Przeczytaj

Warto przeczytać

WektorwektorWektor jest to uporządkowana para punktów. Możemy go przedstawić w postaci graficznej, za pomocą strzałki lub poprzez podanie jego współrzędnych. Współrzędne wektorawektorwektora opisują nam różnice między punktem końcowym a początkowym wzdłuż każdej osi.

Aby odróżnić współrzędne wektorawektorwektora od współrzędnych jego punktu początkowego i końcowego zapisujemy te pierwsze w nawiasach kwadratowych. Jako przykład rozpatrzmy wektor o początku w punkcie $A (A_{x}, A_{y})$ i końcu w punkcie $B (B_{x}, B_{y})$ . Współrzędne tego wektora zapisujemy:

\vec{A B} = [(A B)_{x}, (A B)_{y}]

Współrzędną wzdłuż osi $x$ wyznaczamy następująco:

(A B)_{x} = B_{x} - A_{x}

Współrzędną wzdłuż osi $y$ wyznaczamy następująco:

(A B)_{y} = B_{y} - A_{y}

A teraz pierwszy przykład: $A = (0, 0)$ i $B = (4, 3)$ czyli początek wektorawektorwektora jest w początku układu współrzędnych, a jego koniec w punkcie $(4, 3)$

A_{x} = 0, A_{y} = 0

B_{x} = 4, B_{y} = 3

więc:

Współrzędna wektora wzdłuż osi $x$ :

(A B)_{x} = B_{x} - A_{x} = 4 - 0 = 4

Współrzędna wzdłuż osi $y$ :

(A B)_{y} = B_{y} - A_{y} = 3 - 0 = 3

Współrzędne wektora $\vec{A B}$ :

\vec{A B} = [(A B)_{x}, (A B)_{y}] = [4, 3]

Zauważ, że współrzędna wzdłuż osi $x$ jest równa długości składowej wektorawektorwektora wzdłuż tej osi, natomiast współrzędna wzdłuż osi $y$ jest równa długości składowej wektora wzdłuż osi $y$ (patrz Rys. 1.).

ROt9u6BoXPvSE

Rys. 1. Rysunek przedstawia wektor w układzie współrzędnych. Na rysunku przedstawiano układ współrzędnych XY z osią OX skierowaną poziomo a osią OY skierowaną pionowo. Jest to układ matematyczny, bezjednostkowy. Oś OX zawiera wartości od zera do sześciu z podziałką co jeden. Oś OY zawiera wartości od zera do trzech z podziałką co jeden. Dla ułatwienia odczytu na wykres naniesiono szarą siatkę kwadratową odpowiadającą podziałkom na osiach. Pionowa linia siatki dla x równego cztery oraz pozioma linia siatki dla y równego trzy zostały wyjątkowo narysowane czarną linią przerywaną. Na wykresie narysowano trzy wektory, wszystkie z punktem przyłożenia w początku układu współrzędnych, zaznaczonym czarną kropką. Punkt ten oznaczony na rysunku dużą czerwoną literą A ma współrzędne (zero, zero) co zapisano czarną czcionką w prawej części wykresu. Pierwszy wektor poprowadzono kolorem czerwonym z początku układu współrzędnych do punktu przecięcia się przerywanych linii siatki i nazwano dużą literą A i dużą literą B ze znakiem strzałki nad nimi. Punkt ten oznaczony na rysunku dużą czerwoną literą B ma współrzędne (cztery, trzy) co zapisano czarną czcionką w prawej części wykresu. Poza tym także z początku układu współrzędnych poprowadzono dwa wektory kolorem niebieskim. Pionowo wzdłuż osi OY do punktu o współrzędnych (zero, trzy) oznaczonego czarną kropką i dużą niebieską literą B z indeksem dolnym w postaci małej litery y poprowadzono wektor oznaczony niebieskimi literami dużą A i dużą B z indeksem dolnym w postaci litery y ze strzałką wektora ponad nimi. Poziomo wzdłuż osi OX do punktu o współrzędnych (cztery, zero) oznaczonego czarną kropką i dużą niebieską literą B z indeksem dolnym w postaci małej litery x poprowadzono wektor oznaczony niebieskimi literami dużą A i dużą B z indeksem dolnym w postaci litery x ze strzałką wektora ponad nimi. Po prawej stronie wykresu zapisano czarną czcionką, że współrzędne wektora AB są równe cztery i trzy. — Rys. 1. Wektor $\vec{A B}$ o początku w punkcie $(0, 0)$ i końcu w punkcie $(4, 3)$ oraz współrzędne tego wektora. Pokazano też składowe tego wektora: ${\vec{A B}}_{x}$ oraz ${\vec{A B}}_{y}$

W drugim przykładzie rozpatrzmy wektor o początku w punkcie $(1, 2)$ i końcu w punkcie $(4, 3)$

A_{x} = 1, A_{y} = 2

B_{x} = 4, B_{y} = 3

więc:

Współrzędna wektora wzdłuż osi $x$ :

(A B)_{x} = B_{x} - A_{x} = 4 - 1 = 3

Współrzędna wektora wzdłuż osi $y$ :

(A B)_{y} = B_{y} - A_{y} = 3 - 2 = 1

Współrzędne wektora $\vec{A B}$ :

\vec{A B} = [(A B)_{x}, (A B)_{y}] = [3, 1]

Ry0wYMe0OAKkO

Rys. 2. Rysunek przedstawia wektor w układzie współrzędnych. Na rysunku przedstawiano układ współrzędnych XY z osią OX skierowaną poziomo a osią OY skierowaną pionowo. Jest to układ matematyczny, bezjednostkowy. Oś OX zawiera wartości od zera do sześciu z podziałką co jeden. Oś OY zawiera wartości od zera do trzech z podziałką co jeden. Dla ułatwienia odczytu na wykres naniesiono szarą siatkę kwadratową odpowiadającą podziałkom na osiach. Pionowe linie siatki dla x równych cztery i jeden oraz poziome linie siatki dla y równych dwa i trzy zostały wyjątkowo narysowane czarną linią przerywaną. Na wykresie narysowano trzy wektory, wszystkie z punktem przyłożenia w punkcie zaznaczonym czarną kropką. Punkt ten oznaczony został na rysunku dużą czerwoną literą A i ma współrzędne (jeden, dwa) co zapisano czarną czcionką w prawej części wykresu. Pierwszy wektor poprowadzono kolorem czerwonym z tego punktu do punktu przecięcia się przerywanych linii siatki i nazwano dużą literą A i dużą literą B ze znakiem strzałki nad nimi. Punkt ten oznaczony na rysunku dużą czerwoną literą B ma współrzędne (cztery, trzy) co zapisano czarną czcionką w prawej części wykresu. Pionowo równolegle do osi OY do punktu o współrzędnych (jeden, trzy) oznaczonego dużą niebieską literą B z indeksem dolnym w postaci małej litery y poprowadzono wektor oznaczony niebieskimi literami dużą A i dużą B z indeksem dolnym w postaci litery y ze strzałką wektora ponad nimi. Poziomo równolegle do osi OX do punktu o współrzędnych (cztery, dwa) oznaczonego dużą niebieską literą B z indeksem dolnym w postaci małej litery x poprowadzono wektor oznaczony niebieskimi literami dużą A i dużą B z indeksem dolnym w postaci litery x ze strzałką wektora ponad nimi. Po prawej stronie wykresu zapisano czarną czcionką, że współrzędne wektora AB są równe trzy i jeden. — Rys. 2. Wektor $\vec{A B}$ o początku w punkcie $(1, 2)$ i końcu w punkcie $(4, 3)$ oraz współrzędne tego wektora. Pokazano też składowe tego wektora: ${\vec{A B}}_{x}$ oraz ${\vec{A B}}_{y}$

W trzecim przykładzie (Rys. 3.) zobaczymy, że współrzędne mogą mieć wartość dodatnią lub ujemną. Dla wektora $\vec{A B}$ , gdzie $A (4, 3)$ a $B (1, 2)$

A_{x} = 4, A_{y} = 3

B_{x} = 1, B_{y} = 2

więc:

Współrzędna wektora wzdłuż osi $x$ :

(A B)_{x} = B_{x} - A_{x} = 1 - 4 = -3

Współrzędna wektora wzdłuż osi $y$ :

(A B)_{y} = B_{y} - A_{y} = 2 - 3 = -1

Współrzędne wektora $\vec{A B}$ :

\vec{A B} = [(A B)_{x}, (A B)_{y}] = [-3, -1]

R13Ismc2H7n38

Rys. 3. Rysunek przedstawia wektor w układzie współrzędnych. Na rysunku przedstawiano układ współrzędnych XY z osią OX skierowaną poziomo a osią OY skierowaną pionowo. Jest to układ matematyczny, bezjednostkowy. Oś OX zawiera wartości od zera do sześciu z podziałką co jeden. Oś OY zawiera wartości od zera do trzech z podziałką co jeden. Dla ułatwienia odczytu na wykres naniesiono szarą siatkę kwadratową odpowiadającą podziałkom na osiach. Pionowe linie siatki dla x równych cztery i jeden oraz poziome linie siatki dla y równych dwa i trzy zostały wyjątkowo narysowane czarną linią przerywaną. Na wykresie narysowano trzy wektory, wszystkie z punktem przyłożenia w punkcie zaznaczonym czarną kropką. Punkt ten oznaczony został na rysunku dużą czerwoną literą A i ma współrzędne (cztery, trzy) co zapisano czarną czcionką w prawej części wykresu. Pierwszy wektor poprowadzono kolorem czerwonym z tego punktu do punktu przecięcia się przerywanych linii siatki i nazwano dużą literą A i dużą literą B ze znakiem strzałki nad nimi. Punkt ten oznaczony na rysunku dużą czerwoną literą B ma współrzędne (jeden, dwa) co zapisano czarną czcionką w prawej części wykresu. Pionowo równolegle do osi OY do punktu o współrzędnych (cztery, dwa) poprowadzono wektor oznaczony niebieskimi literami dużą A i dużą B z indeksem dolnym w postaci litery y ze strzałką wektora ponad nimi. Poziomo równolegle do osi OX do punktu o współrzędnych (jeden, trzy) poprowadzono wektor oznaczony niebieskimi literami dużą A i dużą B z indeksem dolnym w postaci litery x ze strzałką wektora ponad nimi. Po prawej stronie wykresu zapisano czarną czcionką, że współrzędne wektora AB są równe minus trzy i minus jeden. — Rys. 3. Wektor $\vec{A B}$ o początku w punkcie $(4, 3)$ i końcu w punkcie $(1, 2)$ oraz współrzędne tego wektora. Pokazano też składowe tego wektora: ${\vec{A B}}_{x}$ oraz ${\vec{A B}}_{y}$

Mając dane współrzędne wektora można w łatwy sposób określić jego kierunek, zwrot oraz wartość. Nie można jednak określić jego punktu zaczepienia.

Kilka wektorów może mieć te same współrzędne, mimo że współrzędne ich punktów początkowych i końcowych są różne:

R14rBWz1MHdsU

Rys. 4. Rysunek przedstawia wektory o jednakowych współrzędnych w układzie współrzędnych. Na rysunku przedstawiano układ współrzędnych XY z osią OX skierowaną poziomo a osią OY skierowaną pionowo. Jest to układ matematyczny, bezjednostkowy. Oś OX zawiera wartości od minus jeden do sześciu z podziałką co jeden. Oś OY zawiera wartości od minus dwóch do trzech z podziałką co jeden. Dla ułatwienia odczytu na wykres naniesiono szarą siatkę kwadratową odpowiadającą podziałkom na osiach. Na wykresie narysowano pięć wektorów o równej długości czyli wartości i tym samym kierunku i zwrocie co powoduje, że są do siebie równolegle ze strzałkami ustawionymi w tą samą stronę. Każdy z wektorów został narysowany kolorem czerwonym z punktem przyłożenia, czyli punktem jego początku, w postaci czarnej kropki. Wektory zostały nazwane literami określającymi ich punkty początku i końca. Wektor AB ma początek w punkcie opisanym dużą czarną literą A o współrzędnych (zero, zero) a koniec w punkcie opisanym dużą czarną literą B o współrzędnych (dwa, jeden). Wektor CD ma początek w punkcie opisanym dużą czarną literą C o współrzędnych (minus jeden, zero) a koniec w punkcie opisanym dużą czarną literą D o współrzędnych (jeden, jeden).Wektor EF ma początek w punkcie opisanym dużą czarną literą E o współrzędnych (jeden, dwa) a koniec w punkcie opisanym dużą czarną literą F o współrzędnych (trzy, trzy).Wektor GH ma początek w punkcie opisanym dużą czarną literą G o współrzędnych (zero, minus dwa) a koniec w punkcie opisanym dużą czarną literą H o współrzędnych (dwa, minus jeden).Wektor IJ ma początek w punkcie opisanym dużą czarną literą I o współrzędnych (trzy, minus jeden) a koniec w punkcie opisanym dużą czarną literą J o współrzędnych (pięć, zero). Współrzędne tych wszystkich punktów zapisano po prawej stronie wykresu czarną czcionką. W tym samym miejscu także czarną czcionką zapisano współrzędne odpowiednich wektorów. Wszystkie wektory mają współrzędne dwa i jeden. — Rys. 4. Pięć wektorów o jednakowych współrzędnych i różnych punktach zaczepienia. Są one wszystkie do siebie równoległe (mają ten sam kierunek i zwrot) i mają te same wartości (długości)

Wszystkie te wektory mają taki sam kierunek, zwrot oraz wartość, czyli są sobie równe. Możemy więc wprowadzić nową definicję wektorów równych sobie:

Wektory są sobie równe wtedy, gdy mają równe wszystkie swoje współrzędne.

Skoro wprowadziliśmy nową definicję wektorów równych sobie, możemy też wprowadzić nową definicję wektorów przeciwnych:

Wektory są do siebie przeciwne, gdy każde z ich współrzędnych są do siebie przeciwne.

Tak więc wektorem przeciwnym do wektora $\vec{A B}$ o współrzędnych $\vec{A B} = [A B_{x}, A B_{y}]$ będzie każdy wektor o współrzędnych $[- A B_{x}, - A B_{y}]$ . Wektorem przeciwnym do wektora $\vec{C D}$ o współrzędnych $\vec{C D} = [1, 2]$ będzie każdy wektor o współrzędnych $[(- 1), (- 2)]$ .

Posługiwanie się współrzędnymi wektora może też ułatwić ich dodawanie. Dodając do siebie dwa wektory, których współrzędne znamy, dodajemy do siebie współrzędne tych wektorów wzdłuż poszczególnych osi. W ten sposób otrzymujemy współrzędne wektora będącego wynikiem dodawania. Weźmy dla przykładu dwa wektory $\vec{A B} = [(A B)_{x}, (A B)_{y}]$ oraz $\vec{C D} = [(C D)_{x}, (C D)_{y}]$ . Ich sumą jest wektor $\vec{E F} = [(E F)_{x}, (E F)_{y}]$ , gdzie:

(E F)_{x} = (A B)_{x} + (C D)_{x}

(E F)_{y} = (A B)_{y} + (C D)_{y}

Gdy więc $\vec{A B} = [1, 2]$ a $\vec{C D} = [3, 4]$ , to

\vec{E F} = [(1 + 3), (2 + 4)] = [4, 6]

W ten sam sposób możemy odejmować wektory. Na przykład mając dane wektory $\vec{A B} = [(A B)_{x}, (A B)_{y}]$ i $\vec{C D} = [(C D)_{x}, (C D)_{y}]$ , chcemy obliczyć wektor $\vec{E F} = \vec{C D} - \vec{A B}$ . Otrzymujemy więc wektor $\vec{E F} = [(E F)_{x}, (E F)_{y}]$ , gdzie:

(E F)_{x} = (C D)_{x} - (A B)_{x}

(E F)_{y} = (C D)_{y} - (A B)_{y}

Gdy więc ponownie przyjmiemy, że $\vec{A B} = [1, 2]$ a $\vec{C D} = [3, 4]$ , otrzymujemy:

\vec{E F} = [(3 - 1), (4 - 2)] = [2, 2]

Słowniczek

Twierdze Pitagorasa

(ang.: Pythagoras' theorem) twierdzenie pozwalające wyznaczyć długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym z wzoru: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ gdzie $a$ i $b$ są to przyprostokątne a $c$ to przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym.

wektor

(ang.: vector) obiekt matematyczny opisywany za pomocą wielkości: modułu (nazywanego też – zdaniem niektórych niepoprawnie – długością lub wartością), kierunku wraz ze zwrotem (określającym orientację wzdłuż danego kierunku); istotny przede wszystkim w matematyce elementarnej, inżynierii i fizyce.

Wprowadzenie

Film samouczek

Warto przeczytać

Słowniczek