Przeczytaj
Układ równań, w którym jedno równanie jest kwadratowe i jedno równanie jest liniowe to np.
Zajmiemy się rozwiązywaniem układów równań, w których występują dwa równania drugiego stopnia.
Układem równań kwadratowychUkładem równań kwadratowych nazwiemy układ postaci:
w którym oba równania są stopnia drugiego oraz i
Układy równań kwadratowychUkłady równań kwadratowych będziemy rozwiązywać algebraicznie lub za pomocą interpretacji geometrycznej.
Rozwiązać układ równań kwadratowychukład równań kwadratowych, to znaczy znaleźć wszystkie pary liczb, które są jednocześnie rozwiązaniem jednego i drugiego równania, lub uzasadnić, że takie pary nie istnieją.
Para liczb spełnia układ równań, wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu danych liczb do obu równań w miejsce niewiadomych i , układ nie jest sprzeczny.
Sprawdzimy, czy para liczb spełnia układ równań: .
Podane liczby podstawiamy w miejsce niewiadomych i .
Otrzymujemy, że: .
Obie równości są prawdziwe, zatem podana para liczb spełnia układ równań.
Interpretacją geometryczną układu równań kwadratowych są punkty wspólne wykresów każdego z równań układu.
Układ równań kwadratowychUkład równań kwadratowych może:
mieć jedno rozwiązanie,
mieć dwa rozwiązania,
mieć nieskończenie wiele rozwiązań,
nie mieć rozwiązania.
Rozwiążemy układ równań:.
Zauważmy, że w drugim równaniu w miejsce można podstawić liczbę .
Po przekształceniach otrzymujemy: .
Zatem mamy układ równań, w którym jedno równanie jest liniowe, a drugie kwadratowe:.
Po podstawieniu do pierwszego równania w miejsce niewiadomej otrzymujemy równanie kwadratowe: , które jest równoważne równaniu: .
Jego pierwiastkami są liczby: oraz .
Dla otrzymanych wartości obliczamy odpowiadające im: oraz .
Zatem rozwiązaniem układu równań są dwie pary liczb: oraz .
Układy równań kwadratowychUkłady równań kwadratowych mogą składać się z równań, które opisują postać kanoniczną wzoru na równanie okręgu , gdzie oznacza środek okręgu, - promień.
Zapiszemy algebraicznie, za pomocą układu równań kwadratowych, układ równań, którego interpretację geometryczną przedstawia rysunek:
Otrzymujemy układ równań: .
Układ ten można zapisać w postaci: .
Słownik
układ postaci , gdzie - niewiadome,