Modus tollendo ponens

Poznaliśmy tu już dwa schematy wnioskowania logicznego, modus ponendo ponens i modus tollendo tollens. Pierwszy to inaczej potwierdzenie przez potwierdzenie, drugi zaś to zaprzeczenie przez zaprzeczenie. Czy są możliwe jakieś ich dalsze kombinacje? Zastanawiali się już nad tym logicy i znaleźli pozytywne rozstrzygnięcie tej zagadki. Z możliwych kombinacji najczęściej występuje schemat pod postacią modus tollendo ponens, który po polsku można określić mianem potwierdzenia przez zaprzeczenie. Ponieważ jesteśmy zaprawieni w logice, zacznijmy tu od ujęcia tego rozumowania za pomocą zapisu czysto formalnego, to znaczy przy użyciu zmiennych zdaniowychzmienne zdaniowezmiennych zdaniowych i funktorów prawdziwościowychfunktor prawdziwościowyfunktorów prawdziwościowych:
[(p ∨ q) ∧ ~ p] → q

Zastanów się chwilę nad tym zapisem. Co on oznacza? Postaraj się podstawić pod niego w głowie jakieś rozumowanie. W prostszej wersji wnioskowanie to zapisujemy jako:
p lub q
nie zachodzi p
zatem q

Podstawą tego wnioskowania jest przyjęcie za prawdę jakiejś alternatywy nierozłącznej, a następnie stwierdzenie, że jeden z członów alternatywy nie może być prawdą. Jeżeli te założenia są prawdziwe, to prawdą musi być drugi człon przyjętej w alternatywy.

Rozważmy to na przykładzie:
Nauczyciel stwierdza, że prace klasowe dwóch uczniów są identyczne i wie jednocześnie, że na klasówkę żaden z nich nie wniósł żadnych ściągawek i że siedzieli obok siebie. Na podstawie tych danych wnioskuje:
Jan ściągał od Karola lub Karol ściągał od Jana.
Z pewnego źródła dowiedział się, że Karol nie ściągał od Jana.
Pozostaje zatem wniosek, że to Jan ściągał od Karola.
Jeżeli dwie przesłanki tego rozumowania są prawdziwe, to wniosek nie może nie być prawdziwy.

Sylogizm hipotetyczny

Bardzo często stosuje się też rozumowanie o nazwie sylogizmsylogizmsylogizm hipotetyczny. Przypomnij sobie najpierw, czym jest sylogizm. Jest to rozumowanie składające się z co najmniej dwóch przesłanek i wniosku, ale takie, w którym stwierdzenia wzięte jako przesłanki posiadają jakiś element wspólny. Na przykład:
Wszyscy logicy wiedzą, co to jest sylogizm hipotetyczny.
Karolina jest logikiem.
Zatem Karolina wie, czym jest sylogizm hipotetyczny.

Elementem wspólnym w poprzednikach jest klasa logików.

Natomiast sylogizm hipotetyczny ma następującą konstrukcję:
[(p →q) ∧ (q →r)]→(p →r)
W prostszej wersji zapisuje się to rozumowanie jako:
Jeżeli p, to q.
Jeżeli q, to r.
Zatem jeżeli p to r.

Rozumowanie to jest sylogizmem, bo w przesłankach powtarza się jeden element, mianowicie stwierdzenie q. Rozumowanie to jest hipotetyczne, bo co najmniej część jego stwierdzeń można przyjąć czysto hipotetycznie, bez ich sprawdzania, jak x w równaniu matematycznym. Przykład takiego rozumowania:
Jeżeli Karolina ma bilety do kina z wczorajszą datą, to była w kinie.
Jeżeli Karolina była wczoraj w kinie, to wychodziła wczoraj z domu.
Zatem jeśli Karolina ma bilety do kina z wczorajszą datą, to wychodziła wczoraj z domu.

Prawo sylogizmu hipotetycznego ma bardzo szerokie zastosowanie. Było ulubionym narzędziem znanych literackich detektywów, takich jak Sherlock Holmes. Daje ono bowiem możliwość tworzenia długich łańcuchów rozumowań. W istocie prawo to stwierdza przechodniość implikacji. Jeżeli p, to q oraz jeżeli q, to r oraz jeżeli r, to s i tak dalej, aż dochodzimy do ostatniego ogniwa.

RdoEGGbBMoPVK

Ilustracja przedstawia dwóch mężczyzn w płaszczach i kapeluszach. Mężczyzna po prawej ma na płaszczu ciemną plamę. Nad mężczyzną po lewej stronie jest dymek dialogowy. Mówi do mężczyzny po prawej: Drogi Watsonie, skoro masz plamę p kawie na surducie, to znaczy, że już piłeś dzisiaj kawę. A jeżeli piłeś już dzisiaj kawę, to także jadłeś dzisiaj śniadanie. A jeżeli jadłeś już śniadanie, to także wychodziłeś na dwór, żeby kupić świeże bułeczki. A jeżeli kupowałeś bułeczki, to widziałeś pannę Malwinę, która pracuje w piekarni. Właśnie dlatego pytam, jak się miewa dzisiaj panna Malwina.

Słownik