Przeczytaj
Dowodzenie nierówności
Wiemy już, że nierówności można przekształcać równoważnie. Do obu stron nierówności można dodać to samo wyrażenie, od obu stron nierówności można odjąć to samo wyrażenie, obie strony nierówności można pomnożyć przez tę samą liczbę, różną od zera. Przy czym, jeśli ta liczba jest ujemna, zmieniamy znak nierówności na przeciwny.
Teraz udowodnimyudowodnimy kilka nierówności z zastosowaniem poznanych wzorów i własności potęgowania: kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny.
Uzasadnimy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych i zachodzi nierówność .
Przenosimy wszystkie wyrazy nierówności na lewą stronę.
Zapisujemy lewą stronę nierówności w postaci kwadratu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem nierówność jest prawdziwa.
Zauważ, że jeśli , to , czyli , zatem .
Wykażemy, że jeśli i są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to .
Zapisujemy nierówność, którą udowodniliśmy w Przykładzie 1. Wiemy już, że jest ona prawdziwa dla każdych liczb rzeczywistych i .
Dzielimy obie strony nierówności przez zakładając, że i .
Przekształcamy nierówność równoważnie.
Skracamy, otrzymując żądaną nierówność.
Zauważ, że jeśli , to .
Wykażemy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych i prawdziwa jest nierówność .
Przenosimy wszystkie wyrazy nierówności z prawej strony na lewą stronę.
Wykonujemy wskazane działania.
Zapisujemy sumę stojącą po lewej stronie nierówności tak, aby skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.
Grupujemy wyrazy.
Zapisujemy wyrażenie stojące w pierwszym nawiasie za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.
Po lewej stronie nierówności otrzymaliśmy sumę dwóch wyrażeń, które przyjmują wartości nieujemne dla każdych liczb rzeczywistych i , zatem ich suma jest liczba nieujemną. DowodzonaDowodzona nierówność jest więc prawdziwa.
Wiemy już, że nierówności o tym samym zwrocie można dodać stronami (natomiast nie wolno odejmować takich nierówności stronami). Własność ta będzie nam pomocna w udowodnieniu kolejnej nierówności.
Wykażemy, że dla każdych liczb rzeczywistych , , spełniona jest nierówność .
Dla liczb , , zapisujemy warunki, które wynikają z nierówności dowodzonejdowodzonej w Przykładzie 1.
Dodajemy stronami zapisane nierówności.
Redukujemy wyrazy podobne i wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.
Dzielimy przez obie strony nierówności.
Otrzymaliśmy żądaną nierówność.
Przypomnijmy sobie sposób rozwiązywania nierówności podwójnych.
Rozwiążemy nierówność .
Przekształcamy nierówność równoważnie odejmując od każdego z członów . Otrzymujemy rozwiązanie.
Wykażemy, że dla każdej liczby naturalnej spełniona jest nierówność podwójna .
Każdy z członów nierówności przyjmuje dla wartości dodatnie. Możemy zatem przekształcić nierówność równoważnie, podnosząc każdy z członów do kwadratu.
Wykonujemy wskazane działania.
Dodajemy .
Dzielimy każdy z członów nierówności przez .
Dla każdy z członów nierówności przyjmuje wartości dodatnie, zatem możemy ponownie podnieść każdy człon do kwadratu.
Nierówność jest zawsze prawdziwa (jeśli i jest liczbą naturalną), zatem wystarczy pokazać prawdziwość nierówności
.
Do obu stron nierówności dodajemy .
Dzielimy obie strony nierówności przez liczbę stojącą przy , czyli przez . Nie zapominamy przy tym, że dzielimy przez liczbę ujemną, czyli zmieniamy znak nierówności na przeciwny.
Z założenia wynika, że jest liczbą naturalną większą od , zatem nierówność jest prawdziwa.
Wykazaliśmy zatem prawdziwość każdej z nierówności
i ,
czyli i prawdziwość nierówności podwójnej
.
Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej prawdziwa jest nierówność
Rozwiązaniem nierówności są liczby , czyli .
Zatem nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej większej od .
Porównywanie liczb
Wzory skróconego mnożenia w wielu wypadkach mogą być pomocne przy porównywaniu liczb rzeczywistych, w szczególności liczb zapisanych za pomocą potęg.
Wykażemy, że .
Zapisujemy lewą stronę nierówności w postaci różnicy kwadratów.
Rozkładamy na czynniki lewą stronę nierówności – ze wzoru na różnicę kwadratów.
Chcemy podzielić obie strony nierówności przez . Nie wiemy jednak, czy jest to liczba dodatnia, czy ujemna.
Aby to sprawdzić, zapisujemy iloraz w postaci jednej potęgi.
Ponieważ , zatem liczba jest większa od , czyli , a co za tym idzie . Wynika stąd, że .
, stąd , czyli
Dzielimy obie strony nierówności przez liczbę dodatnią , zatem nie zmieniamy znaku nierówności.
Liczba jest oczywiście większa od , zatem dowodzona równość jest prawdziwa, co należało wykazać.
DowodzenieDowodzenie równości
Przekształcając wyrażenia algebraiczne często szukamy jak najprostszych sposobów wykonywania wskazanych działań. I tu mogą być przydatne wzory skróconego mnożenia.
Wykażemy, że dla każdej wartości zmiennej , wartość wyrażenia jest liczbą naturalną.
Zauważmy, że iloczyn kwadratów dwóch liczb może być zapisany w postaci kwadratu iloczynu tych liczb.
Wykonujemy wskazane działania. W nawiasie kwadratowym iloczyn zamieniamy na sumę, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
Potęgujemy – korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.
Opuszczamy nawias i redukujemy wyrazy podobne.
Wykazaliśmy, że wartość wyrażenia dla każdej liczby rzeczywistej jest równa .
Liczba jest liczbą naturalną, zatem wartość wyrażenia dla każdej liczby rzeczywistej jest liczbą naturalną, co należało wykazać.
Udowodnimy prawdziwość równości dla każdych liczb rzeczywistych , .
Sprowadzamy prawą stronę równości do mianownika i mnożymy obie strony nierówności przez .
Mamy teraz do udowodnienia znacznie prostszą równość.
Przekształcamy lewą stronę równości, korzystając z odpowiednich wzorów skróconego mnożenia.
Lewa strona równości równa się prawej, zatem równość jest prawdziwa, co należało wykazać.
Słownik
wykazanie, że pewne zdanie matematyczne jest prawdziwe; poszczególne kroki dowodu muszą wynikać z poprzednich lub być aksjomatami