Przeczytaj
Na początek przypomnienie najważniejszych pojęć i wzorów, związanych z ciągiem arytmetycznym. Będziemy przy tym zakładać, że dany ciąg, np. ciąg , jest określony dla i .
Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby , zwanej różnicą ciągu.
Ciąg arytmetyczny | ||
---|---|---|
Wyraz ogólny ciągu | Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu | Suma początkowych wyrazów ciągu |
W pierwszym przykładzie pokażemy, że znając sumę kilku wyrazów ciągu arytmetycznego można znaleźć wzór ogólny tego ciągu.
W dziesięciowyrazowym ciągu arytmetycznym suma wyrazów parzystych jest równa , a suma wyrazów nieparzystych . Znajdziemy wzór ogólny tego ciągu.
Oznaczmy:
– pierwszy wyraz ciągu,
– różnica ciągu.
Pięć wyrazów nieparzystych ciągu tworzy również ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie i różnicy .
Korzystając ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, zapisujemy:
Podobnie, wyrazy parzyste ciągu tworzą również ciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie i różnicy .
Korzystając ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, zapisujemy:
Otrzymaliśmy układ równań, który rozwiązujemy, odejmując stronami równania układu.
Obliczamy pierwszy wyraz ciągu.
Zapisujemy wzór ogólny ciągu.
W następnym przykładzie pokażemy, że znając wzór określający sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, można określić niektóre jego własności.
Suma początkowych wyrazów ciągu określona jest wzorem . Wykażemy, że ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym.
Aby ustalić, czy ciąg jest arytmetyczny, należy zbadać różnicę .
Wyznaczymy najpierw .
Teraz wyznaczamy .
Określamy różnicę .
Różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stała, zatem jest to ciąg arytmetyczny.
Na podstawie wzoru ciągu arytmetycznego określimy własności sumy ciągu arytmetycznego.
Dla pewnych liczb , wartości wyrażeń , , , są w tej kolejności czterema początkowymi kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Obliczymy, ile co najmniej początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby ich suma była większa od .
Korzystamy z własności kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego. Zapisujemy i przekształcamy odpowiedni układ równań.
Pierwsze równanie mnożymy przez , a drugie przez i równania układu dodajemy stronami.
Wyznaczoną liczbę podstawiamy do pierwszego równania układu i wyznaczamy .
Teraz możemy wyznaczyć pierwszy wyraz ciągu i różnicę.
– pierwszy wyraz ciągu
– drugi wyraz ciągu
– różnica ciągu
Aby obliczyć ile początkowych wyrazów ciągu należy dodać, aby otrzymana suma była większa od , rozwiązujemy nierówność:
i
Wynika stąd, że
Odpowiedź:
Należy dodać co najmniej kolejnych wyrazów ciągu, aby otrzymana suma była większa od .
Pokażemy teraz zastosowanie wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego w zadaniach pozornie niezwiązanych z ciągiem arytmetycznym.
Obliczymy sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, których reszta z dzielenia przez jest równa .
Najmniejsza z liczb dwucyfrowych, która przy dzieleniu przez daje resztę to , a następne to , , , ,
Kolejne liczby różnią się o .
Można więc przyjąć, że są wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego , w którym pierwszy wyraz to , a różnica to .
Zapisujemy wzór na –ty wyraz tego ciągu.
Korzystając z tego wzoru obliczamy, ile wyrazów liczy ten ciąg.
Obliczamy sumę wyrazów ciągu .
Odpowiedź:
Suma wszystkich liczb dwucyfrowych, których reszta z dzielenia przez jest równa wynosi .
Rozwiążemy równanie .
Zauważmy, że składniki lewej strony równania to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego , którego pierwszy wyraz jest równy , a różnica .
Zapisujemy wzór ogólny ciągu:
Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa , czyli
Z uzyskanego równania wyznaczamy .
– liczba nie spełnia warunków zadania
Dodano wyrazów ciągu, zatem .
Odpowiedź:
Rozwiązaniem równania jest liczba .
Słownik
ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby , zwanej różnicą ciągu