Warto przeczytać

Zależność wychylenia od czasu w ruchu harmonicznym opisuje funkcja

gdzie $A$ – amplituda drgań, $\omega$ – częstość kołowa, $\left(\omega t+\phi \right)$ – faza drgań, a $\phi$ – faza początkowa, czyli faza drgań dla $t=0$.

Faza drgań to argument funkcji sinus, czyli kąt wyrażony w radianach. Gdy wartość fazy drgań zmienia się z upływem czasu, zmienia się też wartość funkcji sinus, a więc i wychylenie.

Faza początkowa określa wychylenie ciała w chwili $t=0$ (Rys. 1.). Jeśli faza początkowa jest równa zeru lub $\pi \mathrm{rad}$, to w chwili początkowej ciało znajduje się w położeniu równowagi ($x=0$). Gdy faza początkowa jest równa $\pi /2\mathrm{rad}$ , to w chwili $t=0$ wychylenie jest równe - z dokładnością do znaku - amplitudzie ($x=+A$).

R1JFNiKfhwOMI

Rys. 1. Rysunek pokazuje, gdzie jest położony i w którą stronę będzie się poruszał punkt drgający ruchem harmonicznym przy różnych fazach początkowych. Aby to zobrazować w dolnej części rysunku umieszczono oś opisaną małą literą x z zaznaczonym punktem zero na środku i symetrycznie z obu stron punktami: po prawej punkt opisany wielką literą A, po lewej minus wielka litera A, oznaczającymi amplitudę. Faza początkowa to wychylenie dla czasu początkowego mała litera t równa się zero. Rysunek przedstawia cztery sytuacje. Gdy faza początkowa równa jest zero, punkt drgający pokazany w postaci kropki znajduje się nad punktem zero i ma dorysowaną strzałkę w prawo, co oznacza, że dalej będzie poruszał się w prawo. Faza początkowa równa jedna druga mała grecka litera pi radianów, w której punkt drgający znajduje się po prawej stronie nad wielką literą A. Faza równa mała grecka litera pi radianów, w której punkt znajduje się nad zerem i ma strzałkę wskazującą kierunek ruchu w lewo. Faza równa trzy drugie mała grecka litera pi radianów, w której punkt znajduje się nad minus wielką literą A po lewej stronie, co oznacza, że jego wychylenie początkowe jest równe amplitudzie.

Gdy dwa oscylatory harmoniczne mają w dowolnej chwili czasu równe fazy drgań, to ich drgania są zgodne w fazie. Jeśli ich fazy różnią się o $\pi$, to są to drgania o fazach przeciwnych.

Co to znaczy, pokaże Ci przykład 1.

Przykład 1.

Przyjrzyjmy się drganiom dwóch ciężarków o jednakowych masach, zawieszonych na takich samych sprężynach. Po niewielkim rozciągnięciu sprężyn i jednoczesnym puszczeniu ciężarków (Rys. 2.), poruszają się one ruchem harmonicznym z tą samą częstotliwością drgań (Rys. 3.).

R1sMaghTyUGuv

Rys. 2. Ilustracja podzielona jest na dwie części, prawą i lewą. Obie części przedstawiają drgający na sprężynie ciężarek w dwóch pozycjach. Rysunek po lewej stronie przedstawia ciężarek w postaci zielonej kulki zawieszony na zielonej sprężynie pokazanej w postaci spiralki. Ciężarek pokazano w dwóch położeniach. Po lewej znajduje się w położeniu równowagi. Po prawej w położeniu maksymalnego wychylenia w dół, które oznaczono małą literą x z indeksem dolnym jeden i w nawiasie mała litera t równa się zero. Mała litera t równa się zero oznacza, że jest to położenie początkowe. Prawy rysunek przedstawia ciężarek w postaci niebieskiej kulki zawieszony na niebieskiej sprężynie pokazanej w postaci spiralki. Ciężarek pokazano w dwóch położeniach. Po lewej znajduje się w położeniu równowagi. Po prawej jest w położeniu maksymalnego wychylenia w dół, które oznaczono małą literą x z indeksem dolnym dwa i w nawiasie mała litera t równa się zero. Mała litera t równa się zero oznacza, że jest to położenie początkowe. Wychylenie początkowe ciężarka zielonego mała litera x z indeksem dolnym jeden jest większe niż dla ciężarka niebieskiego mała litera x z indeksem dolnym dwa.

W chwili początkowej ciężarki znajdowały się w dolnych położeniach, co odpowiada wychyleniom równym ich amplitudzie drgań. Faza początkowa każdego z tych drgań była równa $\pi /2\mathrm{rad}$, okresy drgań są takie same, czyli w dowolnej chwili czasu fazy drgań są równe. Są to zatem drgania o zgodnych fazach (Rys. 3.), mimo że amplitudy są różne.

R1cSdEtfFHVD6

Rys. 3. Rysunek przedstawia wykres zależności wychylenia od czasu dla dwóch drgań harmonicznych rozróżnionych kolorami niebieskim i czerwonym. Na osi pionowej mała litera x i w nawiasie kwadratowym mała litera m odłożono wychylenie wyrażone w metrach, na osi poziomej mała litera t i w nawiasie kwadratowym mała litera s odłożono czas wyrażony w sekundach. Na osi wychylenia zaznaczono wartości od minus sześciu setnych do plus sześciu setnych metra, co dwie setne metra. Na osi czasu zaznaczono wartości od zera do czterech sekund co pół sekundy. W układzie współrzędnych pokazano dwie funkcje sinusoidalne. Jedna z funkcji narysowana jest czerwoną linią. Przybiera ona wartości od minus czterech setnych do czterech setnych metra i posiada okres równy dwie sekundy. Dla czasu równego zero sekund funkcja przybiera wartość plus czterech setnych metra. Druga z funkcji narysowana jest niebieską linią. Przybiera ona wartości od minus pięciu setnych do pięciu setnych metra i posiada okres równy dwie sekundy. Dla czasu równego zero sekund funkcja przybiera wartość plus pięć setnych metra.

Gdyby fazy początkowe tych drgań były różne, to wykresy wychylenia od czasu byłyby przesunięte względem siebie (Rys. 4.).

R1dcIHi0thhyu

Rys. 4. Rysunek przedstawia wykres zależności wychylenia od czasu dla dwóch drgań harmonicznych rozróżnionych kolorami niebieskim i czerwonym. Na osi pionowej mała litera x i w nawiasie kwadratowym mała litera m odłożono wychylenie wyrażone w metrach, na osi poziomej mała litera t i w nawiasie kwadratowym mała litera s odłożono czas wyrażony w sekundach. Na osi wychylenia zaznaczono wartości od minus sześciu setnych do plus sześciu setnych metra, co dwie setne metra. Na osi czasu zaznaczono wartości od zera do czterech sekund co pół sekundy. W układzie współrzędnych pokazano dwie funkcje sinusoidalne. Jedna z funkcji narysowana jest czerwoną linią. Przybiera ona wartości od minus czterech setnych do czterech setnych metra i posiada okres równy dwie sekundy. Dla czasu równego zero sekund funkcja przybiera wartość około plus trzydziestu pięciu tysięcznych metra. Druga z funkcji narysowana jest niebieską linią. Przybiera ona wartości od minus pięciu setnych do pięciu setnych metra i posiada okres równy dwie sekundy. Dla czasu równego zero sekund funkcja przybiera wartość plus pięć setnych metra. Funkcje przesunięte są względem siebie w fazie o mała grecka litera pi dzielone przez sześć radianów, co jest równe trzydziestu stopniom.

Jeśli fazy drgań różnią się o $\pi$, to są to drgania o fazach przeciwnych (Rys. 5.).

RTFWmHQLpnvYl

Rys. 5. Rysunek przedstawia wykres zależności wychylenia od czasu dla dwóch drgań harmonicznych rozróżnionych kolorami niebieskim i czerwonym. Na osi pionowej mała litera x i w nawiasie kwadratowym mała litera m odłożono wychylenie wyrażone w metrach, na osi poziomej mała litera t i w nawiasie kwadratowym mała litera s odłożono czas wyrażony w sekundach. Na osi wychylenia zaznaczono wartości od minus sześciu setnych do plus sześciu setnych metra, co dwie setne metra. Na osi czasu zaznaczono wartości od zera do czterech sekund co pół sekundy. W układzie współrzędnych pokazano dwie funkcje sinusoidalne. Jedna z funkcji narysowana jest czerwoną linią. Przybiera ona wartości od minus czterech setnych do czterech setnych metra i posiada okres równy dwie sekundy. Dla czasu równego zero sekund funkcja przybiera wartość około minus trzydziestu pięciu tysięcznych metra. Druga z funkcji narysowana jest niebieską linią. Przybiera ona wartości od minus pięciu setnych do pięciu setnych metra i posiada okres równy dwie sekundy. Dla czasu równego zero sekund funkcja przybiera wartość około plus czterdziestu trzech tysięcznych metra. Funkcje przesunięte są względem siebie w fazie o mała grecka litera pi, co jest równe stu osiemdziesięciu stopniom.

Przykład 2.

Dwa wahadła matematycznewahadło matematyczne (ang. simple gravity pendulum)wahadła matematyczne o tej samej długości odchylono o niewielkie kąty i puszczono równocześnie. Gdy wahadła odchylono w tę samą stronę, to obserwowano drgania o fazach zgodnych (Rys. 6.). Przy odchyleniu wahadeł w przeciwne strony, obserwowano drgania o fazach przeciwnych (Rys. 7.).

RwMQV5ig0rP1H

Rys. 6 Dwie części, prawa i lewa, przedstawiają schematyczne rysunki wahadła matematycznego w trzech położeniach opisanych cyframi. Po lewej stronie pokazano wahadło matematyczne w postaci niebieskiej kulki zawieszonej na nitce narysowanej niebieską linią. Pokazano je w trzech położeniach. Maksymalnego wychylenia w lewo oznaczonego cyfrą jeden – nitka narysowana jest linią ciągłą oraz położeniu równowagi oznaczonego cyfrą dwa i maksymalnego wychylenia w prawo oznaczonego cyfrą trzy. W pozycjach dwa i trzy nitka narysowana jest linią przerywaną. Po prawej stronie pokazano wahadło matematyczne w postaci zielonej kulki zawieszonej na nitce narysowanej zieloną linią. Pokazano je w trzech położeniach. Maksymalnego wychylenia w lewo oznaczonego cyfrą jeden – nitka narysowana jest linią ciągłą oraz położeniu równowagi oznaczonego cyfrą dwa i maksymalnego wychylenia w prawo oznaczonego cyfrą trzy. W pozycjach dwa i trzy nitka narysowana jest linią przerywaną.

R5kU2EzPS6Dpp

Rys. 7. Dwie części, prawa i lewa, przedstawiają schematyczne rysunki wahadła matematycznego w trzech położeniach opisanych cyframi. Po lewej stronie pokazano wahadło matematyczne w postaci niebieskiej kulki zawieszonej na nitce narysowanej niebieską linią. Pokazano je w trzech położeniach. Maksymalnego wychylenia w lewo oznaczonego cyfrą jeden, w którym nitka narysowana jest linią ciągłą oraz położenia równowagi oznaczonego cyfrą dwa i maksymalnego wychylenia w prawo oznaczonego cyfrą trzy. W pozycjach dwa i trzy nitka narysowana jest linią przerywaną. Po prawej stronie pokazano wahadło matematyczne w postaci zielonej kulki zawieszonej na nitce narysowanej zieloną linią. Pokazano je w trzech położeniach. Maksymalnego wychylenia w prawo oznaczonego cyfrą jeden, w którym nitka narysowana jest linią ciągłą oraz położenia równowagi oznaczonego cyfrą dwa i maksymalnego wychylenia w lewo oznaczonego cyfrą trzy. W pozycjach dwa i trzy nitka narysowana jest linią przerywaną.

Słowniczek