Warto przeczytać

Zasada zachowania momentu pędu stwierdza, że moment pędu $\vec{L}$ układu jest zachowany, jeżeli do układu nie zostanie przyłożony zewnętrzny niezrównoważony moment siłymoment siłymoment siły $\vec{M}$. Zasada ta wynika z równania ruchu bryły sztywnej,

Jednocześnie wiemy z definicji, że moment pędu dla punktu materialnego to iloczyn wektorowy wektora wodzącego $\vec{r}$ (łączącego punkt z osią obrotu) i pędu $\vec{p}$ tego punktu:

Przeprowadzając poniższe sumowanie otrzymujemy zależność pozwalającą obliczyć moment pędu bryły sztywnej za pomocą jej momentu bezwładnościmoment bezwładnościmomentu bezwładności I i prędkości kątowejprędkość kątowaprędkości kątowej ωomega:

Symbol $r_{i}^{\perp}$ oznacza odległość i-tego punktu od osi obrotu, tj. wektor $\vec{r}_{i}^{\perp}$ jest prostopadłą do osi składową wektora położenia tego punktu.

Z zasady zachowania momentu pędu wynika, że $\vec{L}=\text{const}$, jeśli $\vec{M}_{\text{wypadkowy}}=0$. Prowadzi to do istotnej obserwacji z punktu widzenia mechaniki bryły sztywnej:

Powyższy wzór oznacza, że jeśli nastąpiła zmiana momentu bezwładności układu – przy braku przyłożonych zewnętrznych momentów siły – to zmianie musi ulec prędkość kątowa tego układu. Możemy się o tym przekonać, wykonując prosty eksperyment na placu zabaw: wystarczy, że znajdziemy karuzelę pionową lub karuzelę kołową, jak na Rys. 1.

RvyQMYQhok27r

Rys. 1. Na zdjęciu jest mała karuzela na placu zabaw. Karuzela składa się z poziomej, kolistej platformy, która może obracać się wokół pionowej osi przechodzącej przez jej środek. Ze środka platformy wychodzi pionowy pręt, do którego przymocowano poziome, skierowane wzdłuż promieni, poręcze, których mogą trzymać się bawiące się dzieci.

Łapiąc się poręczy takiej karuzeli i odpychając nogą od podłoża, przykładamy zewnętrzny moment siły, przez co układ „my i karuzela” zwiększa swój momentu pędu. Gdy przestajemy się odpychać i wskakujemy na platformę, możemy przyjąć, że do układu nie są przyłożone zewnętrzne momenty sił (tarcie na łożysku karuzeli i opór powietrza uznajemy za pomijalne, jeśli wykonamy eksperyment w krótkim czasie). Obracamy się zatem z pewną ustaloną prędkością kątową, a cały układ posiada określony moment bezwładności. Jeśli złapiemy się poręczy i przysuniemy się w stronę osi obrotu, poczujemy gwałtowny wzrost prędkości obrotowej karuzeli. Dlaczego? Ponieważ przesuwając ciężar swojego ciała bliżej osi obrotu, zmniejszamy nasz moment bezwładności $I=mR^2$, zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu musi zatem wzrosnąć prędkość kątowa.

Tego samego zjawiska możemy doświadczyć, siadając na krześle obrotowym – jeśli odepchniemy się od podłoża, obracamy się z pewną prędkością kątową. Co się stanie, jeśli w trakcie obracania się rozłożymy szeroko ramiona? Prędkość obrotowa zmaleje – ponieważ zwiększył się nasz moment bezwładności (zwiększyliśmy odległość części masy układu od jego osi obrotu). Doświadczenie możemy zmodyfikować, biorąc do rąk obciążniki, na przykład hantle treningowe. Rozpoczynając od powolnych obrotów przy szeroko rozłożonych ramionach, gwałtownie przyspieszymy, przyciągając ręce i ciężary blisko do naszego ciała.

Fakt, że zmiana momentu pędu wymaga przyłożenia zewnętrznego momentu siły, wykorzystywany jest w wielu urządzeniach. Przykłady widoczne są na Rys. 2a, b, c, d, e.

„Sztuczny horyzont” (Rys. 2a.) to przyrząd lotniczy korzystający z żyroskopu – element o dużym momencie bezwładności rozkręcony do znacznej prędkości kątowej umocowany zachowuje swoją orientację w przestrzeni, wskazując kierunek poziomy, umożliwiając kontrolowanie położenia samolotu przy słabej widoczności.

RlCdKXkyfG72w

Rys. 2a. Ilustracja przedstawia ekran przyrządu zwanego „sztucznym horyzontem”. Na ekranie jest widoczna nieruchoma, symboliczna sylwetka samolotu, a za nią ruchoma czasza sferyczna podzielona linią horyzontu; górna półsfera jest jasna a dolna ciemna. Na obu półsferach jest naniesiona podziałka kątowa pochylenia, odczytywana względem nieruchomej sylwetki samolotu.

Gwintowana lufa (Rys. 2b.) wprawia wylatujący z niej pocisk w ruch obrotowy, przez co jego lot jest stabilniejszy.

RXFFL0CKTxqXf

Rys. 2b. Zdjęcie przedstawia wnętrza lufy karabinu w powiększeniu. Wewnętrzna powierzchnia jest nagwintowana ukośnie tak, że pocisk obraca się podczas przesuwania w lufie.

Żyrokompas (Rys. 2c.) to urządzenie, które wskazuje biegun geograficzny Ziemi (w przeciwieństwie do klasycznej igły magnetycznej, wskazującej biegun magnetyczny i  jest podatna na zakłócenia związane z obecnością ferromagnetyków w pobliżu), korzystając z zasady żyroskopu, podobnie jak wspomniany sztuczny horyzont, ale jest inaczej zamocowane.

R1JMea2Vfg6o7

Rys. 2c. Zdjęcie przedstawia żyrokompas, którego główną częścią jest masywna kula. Widoczne są poziome i pionowe pręty przechodzące przez kulę, a całość zamocowana jest do zewnętrznych kolistych obręczy. Widać też wiele przewodów elektrycznych zasilających urządzenie.

Stabilizatory (Rys. 2d.) samolotów, samochodów, okrętów, rakiet, sond kosmicznych i innych obiektów – masywne żyroskopy o bardzo dużym momencie pędu - sprawiają, że ruch pojazdu jest bardziej płynny i odporny na zaburzenia (podobnie jak pocisk wylatujący z gwintowanej lufy).

R5tG6UFwsr2u0

Rys. 2d. Zdjęcie przedstawia stabilizator samolotów, którego główną częścią są 2 poziome, duże stożki o wspólnej osi symetrii ułożone jeden za drugim. Na stożkach widać otwory i wystające elementy. Obok urządzenia widać kilku mężczyzn, których głowy sięgają zaledwie do połowy wysokości stabilizatora.

Używane na co dzień w fotografii i technice filmowej stabilizatory obrazu (Rys. 2e.) wykorzystują kilka żyroskopów, rozpędzanych silnikiem elektrycznym i zapewniają stabilność nagrywanego obrazu niezależnie od drgań czy ruchów ręki operatora.

RrqIYQOMohaaC

Rys. 2e. Zdjęcie przedstawia dwie kobiety, które posługują się kamerą ze stabilizatorem obrazu. Z przodu widoczny jest obiektyw zamocowany do skomplikowanego urządzenia o wielkości około pół metra.