Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Równanie wymierne
Definicja: Równanie wymierne

Jeżeli WxPx są wielomianami, Px nie jest wielomianem zerowym Px0 to równanie

WxPx=0

nazywamy równaniem wymiernym z jedną niewiadomą x.

Dziedziną równania wymiernego jest zbiór liczb rzeczywistych pomniejszony o zbiór pierwiastków wielomianu Px.

Przykład 1

Określimy dziedzinę równania 2xx+1=0.

Niech Px=xx+1.

Obliczymy miejsca zerowe wielomianu Px.

xx+1=0

x=0 lub x=-1

D=-1, 0

Dziedziną równania jest -1, 0.

Przykład 2

Określimy dziedzinę równania wymiernegodziedzina równania wymiernegodziedzinę równania wymiernego xx2+3=1.

Wyrażenie x2+3>0 dla dowolnego x.

Zatem D=.

Dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych.

Przykład 3

Która z podanych liczb -2, -1, 3, 6 nie należy do dziedziny równania x+1x2-5x+6=0?

x2-5x+60

x-2x-30

x2x3

D=2, 3

x=3D

Liczba x=3 nie należy do dziedziny równania.

Przykład 4

Wyznaczymy dziedzinę równania 1x+2-xx2-9=1.

Lewa strona równaniarównanie wymiernerównania jest sumą dwóch ułamków algebraicznych.

Mianownik każdego z tych ułamków musi być różny od zera.

Zatem:

x+20x2-90x2x-3 i x3

D=-3, 2, 3.

Przykład 5

Rowerzysta przejechał 120 km, pokonując codziennie tyle samo kilometrów.

Gdyby każdego dnia podróży przejeżdżał o 10 km więcej, to jego podróż trwałaby o 1 dzień krócej. Ile dni podróżował rowerzysta?

Wyznaczymy dziedzinę równania i rozwiążemy równanie.

Niech:
x – liczba dni, w czasie których rowerzysta przejechał 120 km,
120x – liczba kilometrów przejechanych przez rowerzystę w ciągu jednego dnia,
120x-1 – liczba kilometrów przejechanych przez rowerzystę, gdyby codziennie przejeżdżał o 10 km więcej.

x>1x ponieważ podróż rowerzysty musi trwać co najmniej 2 dni.

Zapiszemy równanie.

120x+10=120x-1 |·xx-1

120·x-1+10xx-1=120x |:10

12x-12+x2-x=12x

x2-x-12=0

=-12-4·-12=1+48=49=7

x1=1-72=-3

x2=1+72=4

Tylko liczba 4 spełnia warunki zadania.

Rowerzysta podróżował 4 dni.

Przykład 6

Wyznaczymy dziedzinę równania 1x2-x+3x2-3x+2+2x3-6x2+12x-8=0.

Lewa strona równania jest sumą trzech ułamków algebraicznych.

Dla łatwiejszego ustalenia dziedziny rozłożymy mianownik każdego z ułamków na czynniki.

1xx-1+3x-1x-2+2x-23=0

Czyli:

1. xx-102. x-1x-203. x-230.

  1. xx-10
    x0x1

  2. x-1x-20
    x1x2
    3·x-230
    x2
    D=0, 1, 2

Dziedziną równania jest 0, 1, 2.

Słownik

równanie wymierne
równanie wymierne

równanie WxPx=0 z jedną niewiadomą x, gdzie WxPx są wielomianami, Px nie jest wielomianem zerowym Px0

dziedzina równania wymiernego
dziedzina równania wymiernego

dziedziną równania wymiernego WxPx=0, Px0 jest zbiór liczb rzeczywistych pomniejszony o zbiór pierwiastków wielomianu Px