Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Miejsce zerowe funkcji
Definicja: Miejsce zerowe funkcji

Miejscem zerowym funkcji nazywamy argument, dla którego wartość funkcji jest równa 0.

Zbiór miejsc zerowych funkcji
Definicja: Zbiór miejsc zerowych funkcji

Zbiorem miejsc zerowych funkcji nazywamy zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartość 0.

Wiemy, że funkcję możemy opisywać różnymi sposobami. Poznamy sposoby wyznaczania miejsca zerowego funkcji w zależności od sposobu jej opisu. Pomogą nam w tym poniższe przykłady.

Przykład 1

Funkcja f opisana jest za pomocą grafu.

Rh689nGNKVza2

Wyznaczymy jej miejsce zerowe.

Rozwiązanie

Wśród wartości funkcji f, które są umieszczone w prawej części grafu oznaczonej literą Y, szukamy liczby 0.

W następnym kroku przesuwamy się wzdłuż strzałki do lewej części grafu oznaczonej literą X.

Liczba 0Y połączona jest z liczbą -1X.

Stąd możemy zapisać, że miejscem zerowym funkcji f jest liczba -1. Często miejsce zerowe oznaczamy x0. Możemy więc zapisać, że x0=-1.

Przykład 2

Funkcja f opisana jest za pomocą tabelki.

x

5,5

-3,6

-1,4

0

1,3

2,6

3

4,7

5

fx

-2

-1

0

2

3,5

4,6

5,8

6

8

Wyznaczymy jej miejsce zerowe.

Rozwiązanie

W drugim wierszu, oznaczonym symbolem fx, szukamy liczby 0.

Następnie w wierszu pierwszym, oznaczonym symbolem x, szukamy odpowiedniego argumentu.

Jest nim liczba -1,4.

Stąd możemy zapisać, że miejscem zerowym funkcji f jest liczba -1,4.

Zapisujemy to symbolicznie x0=-1,4.

Przykład 3

Funkcja f przedstawiona jest za pomocą opisu słownego. Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej x, takiej, że x-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2 przyporządkowuje różnicę wartości bezwzględnej liczby x i liczby 3.

Wyznaczymy jej miejsce zerowe.

Rozwiązanie

Przykład ten możemy rozwiązać dwoma sposobami.

Sposób pierwszy

Ponieważ do dziedziny należy tylko siedem liczb, to możemy wykonać tabelkę i z tabelki odczytać miejsce zerowe.

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

fx

1

0

-1

-2

-3

-2

-1

Zauważamy, że miejscem zerowym funkcji f jest liczba -3.

Zapisujemy symbolicznie x0=-3.

Sposób drugi

Zapiszemy funkcję f za pomocą wzoru.

fx=x-3, gdy x-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Rozwiążemy równanie fx=0.

x-3=0

x=3

x=-3 lub x=3.

Równanie jest spełnione przez dwie liczby 3-3.

Sprawdzamy, która z liczb spełniających równanie, należy do dziedziny funkcji.

Do dziedziny funkcji należy liczba -3.

Stąd miejscem zerowym funkcji f jest liczba -3.

Zapisujemy symbolicznie x0=-3.

Przykład 4

Funkcja f opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych.

-4,4; -2,4, -3,7; -1,7, -2; 0, 1; 1, 3,3; 5,3, 5; 7

Wyznaczymy miejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcji f.

Rozwiązanie

Para uporządkowana jest postaci x, fx, tzn., że na pierwszym miejscu w każdej parze znajduje się element należący do dziedziny funkcji, a na drugim odpowiadająca temu elementowi wartość funkcji.

Wśród elementów zbioru par uporządkowanych wybieramy tę parę, w której na drugim miejscu jest 0.

Jest to para to para -2, 0.

Stąd miejscem zerowym funkcji f jest liczba -2.

Zapisujemy symbolicznie x0=-2.

Ile miejsc zerowych może posiadać funkcja liczbowa?

Odpowiedź na to pytanie uzyskamy analizując kolejne przykłady.

Przykład 5

Funkcja f opisana jest za pomocą wzoru.

fx=-12·x-3+3, gdy x-4, 10.

Wyznaczymy jej miejsce zerowe.

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcji f należy rozwiązać równanie fx=0 i sprawdzić, czy otrzymane pierwiastki równania należą do dziedziny funkcji.

-12·x-3+3=0

-12·x-3=-3 |·-2

x-3=6

x-3=-6  x-3=6

x=-3  x=9

Otrzymaliśmy dwie liczby, które spełniają równanie fx=0.

Sprawdzamy, która z liczb należy do dziedziny funkcji f.

Dziedziną funkcji f jest przedział -4, 10.

Zarówno liczba -3, jak i liczba 9 należą do dziedziny funkcji.

Stąd wniosek, że funkcja f ma dwa miejsca zerowe: -39.

Zapisujemy to symbolicznie x01=-3 ,  x02=9.

Przykład 6

Funkcja f opisana jest za pomocą wykresu.

R1TSDuKuamprB

Wyznaczymy jej miejsce zerowe.

Rozwiązanie

Wykres funkcji f przecina oś X w trzech punktach: -3, 0, 1, 0, 4, 0.

Funkcja ta ma trzy miejsca zerowe: -3, 1, 4.

Podsumujmy nasze wiadomości
  • Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą grafu, to miejscem zerowym funkcji jest argument, należący do zbioru oznaczonego literą X, który jest połączony strzałką z liczbą 0 znajdującą się w zbiorze Y.

  • Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą tabelki, to miejscem zerowym funkcji jest argument, zapisany w wierszu pierwszym, oznaczonym symbolem x, któremu odpowiada wartość funkcji równa 0.

  • Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą wzoru, to miejscem zerowym funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejscem zerowym funkcji jest pierwiastek równania fx=0 wtedy, gdy należy on do dziedziny funkcji f.

  • Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą wykresu, to miejscem zerowym funkcji jest pierwsza współrzędna wykresu funkcji i osi X.

  • Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych, to miejscem zerowym funkcji jest liczba, zapisana na pierwszym miejscu w tej parze, w której na drugim miejscu  znajduje się 0.

Czy każda funkcja liczbowa posiada miejsce zerowe?

W odpowiedzi na powyższe pytanie pomoże nam kolejny przykład.

Przykład 7

Funkcja f opisana jest za pomocą wykresu.

RAOhmHv0hvI0N

Wyznaczymy, o ile istnieje, miejsce zerowe funkcji f.

Rozwiązanie

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji f.

Odczytujemy go na osi Y.

ZWf=1, .

Możemy zauważyć, że 0ZWf.

Wynika z tego, że funkcja f nie posiada miejsca zerowego.

Ważne!

Pamiętajmy, że funkcja będzie posiadała miejsce zerowe tylko wtedy, gdy do zbioru wartości tej funkcji będzie należała liczba 0.

Słownik

miejsce zerowe funkcji
miejsce zerowe funkcji

argument, dla którego wartość funkcji jest równa zero