Uzasadnimy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ zachodzi nierówność $a^2+b^2\ge 2ab$.

Przenosimy wszystkie wyrazy nierówności na lewą stronę.

Zapisujemy lewą stronę nierówności w postaci kwadratu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem nierówność jest prawdziwa.

Zauważ, że jeśli $a=b$, to ${\left(a-b\right)}^2=0$, czyli $a^2+b^2-2ab=0$, zatem $a^2+b^2=2ab$.

Wykażemy, że jeśli $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$.

Zapisujemy nierówność, którą udowodniliśmy w Przykładzie 1. Wiemy już, że jest ona prawdziwa dla każdych liczb rzeczywistych $a$ i $b$.

Dzielimy obie strony nierówności przez $ab$ zakładając, że $a>0$ i $b>0$.

Przekształcamy nierówność równoważnie.

Skracamy, otrzymując żądaną nierówność.

Zauważ, że jeśli $a=b$, to $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=2$.

Wykażemy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $5\left(a^2+2b^2\right)\ge 12ab$.

Przenosimy wszystkie wyrazy nierówności z prawej strony na lewą stronę.

Wykonujemy wskazane działania.

Zapisujemy sumę stojącą po lewej stronie nierówności tak, aby skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

Grupujemy wyrazy.

Zapisujemy wyrażenie stojące w pierwszym nawiasie za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

Po lewej stronie nierówności otrzymaliśmy sumę dwóch wyrażeń, które przyjmują wartości nieujemne dla każdych liczb rzeczywistych $a$ i $b$, zatem ich suma jest liczba nieujemną. Dowodzonadowodzenie (przeprowadzenie dowodu)Dowodzona nierówność jest więc prawdziwa.

Wykażemy, że dla każdych liczb rzeczywistych $a$, $b$, $c$ spełniona jest nierówność $a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc$.

Dla liczb $a$, $b$, $c$ zapisujemy warunki, które wynikają z nierówności dowodzonejdowodzenie (przeprowadzenie dowodu)dowodzonej w Przykładzie 1.

Dodajemy stronami zapisane nierówności.

Redukujemy wyrazy podobne i wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

Dzielimy przez $2$ obie strony nierówności.

Otrzymaliśmy żądaną nierówność.

Przypomnijmy sobie sposób rozwiązywania nierówności podwójnych.

Rozwiążemy nierówność $x-2<2x<x+9$.

Przekształcamy nierówność równoważnie odejmując od każdego z członów $x$. Otrzymujemy rozwiązanie.

$-2<x<9$

Wykażemy, że dla każdej liczby naturalnej $a>7$ spełniona jest nierówność podwójna $\frac{2}{5}\sqrt{25a-1}<\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}<2\sqrt{a}$.

Każdy z członów nierówności przyjmuje dla $a>7$ wartości dodatnie. Możemy zatem przekształcić nierówność równoważnie, podnosząc każdy z członów do kwadratu.

$\frac{4}{25}(25a-1)<a+1+a-1+2\sqrt{a^2-1}<4a$

Wykonujemy wskazane działania.

$4a-\frac{4}{25}<2a+2\sqrt{a^2-1}<4a$

Dodajemy $\left(-2a\right)$.

$4a-\frac{4}{25}-2a<2a-2a+2\sqrt{a^2-1}<4a-2a$$2a-\frac{4}{25}<2\sqrt{a^2-1}<2a$

Dzielimy każdy z członów nierówności przez $2$.

$a-\frac{2}{25}<\sqrt{a^2-1}<a$

Dla $a>7$ każdy z członów nierówności przyjmuje wartości dodatnie, zatem możemy ponownie podnieść każdy człon do kwadratu.

$a^2-2\cdot \frac{2}{25}a+\frac{4}{625}<a^2-1<a^2$

Nierówność $a^2-1<a^2$ jest zawsze prawdziwa (jeśli $a>7$ i $a$ jest liczbą naturalną), zatem wystarczy pokazać prawdziwość nierówności

$a^2-\frac{4}{25}a+\frac{4}{625}<a^2-1$.

Do obu stron nierówności dodajemy $\left(-a^2-\frac{4}{625}\right)$.

$a^2-\frac{4}{25}a+\frac{4}{625}-a^2-\frac{4}{625}<a^2-1-a^2-\frac{4}{625}$$-\frac{4}{25}a<-1\frac{4}{625}$

Dzielimy obie strony nierówności przez liczbę stojącą przy $a$, czyli przez $-\frac{4}{25}$. Nie zapominamy przy tym, że dzielimy przez liczbę ujemną, czyli zmieniamy znak nierówności na przeciwny.

$-\frac{4}{25}a<-1\frac{4}{625} \left| :\left(-\frac{4}{25}\right)\right.$

$a>\frac{629}{625}\cdot \frac{25}{4}$

$a>6\frac{29}{100}$

Z założenia wynika, że $a$ jest liczbą naturalną większą od $7$, zatem nierówność $a>6\frac{29}{100}$ jest prawdziwa.

Wykazaliśmy zatem prawdziwość każdej z nierówności
$\frac{2}{5}\sqrt{25a-1}<\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}$ i $\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}<2\sqrt{a}$, 
czyli i  prawdziwość nierówności podwójnej
$\frac{2}{5}\sqrt{25a-1}<\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}<2\sqrt{a}$.

Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej $a>2$ prawdziwa jest nierówność $\frac{2}{3}\sqrt{9a-1}<\sqrt{a-1}+\sqrt{a+1}<2\sqrt{a}$

Rozwiązaniem nierówności są liczby $a>\frac{85}{36}$, czyli $a>2\frac{13}{36}$.

Zatem nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej $a$ większej od $2$.

Wykażemy, że $3^{100}-2^{150}>3^{50}-2^{75}$.

Zapisujemy lewą stronę nierówności w postaci różnicy kwadratów.

Rozkładamy na czynniki lewą stronę nierówności – ze wzoru na różnicę kwadratów.

Chcemy podzielić obie strony nierówności przez $3^{50}-2^{75}$. Nie wiemy jednak, czy jest to liczba dodatnia, czy ujemna.

Aby to sprawdzić, zapisujemy iloraz $\frac{3^{50}}{2^{75}}$ w postaci jednej potęgi.

Ponieważ $9>8$, zatem liczba $\frac{9}{8}$ jest większa od $1$, czyli $9^{25}>8^{25}$, a co za tym idzie $3^{50}>2^{75}$. Wynika stąd, że $3^{50}-2^{75}>0$.

$\frac{9}{8}>1$, stąd $9^{25}>8^{25}$, czyli $3^{50}-2^{75}>0$

Dzielimy obie strony nierówności przez liczbę dodatnią $3^{50}-2^{75}$, zatem nie zmieniamy znaku nierówności.

Liczba $3^{50}+2^{75}$ jest oczywiście większa od $1$, zatem dowodzona równość jest prawdziwa, co należało wykazać.

Wykażemy, że dla każdej wartości zmiennej $x$, wartość wyrażenia $W=1+x^2\left(x^2-2\right)-{\left(1-x\right)}^2·{\left(1+x\right)}^2$ jest liczbą naturalną.

Zauważmy, że iloczyn kwadratów dwóch liczb może być zapisany w postaci kwadratu iloczynu tych liczb.

Wykonujemy wskazane działania. W nawiasie kwadratowym iloczyn zamieniamy na sumę, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

Potęgujemy – korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

Opuszczamy nawias i redukujemy wyrazy podobne.

Wykazaliśmy, że wartość wyrażenia dla każdej liczby rzeczywistej $x$ jest równa $0$.

Liczba $0$ jest liczbą naturalną, zatem wartość wyrażenia dla każdej liczby rzeczywistej $x$ jest liczbą naturalną, co należało wykazać.

Udowodnimy prawdziwość równości $\frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}+\frac{{\left(a-b\right)}^2}{4}=\frac{a^2+b^2}{2}$ dla każdych liczb rzeczywistych $a$, $b$.

Sprowadzamy prawą stronę równości do mianownika $4$ i mnożymy obie strony nierówności przez $4$.

Mamy teraz do udowodnienia znacznie prostszą równość.

Przekształcamy lewą stronę równości, korzystając z odpowiednich wzorów skróconego mnożenia.

Lewa strona równości równa się prawej, zatem równość jest prawdziwa, co należało wykazać.

wykazanie, że pewne zdanie matematyczne jest prawdziwe; poszczególne kroki dowodu muszą wynikać z poprzednich lub być aksjomatami