Warto przeczytać

Pierwsze prawo Keplera dotyczy kształtu orbit planet.

Ruch wszystkich planet wokół Słońca odbywa się po orbitach eliptycznych, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk elipsy.

Elipsa to zbiór punktów których suma odległości od obu ognisk jest jednakowa (Rys.1.). Parametry charakteryzujące elipsę to:

• a - półoś wielka, która jest jednocześnie średnią odległością planety od Słońca,

• b – półoś mała,

• c - odległość ogniska od środka elipsy.

  R1GNfLtVc573R

  Rys. 1. Na rysunku znajduje się elipsa, ustawiona poziomo. Skrajne punkty elipsy, lewy i prawy, połączono poziomym odcinkiem, na którym zaznaczono 2 punkty jednakowo odległe od środka odcinka. Są to ogniska elipsy. W lewym ognisku, oznaczonym literą wielkie F z indeksem dolnym 1, narysowano żółty krążek podpisany jako Słońce. Prawe ognisko oznaczono literą wielkie F z indeksem dolnym 2. Połowa poziomego odcinka, czyli półoś wielka, podpisana jest literą małe a. Mała półoś elipsy, czyli pionowy odcinek o początku w środku osi wielkiej i końcu w górnym punkcie elipsy, podpisana jest literą małe b. Lewy koniec osi wielkiej, leżący bliżej Słońca, podpisany jest jako peryhelium. Prawy koniec osi wielkiej podpisany jest jako aphelium. W dolnej części elipsy pokazane są 3 położenia planety krążącej wokół Słońca. Są to małe niebieskie krążki. Dwa takie krążki połączono przerywaną linią z oboma ogniskami elipsy, co ma ilustrować definicję elipsy, jako zbiór punktów których suma odległości od obu ognisk jest jednakowa. Trzeci krążek jest końcem wektora o początku w środku Słońca.

  

Innym pojęciem używanym do opisu elipsy jest mimośródmimośródmimośród, zwany również ekscentrycznością:

Parametr ten dla elipsy przyjmuje wartości z zakresu $⟨0;1)$. Mimośród wskazuje, jak wydłużona jest elipsa. Gdy mimośród równy jest zeru, elipsa staje się okręgiem. Im jest bliższy jedności, tym bardziej wydłużona i spłaszczona jest elipsa. Punkt orbity najdalszy Słońcu nazywa się apheliumapheliumaphelium, punkt najbliższy – peryheliumperyheliumperyhelium.

Drugie prawo Keplera

Promień wodzący planety zakreśla równe pola w równych odstępach czasu (Rys. 2).

R1SY9YswBAA15

Rys. 2. Na rysunku znajduje się elipsa, ustawiona poziomo. W prawym ognisku elipsy znajduje się Słońce przedstawione jako żółta kulka. Dwie strzałki o początku w Słońcu i końcu w dwóch punktach, leżących na elipsie z prawej strony, wyznaczają na elipsie łuk równy drodze przebytej przez planetę w pewnym odstępie czasu. Podobnie, dwie strzałki o początku w Słońcu i końcu w dwóch punktach, leżących z lewej strony elipsy, wyznaczają na elipsie łuk równy drodze przebytej przez planetę w tym samym odstępie czasu. Strzałki z lewej strony są znacznie dłuższe od strzałek z prawej strony, a lewy łuk jest krótszy niż łuk prawy. Przy końcu górnej lewej strzałki narysowano wektor prędkości planety, styczny do elipsy i skierowany do góry i w prawo. Wektor oznaczony jest literą małe v z indeksem dolnym 1 i strzałką nad nią. Przy końcu dolnej prawej strzałki narysowano wektor prędkości planety, styczny do elipsy i skierowany w dół i w lewo. Wektor oznaczony jest literą małe v z indeksem dolnym 2 i strzałką nad nią. Wektor prędkości małe v z indeksem dolnym 2 ma większą długość niż wektor prędkości małe v z indeksem dolnym 1.

Inne sformułowanie tego prawa brzmi:

Prędkość polowa planety na orbicie okołosłonecznej jest stała.

Prędkość polowa to pole powierzchni zakreślane przez promień wodzący planety w jednostce czasu.

Z II prawa Keplera wynika, że w pobliżu peryhelium, gdy planeta jest najbliżej Słońca, porusza się z największą prędkością. W pobliżu  aphelium – najdalej od Słońca prędkość planety jest najmniejsza.

Zmiany prędkości planety na orbicie eliptycznej przewidziane przez drugie prawo Keplera wynikają z zasady zachowania momentu pędu, która mówi, że moment pędu ciała jest stały, jeśli nie działa na nie moment siły. Siła grawitacji, działająca na planetę, jest w każdym momencie skierowana wzdłuż promienia wodzącego planety. Moment siły grawitacji względem osi obrotu zdefiniowany jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i wektora siły grawitacji jest więc równy zeru. Moment pędu planety pozostaje stały. Porównajmy momenty pędu, gdy planeta znajduje się najbliżej i najdalej od Słońca (Rys. 3).

R3OGoZl1ntidG

Rys. 3. Na rysunku znajduje się elipsa, ustawiona poziomo. Narysowano oś wielką elipsy, czyli poziomy odcinek łączący 2 skrajne punkty elipsy, lewy i prawy. Na lewo od środka osi wielkiej znajduje się żółty krążek symbolizujący Słońce. W punktach będących końcami osi wielkiej pokazane są 2 położenia planety krążącej wokół Słońca. Narysowano wektor prędkości planety w lewym położeniu. Wektor skierowany jest pionowo w dół i oznaczony literą małe v z indeksem dolnym max i strzałką nad nią. Wektor prędkości planety w prawym położeniu skierowany jest pionowo w górę i oznaczony literą małe v z indeksem dolnym min i strzałką nad nią. Od Słońca do punktów, w których znajduje się planeta, narysowano promienie wodzące planety. Promień wodzący planety w lewym położeniu jest skierowany poziomo w lewo i oznaczony literą małe r z indeksem dolnym min i strzałką nad nią. Promień wodzący planety w lewym położeniu jest skierowany poziomo w prawo i oznaczony literą małe r z indeksem dolnym max i strzałką nad nią.

Wektor pędu $\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$ jest w tych punktach prostopadły do promienia wodzącego planety $\overrightarrow{r}$. Wartość momentu pędu można więc przedstawić jako iloczyn wartości pędu i promienia wodzącego. Przyrównując wartości momentu pędu w punktach o maksymalnej i minimalnej odległości od planety, otrzymujemy:

Po przekształceniach równanie to można przedstawić w postaci:

Im bardziej wydłużony kształt orbity, tym większy stosunek maksymalnej do minimalnej prędkości planety.

Trzecie prawo Keplera to zależność między okresami obiegu planet i odległościami planet od Słońca.

Kwadraty okresów obiegu planet są proporcjonalne do sześcianów wielkich półosi ich orbit (czyli ich średnich odległości od Słońca):

gdzie RIndeks dolny 1₁ i TIndeks dolny 1₁ to długość półosi i okres obiegu pierwszej planety, RIndeks dolny 2₂ i TIndeks dolny 2₂ - długość półosi i okres obiegu drugiej planety.

Zależność ta wynika bezpośrednio z prawa powszechnego ciążenia. Łatwo ją wyprowadzić dla orbity kołowej. Ruch po okręgu spowodowany jest działaniem siły dośrodkowej:

Gdzie m jest masą planety, v – jej prędkością, r – promieniem orbity.

Prędkość można wyrazić przez okres ruchu:

Siła dośrodkowa wyraża się więc wzorem:

W przypadku planety krążącej wokół Słońca rolę siły dośrodkowej spełnia siła grawitacji:

gdzie m jest masą Słońca, a G – stałą grawitacji.

Przyrównujemy siłę grawitacji do siły dośrodkowej:

A po przekształceniach otrzymujemy:

Trzecie prawo Keplera można wyrazić w innej postaci:

Iloraz sześcianu średniej odległości r planety od Słońca i kwadratu okresu obiegu T jest wartością stałą.

Wartość tej stałej dla planet w Układzie Słonecznym, zwanej heliocentryczną stałą grawitacji wynosi:

Prawa Keplera opisują ruch nie tylko planet wokół Słońca, ale też ruch satelitów naturalnych i sztucznych wokół planet. Można je zastosować zawsze wtedy, gdy wokół masywnego ciała krążą ciała o masie znacznie mniejszej, którą można pominąć w porównaniu z masą ciała centralnego.

Słowniczek