Warto przeczytać

Ruch jednostajnie przyspieszony to taki, w którym wartość prędkościprędkośćprędkości rośnie w sposób jednostajny – czyli liniowy (Rys. 1).

RiRIX70TNrVbc

Rys. 1. Na ilustracji widoczne jest zdjęcie młodej kobiety, skaczącej z mostu na bangi. Kobieta przywiązana jest rozciągliwą liną, która ma zabezpieczyć ją przed upadkiem. W tle widoczny jest las i rzeka. Jest to przykład ruchu przyspieszonego w pierwszej fazie spadku a następnie ruchu opóźnionego podczas hamowania w trakcie naprężania się liny.

Zależność wartości prędkościprędkośćprędkości od czasu w tym ruchu można zatem opisać zależnością:

gdzie $a$ oznacza wartość przyspieszeniaprzyspieszenieprzyspieszenia w tym ruchu, a $v_0$ – wartość prędkościprędkośćprędkości początkowej.

Jeśli chcemy na podstawie tej zależności wyznaczyć drogędrogadrogę, jaką przebędzie ciało poruszające się ruchem jednostajnie przyspieszonymruch jednostajnie przyspieszonyruchem jednostajnie przyspieszonym w określonym czasie, musimy obliczyć pole pod wykresem funkcji $v\left(t\right)$ od chwili $t=0$ do jakiejś wybranej chwili $t$ (więcej na temat wyznaczania zależności drogidrogadrogi od czasu za pomocą zależności prędkościprędkośćprędkości od czasu możesz dowiedzieć się w e‑materiale: „Zależność położenia od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym”).

Rys. 2. przedstawia właśnie zależność wartości prędkościprędkośćprędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonymruch jednostajnie przyspieszonyruchu jednostajnie przyspieszonym. Aby obliczyć drogędrogadrogę, jaką ciało przebyło od $t=0$ do chwili $t_0$ – zaznaczonej na wykresie, musimy obliczyć pole niebieskiego obszaru.

Ryc0mcombHEsS

Rys. 2. Na ilustracji widoczny jest wykres narysowany czarnymi strzałkami, w którym oś pionowa skierowana jest w górę i opisuje prędkość mała litera v, a oś pozioma skierowana jest w prawo i opisuje czas mała litera t. na osi prędkość zaznaczono wartości mała litera v z indeksem dolnym zero oznaczająca wartość prędkości początkowej i mała litera v i w nawiasie mała litera t z indeksem dolnym zero, oznaczająca aktualną prędkość ciała w chwili mała litera t z indeksem dolnym zero. Na osi czasu zaznaczono wartość mała litera t z indeksem dolnym zero. Wartość prędkości końcowej jest większa od wartości prędkości początkowej. Na wykresie widoczna jest niebieska funkcja liniowo rosnąca, zaczynająca się na osi prędkości w punkcie małą litera v z indeksem dolnym zero. Do wykresu funkcji należy czarny punkt o współrzędnych mała litera t z indeksem dolnym zero której odpowiada wartość prędkości mała litera v i w nawiasie mała litera t z indeksem dolnym zero. Z czarnego punktu poprowadzono pionową, czarną i przerywaną linię do osi czasu. Pole pod wykresem do tego punktu ma kształt trapezu który zamalowana na niebiesko. Pole pod wykresem w sensie fizycznym stanowi drogę pokonaną przez ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

Obszar ten jest trapezem prostokątnym o podstawach $v_0$ oraz $v\left(t\right)=a\cdot t+v_0$ i wysokości równej $t_0$.

Zatem jego pole – a zarazem drogadrogadroga, której szukamy – będzie się wyrażać wzorem

Takie obliczenia możemy wykonać dla dowolnej chwili $t_0$, zatem, aby uzyskać zależność drogidrogadrogi od czasu, wystarczy, gdy zastąpimy $t_0$ przez dowolną chwilę $t$:

Zatem zależność drogidrogadrogi od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym jest zależnością kwadratową, a jej wykres wygląda następująco:

RxvjbmN17Grih

Rys. 3. Na ilustracji widoczny jest wykres narysowany czarnymi strzałkami, w którym oś pionowa skierowana jest w górę i opisuje drogę mała litera s, a oś pozioma skierowana jest w prawo i opisuje czas mała litera t. Na osi widoczna jest paraboliczna funkcja narysowana niebieską linią. Minimum funkcji znajduje się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych a jej rosnące ramię przechodzi rzez początek układu współrzędnych. Dla czasów o wartości mniejszej od zera funkcja narysowana jest linią przerywaną, ponieważ ruch rozpatrywany być może tylko dla czasów o wartości dodatniej. Funkcja ta opisuje zmianę położenia w czasie dla ruchu jednostajnie przyspieszonego.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola i kiedy jej się przyjrzymy, możemy w pierwszej chwili odnieść wrażenie, że coś jest nie tak. DrogadrogaDroga powinna być funkcją rosnącą – nie ma takiej możliwości, by przebyta przez ciało drogadrogadroga zmniejszyła się. Tymczasem funkcja kwadratowa w pewnym przedziale jest funkcją rosnącą, ale w innym – malejącą. Dodatkowo w pewnym przedziale funkcja przyjmuje wartości ujemne, tymczasem droga przebyta przez ciało jest zawsze wielkością większą lub równą zero.

Dochodzimy tu do bardzo ważnego zagadnienia związanego z dziedziną funkcji. Największą dziedziną funkcji kwadratowej jest cały zbiór liczb rzeczywistych – dla każdej rzeczywistej wartości $t$ możemy obliczyć $s\left(t\right)$.

Kiedy funkcja opisuje jakieś zjawisko, istotne staje się również to, jakie wartości argumentu mają sens fizyczny (i dają fizycznie sensowne wartości funkcji). Wprawdzie nic nie stoi na przeszkodzie, by obliczyć wartość funkcji $s\left(t\right)$ dla ujemnych argumentów, ale nie ma to żadnego fizycznego sensu, funkcja ta w tym obszarze dziedziny albo przybiera wartości ujemne, albo dodatnie, ale jest wtedy malejąca. Skoro opis ruchu zaczynamy w chwili $t=0$, to droga jest określona dla $t \geqslant 0$.

Fragment paraboli będący wykresem funkcji ograniczonej do takiej właśnie dziedziny jest zaznaczony ciągłą linią. Widać, że ten fragment przedstawia funkcję rosnącą, której miejsce zerowe występuje dla $t=0$ – co ma sens, gdyż w chwili $t=0$ drogadrogadroga przebyta przez ciało wynosi właśnie zero.

Słowniczek