Przeczytaj

Już wiesz

Proporcjonalnością odwrotną nazywamy zależność między dwiema wielkościami zmiennymi $x$ , $y$ , określoną wzorem $x \cdot y = a$ , gdzie $a$ jest liczbą różnią od zera. O zmiennych $x$ , $y$ mówimy, że są odwrotnie proporcjonalne. Współczynnik $a$ nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

Ważne!

Iloczyn odpowiadających sobie wartości dwóch wielkości odwrotnie proporcjonalnych jest stały.

Ważne!

W przypadku rozpatrywania wielkości odwrotnie proporcjonalnych w zagadnieniach z kontekstem realistycznym należy pamiętać o dziedzinie budowanego modelu matematycznego. Zmienne $x$ oraz $y$ muszą być dodatnie. Dodatni jest także współczynnik proporcjonalności odwrotnej $a$ .

Przykład 1

Dysponujemy określoną kwotą pieniędzy, np. kwotą $20 zł$ . Zbadamy zależność między ceną za jedną sztukę danego towaru, a ilością sztuk, które możemy kupić.

Rozwiązanie:

Cena za sztukę [w $zł$ ]	$Liczba sztuk$
$1$	$20$
$2$	$10$
$4$	$5$
$5$	$4$
$10$	$2$
$20$	$1$

Iloczyn tych wielkości jest stały, jeśli np. zwiększymy cenę za sztukę dwukrotnie, liczba sztuk zmniejszy się dwukrotnie.

Przykład 2

Obliczymy jak daleko od punktu podparcia powinien usiąść tato, który waży $80 kg$ , aby móc huśtać się z synem, który siedzi $4 m$ od punktu podparcia i waży $25 kg$ .

Rozwiązanie:

Zgodnie z zasadą dźwigni ArchimedesaZasada dźwigni Archimedesazasadą dźwigni Archimedesa ciężar i odległość od punktu podparcia są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, czyli

$Q_{1} \cdot r_{1} = Q_{2} \cdot r_{2}$

zatem

$80 \cdot r_{1} = 4 \cdot 25$

$r_{1} = 1, 25$

Odpowiedź:

Tato powinien usiąść w odległości $1, 25 m$ od punktu podparcia.

Przykład 3

Wyznaczymy stosunek ciężarów osób huśtających się na huśtawce, wiedząc, że jedna z nich siedzi w odległości $4, 5 m$ od punktu podparcia, druga $1, 8 m$ od punktu podparcia.

Rozwiązanie:

Zgodnie z zasadą dźwigni ArchimedesaZasada dźwigni Archimedesazasadą dźwigni Archimedesa ciężar i odległość od punktu podparcia są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, czyli

$Q_{1} \cdot r_{1} = Q_{2} \cdot r_{2}$

zatem

$Q_{1} \cdot 4, 5 = Q_{2} \cdot 1, 8$

$\frac{Q_{2}}{Q_{1}} = 2, 5$

Odpowiedź:

Osoba, która siedzi bliżej punktu podparcia powinna być $2, 5$ razy cięższa.

Przykład 4

Grupa $18$ robotników potrzebuje $20$ dni na wykonanie pewnego zlecenia. O ile dni wydłuży się czas pracy, jeśli trzech z nich zrezygnuje z pracy, a pozostali będą pracować z taką samą wydajnością?

Rozwiązanie:

Liczba robotników jest odwrotnie proporcjonalna do liczby dni. Iloczyn tych wielkości jest stały,

czyli

$18 \cdot 20 = 15 \cdot x$

$x = 24$

Odpowiedź:

Czas pracy wydłuży się o $4$ dni.

Przykład 5

Janek obliczył, że idąc z prędkością $5 \frac{k m}{h}$ pokona drogę do domu w ciągu godziny i $12$ minut. W jakim czasie pokona tę samą drogę, jadąc na rowerze z prędkością $24 \frac{k m}{h}$ ?

Rozwiązanie:

Prędkość i czas to wielkości odwrotnie proporcjonalne. Ich iloczyn jest stały.

Po ujednoliceniu jednostek możemy zapisać:

$5 \cdot 1 \frac{1}{5} = 24 \cdot t$

$t = \frac{1}{4}$

Odpowiedź:

Jadąc na rowerze Janek pokona drogę w $15$ minut.

Słownik

zasada dźwigni Archimedesa

jeżeli na dźwigni umieścimy w odległości odpowiednio $r_{1}$ i $r_{2}$ od punktu podparcia dwa przedmioty o ciężarach $Q_{1}$ i $Q_{2}$ to pozostaną one w równowadze, jeśli zachodzi równość:

Q_{1} \cdot r_{1} = Q_{2} \cdot r_{2}

Wprowadzenie

Film edukacyjny

Słownik