Przeczytaj
Proporcjonalnością odwrotną nazywamy zależność między dwiema wielkościami zmiennymi , , określoną wzorem , gdzie jest liczbą różnią od zera. O zmiennych , mówimy, że są odwrotnie proporcjonalne. Współczynnik nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.
Iloczyn odpowiadających sobie wartości dwóch wielkości odwrotnie proporcjonalnych jest stały.
W przypadku rozpatrywania wielkości odwrotnie proporcjonalnych w zagadnieniach z kontekstem realistycznym należy pamiętać o dziedzinie budowanego modelu matematycznego. Zmienne oraz muszą być dodatnie. Dodatni jest także współczynnik proporcjonalności odwrotnej .
Dysponujemy określoną kwotą pieniędzy, np. kwotą . Zbadamy zależność między ceną za jedną sztukę danego towaru, a ilością sztuk, które możemy kupić.
Rozwiązanie:
Cena za sztukę [w ] | |
---|---|
Iloczyn tych wielkości jest stały, jeśli np. zwiększymy cenę za sztukę dwukrotnie, liczba sztuk zmniejszy się dwukrotnie.
Obliczymy jak daleko od punktu podparcia powinien usiąść tato, który waży , aby móc huśtać się z synem, który siedzi od punktu podparcia i waży .
Rozwiązanie:
Zgodnie z zasadą dźwigni Archimedesazasadą dźwigni Archimedesa ciężar i odległość od punktu podparcia są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, czyli
zatem
Odpowiedź:
Tato powinien usiąść w odległości od punktu podparcia.
Wyznaczymy stosunek ciężarów osób huśtających się na huśtawce, wiedząc, że jedna z nich siedzi w odległości od punktu podparcia, druga od punktu podparcia.
Rozwiązanie:
Zgodnie z zasadą dźwigni Archimedesazasadą dźwigni Archimedesa ciężar i odległość od punktu podparcia są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, czyli
zatem
Odpowiedź:
Osoba, która siedzi bliżej punktu podparcia powinna być razy cięższa.
Grupa robotników potrzebuje dni na wykonanie pewnego zlecenia. O ile dni wydłuży się czas pracy, jeśli trzech z nich zrezygnuje z pracy, a pozostali będą pracować z taką samą wydajnością?
Rozwiązanie:
Liczba robotników jest odwrotnie proporcjonalna do liczby dni. Iloczyn tych wielkości jest stały,
czyli
Odpowiedź:
Czas pracy wydłuży się o dni.
Janek obliczył, że idąc z prędkością pokona drogę do domu w ciągu godziny i minut. W jakim czasie pokona tę samą drogę, jadąc na rowerze z prędkością ?
Rozwiązanie:
Prędkość i czas to wielkości odwrotnie proporcjonalne. Ich iloczyn jest stały.
Po ujednoliceniu jednostek możemy zapisać:
Odpowiedź:
Jadąc na rowerze Janek pokona drogę w minut.
Słownik
jeżeli na dźwigni umieścimy w odległości odpowiednio i od punktu podparcia dwa przedmioty o ciężarach i to pozostaną one w równowadze, jeśli zachodzi równość: