Konwertowanie liczb całkowitych

Zanim napiszemy program przekształcający liczby dziesiętne do postaci w systemie dwójkowym (binarnymsystem binarnybinarnym), przypomnimy algorytm konwersji.

Posłużymy się przykładem. Chcemy zapisać liczbę 26Indeks dolny (10)₍₁₀₎ w systemie dwójkowym:

Używając długopisu i kartki, rozwiązalibyśmy zadanie w następujący sposób:

Ruvi6PwajVoxh

Ilustracja przedstawia przekształcenie liczbę 26 do postaci binarnej. W lewej części mamy rozkład binarny składający się z dwóch kolumn oddzielonych od siebie pionową linią ciągłą. Po prawej stronie umieszczono komentarz. Wiersz pierwszy: 26 | 0 komentarz 26:2 = 13 reszty 0, wiersz drugi 13 | 1 komentarz 13:2 = 6 reszty 1, wiersz trzeci 6 | 0 komentarz 6:2 = 3 reszty 0, wiersz czwarty 3 | 1 komentarz 3:2 = 1 reszty 1, wiersz piąty 1 | 1 komentarz 1:2 = 0 reszty 1.Obok kolumny drugiej przedstawiającej postać binarną narysowano pionową strzałkę o grocie skierowanym w górę.

Zaczynamy od podzielenia liczby 26 przez 2 (czyli podstawę systemu binarnego). Zapisujemy resztę z dzielenia i otrzymany iloraz, który ponownie dzielimy przez 2. Wynikiem jest kolejna reszta i iloraz; resztę znowu zapisujemy, a iloraz dzielimy przez 2. Postępujemy tak aż do momentu, w którym iloraz wyniesie 0. Zapamiętane reszty z dzielenia, odczytane od ostatniej (najnowszej) do pierwszej, składają się na zapis liczby w postaci dwójkowej.

Przełóżmy opisane wyżej operacje na listę czynności:

1. Dzielimy liczbę przez 2.

2. Zapisujemy iloraz całkowity oraz resztę.

3. Przyjmujemy iloraz całkowity za nową liczbę i wracamy do punktu 1. Czynności z punktów 1. i 2. powtarzamy do momentu, w którym iloraz wyniesie zero.

4. Zapisujemy reszty z dzielenia otrzymane na kolejnych etapach w kolejności od ostatniej (najnowszej) do pierwszej (obliczonej podczas pierwszej operacji dzielenia). Tak uszeregowane cyfry 1 oraz 0 składają się na dwójkową postać konwertowanej liczby.

Rozwiązaniem przykładowego zadania jest zatem:

Możemy przystąpić do napisania programu, w którym wykorzystamy opisany algorytm.

Realizacja algorytmu konwersji w języku Java

Chcemy napisać program, który odczyta podaną przez użytkownika całkowitą liczbę dziesiętną, przekształci ją do postaci dwójkowej, a następnie wypisze rezultat. Algorytm konwersji zrealizujemy w postaci osobnej funkcji, aby program był bardziej czytelny.

Zacznijmy od napisania tej części kodu, dzięki której użytkownik poda liczbę przeznaczoną do konwersji. Wykorzystamy w tym celu klasę Scanner oraz strumień wejścia (System.in):

Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int liczbaTest = scanner.nextInt();

Zmienna liczbaTest przechowa liczbę wpisaną przez użytkownika za pomocą klawiatury.

Przejdźmy do zdefiniowania funkcji decBin(), odpowiadającej za proces konwersji:

public static String decBin(int liczbaDec) {
	String wynik = "";
	int reszta = 0;
	
	while (liczbaDec > 0) {
		reszta = liczbaDec % 2;
		liczbaDec = liczbaDec / 2;
		wynik = reszta + wynik;
	}
		
	return wynik;
}

Funkcja zwróci wartość typu String, ponieważ wynikowa liczba w systemie binarnym będzie powstawać dzięki zapisywaniu kolejnych reszt z dzielenia (symboli 0 lub 1) od strony prawej do lewej (zapis zaczynamy od końca, czyli od bitu najmłodszego, a kończymy na najstarszym). Funkcja będzie miała jeden parametr, liczbę całkowitą liczbaDec. W momencie wywołania funkcji parametr przyjmie wartość argumentu - liczby dziesiętnej podanej przez użytkownika przeznaczonej do konwersji.

W ciele funkcji deklarujemy dwie zmienne: łańcuch znaków i liczbę (String wynik oraz int reszta). Pierwsza przechowuje wynik końcowy, czyli postać dwójkową liczby dziesiętnej. Zmiennej reszta będą przypisywane wartości kolejnych reszt z dzielenia przekształcanej liczby przez 2. Odpowiednią instrukcję zapisaliśmy w linii numer 7 (reszta = liczbaDec % 2). Operator % (modulo) służy do obliczania reszty z dzielenia.

Do zmiennej wynik dopisujemy („doklejamy”) kolejne reszty z dzielenia. Używamy przy tym operatora dodawania (+). Możemy tak postąpić, ponieważ zapisujemy rezultat przekształceń jako ciąg znaków (String), a nie liczbę. Zwróć jednak uwagę na kolejność działań. To do zmiennej reszta dopisujemy zmienną wynik, a nie odwrotnie. Jest to ważne, ponieważ rezultatem przekształceń są kolejne reszty zapisywane od strony prawej do lewej. Gdybyśmy odwrócili kolejność dodawania, to w przypadku konwertowania liczby 26Indeks dolny (10)₍₁₀₎ otrzymalibyśmy błędny wynik  01011Indeks dolny (2)₍₂₎ zamiast poprawnego ciągu 11010Indeks dolny (2)₍₂₎.

Oto końcowa wersja kodu:

import java.util.Scanner;

public class DecBin {
	public static String decBin(int liczbaDec) {
		String wynik = "";
		int reszta = 0;
		
		while (liczbaDec > 0) {
			reszta = liczbaDec % 2;
			liczbaDec = liczbaDec / 2;
			wynik  = reszta + wynik;
		}
		
		return wynik;
	}
	
	public static void main(String[] args) {
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		int liczbaTest = scanner.nextInt();
		
		System.out.println(decBin(liczbaTest));
	}
}

W linii 21. wywołujemy funkcję decBin() i od razu podajemy wynik jej działania.

Konwertowanie części ułamkowej

Przekształcanie części ułamkowej różni się od procesu konwertowania liczb całkowitych.

Przedstawimy sposób zapisania liczby dziesiętnej 0,777 w systemie dwójkowym:

ReUMopaifnka3

Ilustracja przedstawia przekształcenie części ułamkowej liczby do postaci binarnej. W lewej części mamy rozkład binarny składający się z dwóch kolumn oddzielonych od siebie pionową linią ciągłą. Po prawej stronie umieszczono komentarz. Wiersz pierwszy: 0,777 | 1 komentarz 0,777 razy 2 = 1,554, wiersz drugi 0,554 | 1 komentarz 0,554 razy 2 = 1,108, wiersz trzeci 0,108 | 0 komentarz 0,108 razy 2 = 0,216, wiersz czwarty 0,216 | 0 komentarz 0,216 razy 2 = 0,432, wiersz piąty 0,432 | 0 komentarz 0,432 razy 2 = 0,864.Obok kolumny drugiej przedstawiającej postać binarną narysowano pionową strzałkę o grocie skierowanym w dół.

Łatwo zauważyć podstawową cechę zastosowanego algorytmu: zamiast dzielić przekształcaną liczbę przez 2, mnożymy ją przez tę wartość. Poza tym wynik zapisujemy w kolejności innej niż w przypadku konwertowania liczb całkowitych: zaczynamy od bitu najstarszego, a kończymy na najmłodszym.

Zapiszmy po kolei etapy konwersji:

1. Mnożymy przekształcaną liczbę (0,777) przez 2.

2. Sprawdzamy czy otrzymany iloczyn jest większy lub równy 1:

   • jeżeli tak jest, jako wartość bitu w zapisie dwójkowym liczby przyjmujemy 1; od iloczynu odejmujemy 1;

   • gdy iloczyn jest mniejszy niż 1, wartość bitu wynosi 0.

3. Wracamy do punktu 1., ponownie mnożymy iloczyn przez 2 i sprawdzamy, czy wynik jest większy niż 1. Powtarzamy czynność aż do uzyskania iloczynu równego 0 lub osiągnięcia oczekiwanej dokładności liczby (np. 5 cyfr po przecinku).

4. Rezultatem przekształcenia jest ciąg cyfr 0 oraz 1, otrzymanych jako części całkowite kolejnych iloczynów. Zapisujemy je w kolejności od najstarszej do najnowszej („od góry do dołu”).

Wynikiem końcowym przekształcenia jest:

Liczba zapisana w systemie dwójkowym jest tylko przybliżeniem wartości dziesiętnej 0,777; dlatego właśnie użyliśmy znaku zaokrąglenia. Zwróćmy uwagę, że przekształcając liczbę ograniczyliśmy dokładność do pięciu miejsc po przecinku, chociaż konwersję można było prowadzić dalej.

W następnej sekcji zaimplementujemy opisany algorytm w języku Java.

Słownik