Przeczytaj
Z zasadniczego twierdzenia algebry wynika, że równanie wielomianowe stopnia może mieć co najwyżej pierwiastków rzeczywistych. Przy czym każde równanie wielominowe stopnia nieparzystego ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Jest to ważna informacja, z której będziemy korzystać rozwiązując równania, których współczynniki bądź pierwiastki są wyrazami ciągu arytmetycznego.
Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby , zwanej różnicą ciągu.
Ciąg arytmetyczny | ||
---|---|---|
Wyraz ogólny ciągu | Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu | Suma początkowych wyrazów ciągu |
Rozwiązanie pierwszego przykładu prowadzi do znalezienia ostatniego wyrazu skończonego ciągu arytmetycznego.
Rozwiążemy równanie , którego składniki lewej strony są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
Rozwiązanie:
Liczba jest pierwszym wyrazem ciągu arytmetycznego, a liczba ostatnim. Oznaczmy ten ciąg , a – jego różnicę.
Wtedy:
i , gdzie
Ostatnim wyrazem ciągu , , , , jest liczba , zatem .
Lewą stronę równania przedstawiamy w prostszej postaci – korzystamy ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
– nie spełnia warunków zadania
lub
Wynika z tego, że dodano dziesięć wyrazów ciągu, więc .
Odpowiedź:
Rozwiązaniem równania jest liczba .
Rozwiązanie kolejnego problemu wymaga nie tylko rozwiązania pewnego równania, ale również układu równań z trzema niewiadomymi.
Ciąg jest ciągiem arytmetycznym, w którym pierwszy wyraz jest o większy od trzeciego. Równanie z niewiadomą ma dwa rozwiązania, z których jedno jest równe . Znajdziemy drugie rozwiązanie tego równania.
Rozwiązanie:
Z treści zadania wynika, że .
Ciąg jest arytmetyczny, więc , czyli .
Jednym z rozwiązań równania jest liczba , więc .
W ten sposób uzyskaliśmy układ trzech równań z trzema niewiadomymi.
Rozwiążemy ten układ równań metodą podstawiania. Wyznaczone podstawiamy do drugiego i do trzeciego równania.
Rozwiązujemy uzyskany układ równań.
Żeby nie komplikować zapisów, wyodrębnimy z układu równań trzecie równanie i rozwiążemy je.
lub
Jeśli to i .
Liczby , , tworzą ciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny o różnicy .
Rozwiązywane równanie ma postać:
Wyznaczamy pierwiastki równania.
lub
Jeśli to i .
Liczby , , tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy .
Rozwiązywane równanie ma postać:
Wyznaczamy pierwiastki równania.
lub
Odpowiedź:
Rozwiązaniami równania są liczby i lub i .
Rozwiążemy teraz równanie stopnia trzeciego z parametrem, wykorzystując własności ciągu arytmetycznego.
Znajdziemy taką wartość parametru , dla której rozwiązaniami równania są trzy różne liczby, będące kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
Rozwiązanie:
Aby rozwiązać równanie , rozkładamy równanie na czynniki.
Zapisujemy równanie w postaci równoważnej alternatywy.
lub
lub lub
Aby wyznaczyć liczbę rozpatrzymy następujące przypadki.
Kolejne wyrazy ciągu: , , . Różnica ciągu: , stąd .
Kolejne wyrazy ciągu: , , . Różnica ciągu: , stąd .
Kolejne wyrazy ciągu: , , . Ze związku miedzy wyrazami ciągu arytmetycznego: .
Kolejne wyrazy ciągu: , , . Ze związku miedzy wyrazami ciągu arytmetycznego: .
Pozostałe dwa przypadki pozostawiamy Ci do rozpatrzenia.
Odpowiedź:
Dla lub rozwiązaniami równania są kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.
W następnym zadaniu rozwiążemy układ równań z trzema niewiadomymi. Aby uprościć zapis rozwiązania, nie będziemy przepisywać całego układu równań, ale postąpimy w sposób „kombinowany” – łącząc parami równania układu.
Określimy, dla jakich wartości parametru rozwiązaniem układu równań
są liczby , , tworzące w tej kolejności ciąg arytmetyczny.
Rozwiązanie:
Aby rozwiązać układ równań
z drugiego równania układu wyznaczamy i podstawiamy do równania trzeciego, z którego wyznaczamy .
Ponieważ liczby , , tworzą ciąg arytmetyczny, zatem z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego wynika, że
.
Zatem
.
Wyznaczone z wstawiamy do drugiego z równań układu i wyznaczamy .
Obliczamy teraz trzecią niewiadomą.
Wreszcie podstawiamy wyznaczone liczby do równania pierwszego i obliczamy .
Odpowiedź:
Rozwiązania rozważanego układu równań tworzą ciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny dla .
W ostatnim przykładzie rozwiążemy nierówność, pamiętając o dziedzinie ciągu arytmetycznego.
W nieskończonym ciągu arytmetycznym suma pierwszego i trzeciego wyrazu jest równa , a iloczyn wyrazu pierwszego i czwartego jest równy . Znajdziemy wartość liczby , dla której
Rozwiązanie:
Oznaczmy:
– różnicę ciągu .
Wtedy
i
Na podstawie treści zadania, zapisujemy układ równań.
Rozwiązujemy układ równań metodą podstawiania.
Drugie równanie układu jest równaniem kwadratowym – rozwiążemy je.
lub
Jeśli to i .
Rozwiązujemy nierówność
Lewą stronę nierówności przekształcamy, korzystając ze wzoru na sumę kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
lub
Nierówność jest spełniona dla .
Jednak wiemy, że jest liczba naturalną dodatnią (gdyż jest wyrazem ciągu arytmetycznego).
Stąd , , , , .
Jeśli to i .
Rozwiązujemy nierówność
Ponieważ jest liczbą naturalną dodatnią, więc , , , , .
Odpowiedź:
Jeśli pierwszy wyraz ciągu jest równy to .
Jeśli pierwszy wyraz ciągu jest równy , to .
Słownik
ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby , zwanej różnicą ciągu