Warto przeczytać

Pole elektrostatyczne wytworzone przez naładowaną kulę jest polem centralnym. Oznacza to, że wartość natężenia pola zależy wyłącznie od wartości ładunku i odległości od centrum źródła pola, w tym przypadku środka kuli. Symetrię takiego pola nazywamy sferyczną, powierzchnie ekwipotencjalnepowierzchnia ekwipotencjalnapowierzchnie ekwipotencjalne w tym układzie są właśnie sferami. Linie pola centralnego są półprostymi o wspólnym początku w centrum pola, a więc ich gęstość maleje wraz z odległością od centrum.

R1It4KAc9Wqfd

Rys. 1. Na rysunku znajduje się koło wypełnione znakami plus. Obok zapisano literę wielkie Q. Ze środka koła wychodzą promieniście linie proste ze strzałkami skierowanymi na zewnątrz. Przy jednej z linii zapisano wektor natężenia pola litera wielkie E ze strzałką nad nią.

By wyznaczyć natężenie pola, musimy posłużyć się pojęciem strumienia pola elektrycznego. Jest to skalarna wielkość opisująca, jak pole elektryczne „przepływa” (przenika) przez pewną powierzchnię, podobnie jak strumień wody oznacza przepływ pewnej ilości wody przez powierzchnię w jednostce czasu.

RUUv7Evaw9OfK

Rys. 2. Na rysunku znajduje się górny, mały fragment powierzchni kuli. Pole powierzchni fragmentu oznaczono literami wielkie delta wielkie S. Narysowano wektor prostopadły do powierzchni kuli o początku na jej powierzchni. Wektor ten oznaczono literą małe n ze strzałką nad nią. Drugi wektor o tym samym początku oznaczony jest literą wielkie E ze strzałką nad nią i tworzy z wektorem prostopadłym do powierzchni kąt ostry oznaczony grecką literą fi.

Strumień pola zależy od natężenia pola, od powierzchni, przez którą pole przepływa, oraz od kąta, pod jakim powierzchnia jest przenikana przez linie pola. Ograniczając się do niewielkiego elementu powierzchni $\Delta S$ możemy zapisać wartość strumienia pola elektrycznego $\Delta \Phi$ jako

gdzie wektor $\vec{n}$ jest prostopadły (normalny) do elementu powierzchni $\Delta S$, przy czym jego długość wynosi $1$.

Strumień pola możemy zinterpretować jako liczbę linii pola, które przecinają powierzchnię.

Korzystając z wielkości strumienia pola elektrycznego, możemy posłużyć się prawem Gaussa dla pola elektrycznego. Prawo to mówi, że całkowity strumień pola elektrycznego przenikającego dowolną zamkniętą powierzchnię równy jest sumie ładunków otoczonych tą powierzchnią, podzielonych przez stałą elektryczną ${\epsilon }_0$

Zatem możemy otoczyć naładowaną kulę zamkniętą powierzchnią, a następnie obliczyć strumień pola przez tę powierzchnię, by wyznaczyć natężenie pola elektrycznego.

RmyTVghAGR0u1

Rys. 3. Na rysunku znajduje się kulka, z której powierzchni wychodzą promieniście linie proste ze strzałkami skierowanymi na zewnątrz. Przy jednej z linii zapisano wektor natężenia pola litera wielkie E ze strzałką nad nią. Kulkę otacza przerywany okrąg o środku pokrywającym się ze środkiem kulki, który symbolizuje sferę otaczającą kulkę. Przy okręgu zapisano literę wielkie S.

Jeśli za powierzchnię obierzemy sferę, pole elektryczne będzie ją przenikać prostopadle. Co więcej, wartość natężenia pola dla każdego elementu sfery będzie taka sama, ze względu na stałą odległość od źródła. Prawo Gaussa przybierze więc postać

Pole elektrostatyczne na zewnątrz kuli

Wykorzystajmy prawo Gaussa do wyznaczenia pola na zewnątrz kuli. W tym celu otaczamy całą kulę sferyczną powierzchnią o promieniu $r$.

R1eAeh7VYJgYL

Rys. 4. Na rysunku znajduje się kulka o promieniu oznaczonym literą wielkie R. Otacza ją współśrodkowa sfera o większym promieniu oznaczonym literą małe r. Obok sfery zapisano literę wielkie S.

Ponieważ wewnątrz sfery znajduje się cały ładunek, prawo Gaussa przyjmie postać

Po przekształceniu otrzymujemy wartość natężenia w odległości $r$ od środka kuli:

Zależność ta jest więc identyczna. jak dla ładunku punktowego. Oznacza to, że naładowaną kulę na zewnątrz postrzegamy tak, jakby cały jej ładunek był skupiony w jej środku. Również potencjał na powierzchni naładowanej kuli jest równy potencjałowi od ładunku punktowego w odległości równej promieniowi kuli:

Pole elektrostatyczne wewnątrz kuli

Korzystając z tego samego prawa, możemy również wyznaczyć natężenie pola elektrycznego w środku naładowanej kuli. Tym razem sferą otoczymy tylko pewną część kuli.

R1RDrD6EtM0mL

Rys. 5. Na rysunku znajduje się kula o promieniu oznaczonym literą wielkie R. Wewnątrz niej jest współśrodkowa sfera o mniejszym promieniu oznaczonym literą małe r. Obok sfery zapisano literę wielkie S.

By zastosować prawo Gaussa, musimy wyznaczyć wartość ładunku $q$ w części objętości otoczonej sferą. Jeśli założymy, że ładunek jest rozłożony jednorodnie w całej objętości kuli, stosunek ładunku otoczonego do całości będzie równy stosunkowi objętości, w jakich ładunki są rozłożone.

Zależność ta wynika z faktu, że gęstość objętościowa ładunku (czyli stosunek ładunku do objętości, w której jest rozłożony) jest taka sama w całej kuli.

Po uproszczeniu otrzymujemy

Podstawiamy otrzymaną zależność do prawa Gaussa. Otrzymamy

Mamy zatem ostateczną postać wartości natężenia pola elektrycznego wewnątrz jednorodnie naładowanej kuli w funkcji odległości od jej środka:

RGSfLxN9XXpMx

Rys. 6. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono odległość w metrach, oznaczoną literą małe r. Na osi pionowej odłożono natężenie pola w woltach ma metr razy 10 do potęgi dziewiątej oznaczone literą wielkie E. Wykres zaczyna się w punkcie o współrzędnych: odległość zero, natężenie zero i ma kształt odcinka skierowanego w górę i w prawo i kończącego się w punkcie o współrzędnych: odległość jeden metr, natężenie około dziewięciu woltów ma metr razy 10 do potęgi dziewiątej. Dalej wykres ma kształt hiperboli, która opada do punktu o współrzędnych: odległość 3 metry, natężenie około jednego wolta ma metr razy 10 do potęgi dziewiątej.

Słowniczek