Przeczytaj

Obliczymy dwoma sposobami objętość sześcianu przedstawionego na rysunku. Zakładamy, że $a > 0$ , $b > 0$ .

R1pLwVOklKiK0

Na ilustracji znajduje się sześcian z wyznaczonymi na swoim boku w innych kolorach długościami A oraz B. Na jednej ze ścian sześcianu widnieje równanie: otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu do potęgi trzeciej. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Krawędź sześcianu ma długość $a + b$ , zatem:

V = {(a + b)}^{3}

Rmvadwsig2WnP

Na ilustracji znajduje się sześcian z wyznaczonymi długościami A oraz B. Na jednej ze ścian sześcianu oznaczone kolorem jest pole A do potęgi trzeciej. Na kolejnych dwóch ścianach oznaczone zostało pole B do potęgi trzeciej. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Objętość sześcianu obliczamy teraz jako sumę objętości sześcianu o krawędzi długości $a$ , sześcianu o krawędzi długości $b$ , trzech prostopadłościanów o krawędziach długości $a$ , $a$ , $b$ oraz trzech prostopadłościanów o krawędziach długości $a$ , $b$ , $b$ .

V = a^{3} + b^{3} + 3 \cdot a \cdot a \cdot b + 3 \cdot a \cdot b \cdot b = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Porównując otrzymane wyrażenia, otrzymujemy:

{(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Otrzymana równość zwana jest wzorem skróconego mnożenia na sześcian sumy dwóch wyrażeń.

bg‑azure

Wzór na sześcian sumy dwóch wyrażeń:

{(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Sześcian sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie sześcianów tych wyrażeń plus potrojony iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie plus potrojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego wyrażenia.

Powyższy wzór można też uzyskać, zapisując sześcian sumy w postaci iloczynu i wykonując mnożenie.

{(a + b)}^{3} = (a + b) (a + b) (a + b) = (a + b) (a^{2} + 2 a b + b^{2}) =

= a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Korzystając ze wzoru na sześcian sumy, można podnosić do sześcianu dwumiany, nie wykonując mnożenia.

Przykład 1

Zapiszemy każde z wyrażeń w postaci sumy.

{(x + 1)}^{3} = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^{2} + 1^{3} = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1

{(a + \sqrt[3]{2})}^{3} = a^{3} + 3 \cdot a^{2} \cdot \sqrt[3]{2} + 3 \cdot a \cdot {(\sqrt[3]{2})}^{2} + {(\sqrt[3]{2})}^{3} =

= a^{3} + 3 \sqrt[3]{2} a^{2} + 3 \sqrt[3]{4} a + 2

{(x^{2} + 3)}^{3} = x^{6} + 3 \cdot x^{4} \cdot 3 + 3 \cdot x^{2} \cdot 9 + 3^{3} = x^{6} + 9 x^{4} + 27 x^{2} + 27

{(2 x + 5 a)}^{3} = {(2 x)}^{3} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot 5 a + 3 \cdot 2 x \cdot {(5 a)}^{2} + {(5 a)}^{3} =

= 8 x^{3} + 60 a x^{2} + 150 a^{2} x + 125 a^{3}

Przykład 2

Przekształcimy potęgi na sumy algebraiczne, wykorzystując wzór na sześcian sumy.

{(x y + 2 \sqrt{5})}^{3} = {(x y)}^{3} + 3 \cdot {(x y)}^{2} \cdot 2 \sqrt{5} + 3 \cdot x y \cdot {(2 \sqrt{5})}^{2} + {(2 \sqrt{5})}^{3} =

= x^{3} y^{3} + 6 \sqrt{5} x^{2} y^{2} + 60 x y + 40 \sqrt{5}

{(a^{4} x^{3} + 0,1)}^{3} = a^{12} x^{9} + 3 \cdot a^{8} x^{6} \cdot 0,1 + 3 \cdot a^{4} x^{3} \cdot {(0,1)}^{2} + {(0,1)}^{3} =

= a^{12} x^{9} + 0,3 a^{8} x^{6} + 0,03 a^{4} x^{3} + 0,001

Jeżeli oba składniki sumy, którą należy podnieść do sześcianu, poprzedzone są znakiem „ $-$ ”, można wyłączyć $(- 1)$ przed nawias i zastosować poznany wzór skróconego mnożenia. W wyniku zmieniamy znaki otrzymanej sumy na przeciwne.

Na przykład:

{(- 4 x - y)}^{3} = {[(- 1) (4 x + y)]}^{3} = {(- 1)}^{3} (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3}) =

= - 64 x^{3} - 48 x^{2} y - 12 x y^{2} - y^{3}

Wykorzystanie wzoru na sześcian sumy dwóch wyrażeń znacznie ułatwia przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Przykład 3

Zapiszemy podane wyrażenie w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość dla $x = - \sqrt[3]{7}$ .

3 \cdot {(x + \frac{1}{3})}^{3} - x \cdot (3 x + 1) = 3 \cdot (x^{3} + x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{27}) - 3 x^{2} - x = 3 x^{3} + \frac{1}{9}

3 \cdot {(- \sqrt[3]{7})}^{3} + \frac{1}{9} = - 20 \frac{8}{9}

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia jest równa $- 20 \frac{8}{9}$ .

Ważnym zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy jest zapisywanie sum algebraicznych w postaci iloczynu.

R8n9E6SP5NNCk

Kwadrat do potęgi trzeciej plus trzy kwadrat do potęgi drugiej koło plus trzy kwadrat koło do potęgi drugiej plus koło do potęgi trzeciej równa się otwarcie nawiasu kwadrat plus koło zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu kwadrat plus koło zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu kwadrat plus koło zamknięcie nawiasu. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przykład 4

Zapiszemy sumy algebraiczne w postaci iloczynów.

125 a^{3} + 75 a^{2} + 15 a + 1 = (5 a + 1) (5 a + 1) (5 a + 1)

27 x^{3} + 216 x^{2} y + 576 x y^{2} + 512 y^{3} = (3 x + 8 y) (3 x + 8 y) (3 x + 8 y)

3 a^{3} + 3 \sqrt[3]{9} a^{3} + 3 \sqrt[3]{3} a^{3} + a^{3} = (\sqrt[3]{3} a + a) (\sqrt[3]{3} a + a) (\sqrt[3]{3} a + a)

k^{3} + 1,5 k^{2} m + 0,75 k m^{2} + 0,125 m^{3} = (k + 0,5 m) (k + 0,5 m) (k + 0,5 m)

Wzór skróconego mnożenia na sześcian sumyWzór skróconego mnożenia na sześcian sumy można zastosować obliczając wartości wyrażeń zawierających pierwiastki.

Przykład 5

{(2 + \sqrt{2})}^{3} - 14 \sqrt{2} = 8 + 3 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 2 \cdot 2 + \sqrt{8} - 14 \sqrt{2} =

= 20 + 14 \sqrt{2} - 14 \sqrt{2} = 20

(4 + 3 \sqrt[3]{9} + 3 \sqrt[3]{3}) - {(1 + \sqrt[3]{3})}^{2} = {(1 + \sqrt[3]{3})}^{3} - {(1 + \sqrt[3]{3})}^{2} =

= {(1 + \sqrt[3]{3})}^{2} (1 + \sqrt[3]{3} - 1) = \sqrt[3]{3} {(1 + \sqrt[3]{3})}^{2}

Słownik

wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy

sześcian sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie sześcianów tych wyrażeń plus potrojony iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie plus potrojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego wyrażenia

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik