WektorwektorWektor jest to uporządkowana para punktów. Możemy go przedstawić w postaci graficznej, za pomocą strzałki lub poprzez podanie jego współrzędnych. Współrzędne wektorawektorwektora opisują nam różnice między punktem końcowym a początkowym wzdłuż każdej osi.
Aby odróżnić współrzędne wektorawektorwektora od współrzędnych jego punktu początkowego i końcowego zapisujemy te pierwsze w nawiasach kwadratowych. Jako przykład rozpatrzmy wektor o początku w punkcie i końcu w punkcie . Współrzędne tego wektora zapisujemy:
Współrzędną wzdłuż osi wyznaczamy następująco:
Współrzędną wzdłuż osi wyznaczamy następująco:
A teraz pierwszy przykład: i czyli początek wektorawektorwektora jest w początku układu współrzędnych, a jego koniec w punkcie
więc:
Współrzędna wektora wzdłuż osi :
Współrzędna wzdłuż osi :
Współrzędne wektora :
Zauważ, że współrzędna wzdłuż osi jest równa długości składowej wektorawektorwektora wzdłuż tej osi, natomiast współrzędna wzdłuż osi jest równa długości składowej wektora wzdłuż osi (patrz Rys. 1.).
ROt9u6BoXPvSE
W drugim przykładzie rozpatrzmy wektor o początku w punkcie i końcu w punkcie
więc:
Współrzędna wektora wzdłuż osi :
Współrzędna wektora wzdłuż osi :
Współrzędne wektora :
Ry0wYMe0OAKkO
W trzecim przykładzie (Rys. 3.) zobaczymy, że współrzędne mogą mieć wartość dodatnią lub ujemną. Dla wektora , gdzie a
więc:
Współrzędna wektora wzdłuż osi :
Współrzędna wektora wzdłuż osi :
Współrzędne wektora :
R13Ismc2H7n38
Mając dane współrzędne wektora można w łatwy sposób określić jego kierunek, zwrot oraz wartość. Nie można jednak określić jego punktu zaczepienia.
Kilka wektorów może mieć te same współrzędne, mimo że współrzędne ich punktów początkowych i końcowych są różne:
R14rBWz1MHdsU
Wszystkie te wektory mają taki sam kierunek, zwrot oraz wartość, czyli są sobie równe. Możemy więc wprowadzić nową definicję wektorów równych sobie:
Wektory są sobie równe wtedy, gdy mają równe wszystkie swoje współrzędne.
Skoro wprowadziliśmy nową definicję wektorów równych sobie, możemy też wprowadzić nową definicję wektorów przeciwnych:
Wektory są do siebie przeciwne, gdy każde z ich współrzędnych są do siebie przeciwne.
Tak więc wektorem przeciwnym do wektora o współrzędnych będzie każdy wektor o współrzędnych . Wektorem przeciwnym do wektora o współrzędnych będzie każdy wektor o współrzędnych .
Posługiwanie się współrzędnymi wektora może też ułatwić ich dodawanie. Dodając do siebie dwa wektory, których współrzędne znamy, dodajemy do siebie współrzędne tych wektorów wzdłuż poszczególnych osi. W ten sposób otrzymujemy współrzędne wektora będącego wynikiem dodawania. Weźmy dla przykładu dwa wektory oraz . Ich sumą jest wektor , gdzie:
Gdy więc a , to
W ten sam sposób możemy odejmować wektory. Na przykład mając dane wektory i , chcemy obliczyć wektor . Otrzymujemy więc wektor , gdzie:
Gdy więc ponownie przyjmiemy, że a , otrzymujemy:
Słowniczek
Twierdze Pitagorasa
Twierdze Pitagorasa
(ang.: Pythagoras' theorem) twierdzenie pozwalające wyznaczyć długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym z wzoru: gdzie i są to przyprostokątne a to przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym.
wektor
wektor
(ang.: vector) obiekt matematyczny opisywany za pomocą wielkości: modułu (nazywanego też – zdaniem niektórych niepoprawnie – długością lub wartością), kierunku wraz ze zwrotem (określającym orientację wzdłuż danego kierunku); istotny przede wszystkim w matematyce elementarnej, inżynierii i fizyce.