Przeczytaj
Obliczymy dwoma sposobami objętość sześcianu przedstawionego na rysunku. Zakładamy, że , .
Krawędź sześcianu ma długość , zatem:
Objętość sześcianu obliczamy teraz jako sumę objętości sześcianu o krawędzi długości , sześcianu o krawędzi długości , trzech prostopadłościanów o krawędziach długości , , oraz trzech prostopadłościanów o krawędziach długości , , .
Porównując otrzymane wyrażenia, otrzymujemy:
Otrzymana równość zwana jest wzorem skróconego mnożenia na sześcian sumy dwóch wyrażeń.
Wzór na sześcian sumy dwóch wyrażeń:
Sześcian sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie sześcianów tych wyrażeń plus potrojony iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie plus potrojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego wyrażenia.
Powyższy wzór można też uzyskać, zapisując sześcian sumy w postaci iloczynu i wykonując mnożenie.
Korzystając ze wzoru na sześcian sumy, można podnosić do sześcianu dwumiany, nie wykonując mnożenia.
Zapiszemy każde z wyrażeń w postaci sumy.
Przekształcimy potęgi na sumy algebraiczne, wykorzystując wzór na sześcian sumy.
Jeżeli oba składniki sumy, którą należy podnieść do sześcianu, poprzedzone są znakiem „”, można wyłączyć przed nawias i zastosować poznany wzór skróconego mnożenia. W wyniku zmieniamy znaki otrzymanej sumy na przeciwne.
Na przykład:
Wykorzystanie wzoru na sześcian sumy dwóch wyrażeń znacznie ułatwia przekształcanie wyrażeń algebraicznych.
Zapiszemy podane wyrażenie w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość dla .
Odpowiedź:
Wartość wyrażenia jest równa .
Ważnym zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy jest zapisywanie sum algebraicznych w postaci iloczynu.
Zapiszemy sumy algebraiczne w postaci iloczynów.
Wzór skróconego mnożenia na sześcian sumyWzór skróconego mnożenia na sześcian sumy można zastosować obliczając wartości wyrażeń zawierających pierwiastki.
Słownik
sześcian sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie sześcianów tych wyrażeń plus potrojony iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie plus potrojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego wyrażenia