnie, korzystając z jedynki trygonometrycznejJedynka trygonometryczna jedynki trygonometrycznej, znajdziemy jego sinus. I tak, z twierdzenia cosinusów, zastosowanego do trójkąta utworzonego przez wektory: , i , mamy:
skąd dostajemy:
co daje:
Podstawiając odpowiednie wartości do wzoru na wypadkowy moment siły, otrzymujemy:
A jaką wartość wypadkowego momentu siły uzyskalibyśmy sumując momenty sił: i ? Ponieważ obydwa momenty są do siebie równoległe (są one prostopadłe do płaszczyzny, w której znajduje się kwadrat), dlatego:
gdzie i (zob. Rys. 12. a.). Podstawiając odpowiednie wartości liczbowe do powyższego wyrażenia, dostajemy:
Wniosek: rozważane układy sił są sobie równoważne.
Słowniczek
Bryła sztywna
Bryła sztywna
(ang. rigid body) ciało, którego elementy (części, punkty materialne) nie mogą się względem siebie przemieszczać. Jest to idealizacja ciał fizycznych, w których uwzględnia się możliwe zmiany położeń ich punktów względem siebie.
(ang.: point particle) (inaczej: masa punktowa) ciało fizyczne obdarzone masą, ale mające nieskończenie małe rozmiary (tzn. będące punktem).
Twierdzenie cosinusów
Twierdzenie cosinusów
(ang.: law of cosines) zwane również twierdzeniem Carnota lub uogólnionym twierdzeniem Pitagorasa. Twierdzenie, które pozwala wyznaczyć długość trzeciego boku trójkąta znając dwa pozostałe boki i kąt pomiędzy nimi.