Warto przeczytać

Rozważmy następującą sytuację - dwóch rowerzystów przejeżdża ze stałą prędkościąprędkośćprędkością przez plac.

R5kxau9nrYdSo

Rys. 1. Na ilustracji przedstawiono dwa ciała w postaci czarnych okręgów z białym tłem, w środku których znajdują się oznaczenia wielka litera R z indeksem dolnym jeden, w jednym, i wielka litera R z indeksem dolnym dwa, w drugim. Symbolizują one rowerzystów. Rowerzysta pierwszy, wielka litera R z indeksem dolnym jeden, porusza się w kierunku poziomym, co jest oznaczone czarną, poziomą strzałką skierowaną w prawo. Strzałka symbolizuje wektor prędkości względem Ziemi i oznaczona jest, jako wektor v z indeksem jeden ukośnik wielka litera Z. Rowerzysta drugi porusza się w lewo i w dół na ilustracji co symbolizuje strzałka, której grot wskazuje lewy‑dolny róg ilustracji. Strzałka opisana jest symbolem wektor v z indeksem dolnym dwa ukośnik wielka litera Z. Rowerzysta drugi znajduje się powyżej i z prawej strony rowerzysty pierwszego na ilustracji.

Prędkość pierwszego opisana jest wektorem ${\overrightarrow{v}}_{1/Z}$ , a prędkość drugiego to ${\overrightarrow{v}}_{2/Z}$. Są to prędkości względem układu odniesieniaukład odniesieniaukładu odniesienia związanego z powierzchnią Ziemi, co zaznaczamy odpowiednimi indeksami.

Zastanówmy się teraz, jak wyznaczyć prędkośćprędkośćprędkość pierwszego rowerzysty względem drugiego.

Aby wyznaczyć prędkośćprędkośćprędkość ciała, należy podzielić wektor przemieszczeniaprzemieszczenieprzemieszczenia przez czas, w jakim to przemieszczenie nastąpiło. Musimy zatem wyznaczyć przemieszczenie pierwszego rowerzysty względem drugiego.

RhSzpjzdmMmTE

Rys. 2. Na ilustracji przedstawiono prostokątny układ współrzędnych. Pionowa oś wartości skierowana w górę oznaczona jest jako położenie w kierunku y. Pozioma oś skierowana w prawo oznaczona jest, jako położenie w kierunku x. W układzie widoczne są dwa ciała w postaci czarnych okręgów z białym tłem, w środku których znajdują się oznaczenia wielka litera R z indeksem dolnym jeden w jednym i wielka litera R z indeksem dolnym dwa w drugim. Symbolizują one rowerzystów. Rowerzysta pierwszy, wielka litera R z indeksem dolnym jeden, znajduje się po prawej stronie i powyżej początku układu współrzędnych. Z początku układu współrzędnych do położenia pierwszego rowerzysty narysowana jest czarna strzałka wskazująca jego położenie. Oznaczona jest, jako wektor r z indeksem dolnym zero jeden. Odzwierciedla on wektor położenia rowerzysty pierwszego. Drugi rowerzysta wielka litera R z indeksem dolnym dwa znajduje się powyżej i lekko po prawej stronie rowerzysty pierwszego. Z początku układu współrzędnych do położenia drugiego rowerzysty narysowana jest czarna strzałka wskazująca położenie rowerzysty. Oznaczona jest, jako wektor r z indeksem dolnym zero dwa. Strzałka ta odzwierciedla wektor położenia rowerzysty drugiego. Pomiędzy rowerzystami widoczna jest trzecia czarna strzałka zaczynająca się w położeniu rowerzysty drugiego i kończąca w położeniu rowerzysty pierwszego. Strzałka ta symbolizuje wektor różnicy położeń obu rowerzystów. Strzałka oznaczona jest symbolem wektor r z indeksem dolnym zero.

Załóżmy, że układ współrzędnych związany jest z jakimś przedmiotem leżącym na powierzchni Ziemi. W pewnej chwili położeniapołożeniepołożenia rowerzystów w tym układzie są opisane wektorami ${\overrightarrow{r}}_{01}$ i ${\overrightarrow{r}}_{02}$ (Rys. 2.). Położenie pierwszego rowerzysty względem drugiego opisywać będzie wektor łączący obu rowerzystów, czyli

Po czasie t położenia rowerzystów zmieniły się i opisane są wektorami ${\overrightarrow{r}}_1$ i ${\overrightarrow{r}}_2$ tak, jak na Rys. 3.

R1HkgJx5hp5h0

Rys. 3. Na ilustracji przedstawiono prostokątny układ współrzędnych. Pionowa oś wartości skierowana w górę oznaczona jest jako położenie w kierunku y. Pozioma oś skierowana w prawo oznaczona jest, jako położenie w kierunku x. W układzie widoczne są dwa ciała w postaci czarnych okręgów z białym tłem, w środku których znajdują się oznaczenia wielka litera R z indeksem dolnym jeden w jednym i wielka litera R z indeksem dolnym dwa w drugim. Symbolizują one rowerzystów. Rowerzysta pierwszy wielka litera R z indeksem dolnym jeden znajduje się po prawej stronie i powyżej początku układu współrzędnych. Z początku układu współrzędnych do położenia pierwszego rowerzysty narysowana jest czarna strzałka wskazująca jego położenie. Oznaczona jest, jako wektor r z indeksem dolnym jeden. Strzałka ta odzwierciedla wektor położenia rowerzysty pierwszego. Drugi rowerzysta wielka litera R z indeksem dolnym dwa znajduje się powyżej i po lewej stronie rowerzysty pierwszego. Z początku układu współrzędnych do położenia drugiego rowerzysty narysowana jest czarna strzałka wskazująca położenie rowerzysty. Oznaczona jest, jako wektor r z indeksem dolnym dwa. Strzałka ta odzwierciedla wektor położenia rowerzysty drugiego. Pomiędzy rowerzystami widoczna jest trzecia czarna strzałka zaczynająca się w położeniu rowerzysty drugiego i kończąca w położeniu rowerzysty pierwszego. Strzałka ta symbolizuje wektor różnicy położeń obu rowerzystów. Strzałka oznaczona jest symbolem wektor r.

Wektor położenia pierwszego rowerzysty względem drugiego ma teraz postać

Zatem przemieszczenie pierwszego rowerzysty względem drugiego wynosi

Prędkość pierwszego rowerzysty względem drugiego obliczymy dzieląc to przemieszczenie przez czas t:

Teraz zapiszemy otrzymane wyrażenie za pomocą prędkości obu rowerzystów względem powierzchni Ziemi. Pierwszy z nich porusza się względem Ziemi z prędkością

a drugi

Zatem prędkość pierwszego rowerzysty względem drugiego możemy wyznaczyć z zależności

Słowniczek