Przedział liczbowy to pewien podzbiór zbioru liczb rzeczywistych.  Przedziały liczbowe dzielimy zwykle na przedziały ograniczone i nieograniczone. Możemy zilustrować je na osi liczbowej.

Przedział otwarty jest zatem zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych zawartych między liczbami $a$ oraz $b$. Na osi liczbowejoś liczbowaosi liczbowej ilustrujemy go następująco:

REVdpTUB7z9xp

Grafika przedstawia przedział na osi X, od punktu a do punktu b otwarty. Punkty a i b zaznaczono za pomocą niezamalowanych kółeczek.

Zwróćmy uwagę, że końce przedziału otwartego do niego nie należą i są przedstawione na rysunku w punktach $a$ oraz $b$ jako kółeczka niezamalowane.

Przykład 1

Zbiór liczb zdefiniowany za pomocą podwójnej nierówności: $1<x<5$ jest przedziałem otwartym $\left(1;5\right)$.

RU3KEkdX6ewNf

Grafika przedstawia oś X od minus 1 do 7 ,na osi zaznaczono przedział otwarty od punktu 1 do punktu 5. Zaznaczono te punkty na osi za pomocą niezamalowanych kółeczek.

Jeśli do przedziału otwartego dołączymy jego oba końce, otrzymamy przedział domknięty.

Przedział domknięty jest zbiorem złożonym z liczb $a$ i $b$ oraz wszystkich liczb zawartych między nimi. Na osi liczbowej przedział domknięty ilustrujemy następująco:

RVjhiPr64OI1B

Grafika przedstawia przedział na osi X, od punktu a do punktu b domknięty. Punkty a i b zaznaczono za pomocą zamalowanych kółeczek.

Zauważmy, że tym razem końce przedziału domkniętego do niego należą, zatem kółeczka w punktach $a$ oraz $b$ są zamalowane.

Przykład 2

Zbiór liczb spełniających podwójną nierówność: $0\le x\le 4$ jest przedziałem domkniętym $⟨0;4⟩$. Jego ilustrację na osi liczbowej umieszczamy na rysunku poniżej.

R14ClWwuEqTaA

Grafika przedstawia oś X od minus 1 do 6, na osi zaznaczono przedział domknięty od punktu 0 do punktu 4. Punkt 0 i 4 zaznaczono zamalowanymi kółeczkami.

W ten sposób rozpatrzyliśmy dwa rodzaje przedziałów, które na osi oznaczamy odcinkami bez końców lub z dwoma końcami. Jak łatwo można się domyślić, są też takie przedziały, które zawierają jeden z końców, a drugiego nie. Przedział, do którego należy jego lewy koniec, a prawy nie, oznaczamy na osi liczbowej następująco:

RQli40Bcengwz

Grafika przedstawia przedział na osi X, od punktu a do punktu b lewostronnie domknięty i prawostronnie otwarty. Punkt a zaznaczono zamalowanym kółeczkiem, a punkt b niezamalowanym kółeczkiem.

Jest on definiowany nierównością: $a\le x<b$ i zapisywany symbolicznie: $\left.⟨a;b\right)$. Ostry nawias po lewej stronie oznacza, że liczba $a$ należy do przedziału, a okrągły nawias po stronie prawej, że $b$ nie należy do przedziału.

Przykład 3

Przedział, który zdefiniowany jest za pomocą podwójnej nierówności: $-3\le x<2$, oznaczamy symbolicznie $\left.⟨-3;2\right)$. Zauważmy, że liczba $\left(-3\right)$ należy do przedziału $\left.⟨-3;2\right)$, a liczba $2$ do tego przedziału nie należy. Na osi liczbowej przedstawiamy go tak jak na rysunku poniżej.

R6gzj3o4V5hgA

Grafika przedstawia oś X od minus 4 do 3 , na osi zaznaczono przedział lewostronnie domknięty i prawostronnie otwarty od punktu minus 3 do punktu 2. Punkt minus 3 zaznaczono zamalowanym kółeczkiem, a punkt 2 niezamalowanym kółeczkiem.

Przedział, do którego należy jego prawy koniec, a lewy nie, oznaczamy na osi liczbowej następująco:

R1ZNwSObwLgpm

Grafika przedstawia przedział na osi X, od punktu a do punktu b prawostronnie domknięty. Punkt a zaznaczono niezamalowanym kółeczkiem, a punkt b zaznaczono zamalowanym kółeczkiem.

Jest on definiowany nierównością: $a<x\le b$ i oznaczany symbolicznie: $\left(a;b\right.⟩$.

Przykład 4

Przedział, który zdefiniowany jest za pomocą podwójnej nierówności $-1<x\le 1$, oznaczamy symbolicznie jako $\left(-1;1\right.⟩$. Zauważmy, że liczba $\left(-1\right)$ nie należy do przedziału $\left(-1;1\right.⟩$, a liczba $1$ do tego przedziału należy. Na osi liczbowej przedstawiamy go tak, jak na rysunku poniżej.

R6qfU48v048L4

Grafika przedstawia oś X od minus 4 do 4 , na osi zaznaczono przedział lewostronnie otwarty i prawostronnie domknięty od punktu minus 1 do punktu 1. Punkt minus jeden zaznaczono niezamalowanym kółeczkiem a punkt 1 zaznaczono zamalowanym kółeczkiem.

Wszystkie przedziały dotąd rozważane są przedziałami ograniczonymi. Mówimy również o przedziałach nieograniczonych, które na osi liczbowej symbolizuje półprosta (z początkiem lub bez początku).

W poniższych przykładach przedstawimy sposób oznaczania przedziałów nieograniczonych.

Zbiór liczb większych od liczby $a$, czyli spełniających nierówność: $x>a$ zaznaczamy na osi, jak na poniższym rysunku.

R1HDuNePCghXc

Grafika przedstawia przedział na osi X, otwarty od punktu a, prawostronnie nieograniczony . Punkt a zaznaczono niezamalowanym kółeczkiem.

Symbolicznie zapisujemy go następująco: $\left(a;+\infty \right)$.

Przykład 5

Zbiór liczb zdefiniowany za pomocą nierówności: $x>-1$ to przedział $\left(-1;+\infty \right)$. Jego ilustracja na osi liczbowej przedstawiona jest na rysunku poniżej.

RMZDHs7gNvTYp

Grafika przedstawia oś X od minus 3 do 4 , na osi zaznaczono przedział lewostronnie domknięty od punktu minus 1 , prawostronnie nieograniczony. Punkt minus jeden zaznaczono niezamalowanym kółeczkiem.

Zbiór liczb większych od $a$ lub równych liczbie $a$, czyli spełniających nierówność: $x\ge a$, oznaczamy na osi jak na rysunku poniżej.

RC58phWAbI2Fx

Grafika przedstawia przedział na osi X, domknięty od punktu a, prawostronnie nieograniczony. Punkt a zaznaczono zamalowanym kółeczkiem.

Symbolicznie przedział taki zapisujemy następująco: $\left.⟨a;+\infty \right)$.

Przykład 6

Zbiór liczb zdefiniowany za pomocą nierówności: $x\ge 2$ jest przedziałem $\left.⟨2;+\infty \right)$, a na osi liczbowej przedstawiamy go tak jak na rysunku poniżej.

RRSqCFh6xQ5Eq

Grafika przedstawia oś X  od 0 do 7 , na osi zaznaczono przedział domknięty od punktu minus 2 , prawostronnie nieograniczony. Punkt a zaznaczono zamalowanym kółeczkiem.

Zbiór liczb mniejszych od liczby $a$, czyli zbiór liczb rzeczywistych spełniających nierówność:

$x<a$, oznaczamy $\left(-\infty ;a\right)$ i przedstawiamy na osi liczbowej następująco:

R1dKt41OtFZNb

Grafika przedstawia przedział na osi X, lewostronnie nieograniczony i prawostronnie otwarty w punkcie a. Punkt a zaznaczono niezamalowanym kółeczkiem.

Przykład 7

Zbiór liczb zdefiniowany za pomocą nierówności: $x<3$ jest przedziałem $\left(-\infty ;3\right)$, a na osi liczbowej przedstawiamy go tak jak na rysunku poniżej.

R15CZsRcX6IZf

Grafika przedstawia oś X od minus 2 do 5 , na osi zaznaczono przedział lewostronnie otwarty do punktu 3 , lewostronnie nieograniczony. Punkt 3 zaznaczono niezamalowanym kółeczkiem.

Wreszcie, zbiór liczb mniejszych lub równych liczbie $a$, czyli spełniających nierówność: $x\le a$, ilustrujemy na osi następująco:

R1GmcM1iNTkKN

Grafika przedstawia przedział na osi X, domknięty do punktu a, lewostronnie nieograniczony. Punkt a zaznaczono zamalowanym kółeczkiem.

Przykład 8

Zbiór liczb zdefiniowany za pomocą nierówności: $x\le 6$ to przedział $\left(-\infty ;6\right.⟩$, którego ilustracja na osi liczbowej przedstawiona jest na rysunku poniżej.

R1I3dA1ufVX7U

Grafika przedstawia oś X  od 0 do 8 , na osi zaznaczono przedział domknięty lewostronnie w punkcie 6 , lewostronnie nieograniczony. Punkt 6 zaznaczono zamalowanym kółeczkiem.

Słownik