Przeczytaj

Symetria wykresu funkcji względem osi

X

Twierdzenie: Symetria wykresu funkcji względem osi

X

Wykres funkcji $y = - f (x)$ otrzymujemy przez symetryczne odbicie wykresu funkcji $f$ względem osi $X$ .

Do narysowania wykresu funkcji $g (x) = - f (x)$ na podstawie wykresu funkcji $f (x)$ wystarczy wykorzystać poniższe zależności.

Dla dowolnego punktu $P = (x, y)$ jego obrazem w symetrii względem osi $X$ układu współrzędnych jest punkt $P' = (x, - y)$ .

Jeżeli punkt $P = (x, y)$ należy do wykresu funkcji $f$ , to $y = f (x)$ .

Jeżeli punkt $P' = (x, - y)$ należy do wykresu funkcji $g$ , to $g (x) = - y$ .

Zatem zachodzi zależność $g (x) = - f (x)$ .

Odbicie symetryczne wykresu funkcji $f$ względem osi $X$ przedstawiono na poniższym rysunku.

R4a9AMDkiDD8t

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą od minus 5 do sześciu oraz osią pionową od minus 3 do trzech. Zaznaczono dwa wykresy funkcji. Pierwsza jest prostą łamaną, posiada miejsce zerowe równe minus 5, minus 1, 1 oraz pięć. Oraz wierzchołki w pierwszej drugiej oraz na osi Y w punkcie minus jeden. Druga prosta posiada te same miejsca zerowe i jest odbiciem symetrycznym wykresu pierwszej funkcji względem osi X.

Przykład 1

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = x^{2}$ .

R1PuVteCOksfT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą od minus 5 do pięciu oraz osią pionowa od minus 1 do pięciu. Zaznaczono na nim parabolę o wierzchołku w początku układu współrzędnych oraz ramionami skierowanymi w górę.

Narysujemy wykres funkcji $g (x) = - f (x)$ .

Rozwiązanie

Aby na podstawie wykresu funkcji $f$ narysować wykres funkcji $- f (x)$ , musimy wykres funkcji $f (x)$ odbić symetrycznie względem osi $X$ . Odbicie wykresu funkcji przedstawiono na poniższym rysunku.

RyDGpjxvatgzL

Otrzymujemy wtedy nową funkcję określoną wzorem $g (x) = - x^{2}$ .

Do prawidłowego narysowania wykresu funkcji $y = - f (x)$ na podstawie wykresu $y = f (x)$ czasem wystarczy znaleźć współrzędne kilku punktów w symetrii względem osi $X$ .

Przykład 2

Wiadomo, że do wykresu funkcji $f$ należą punkty o współrzędnych:

$A = (- 1, 3)$ ,

$B = (0, - 2)$ ,

$C = (2, 2)$ .

Niech $g (x) = - f (x)$ . Wyznaczymy współrzędne punktów, które należą do wykresu tej funkcji.

Rozwiązanie

Jeżeli $g (x) = - f (x)$ , to do wykresu funkcji $g$ należą punkty o współrzędnych:

$A' = (- 1, - 3)$ ,

$B' = (0, 2)$ ,

$C' = (2, - 2)$ .

Przykład 3

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ . Naszkicujemy wykres funkcji $g (x) = - f (x)$ .

R1dkpxQXL6p47

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą od minus 5 do pięciu oraz osią pionową od minus 4 do czterech. Zaznaczono funkcję w obszarze pierwszej trzeciej oraz czwartej ćwiartki. Funkcja maleje od nieskończoności do punktu minus dwa, następnie rośnie do nieskończoności przechodząc przez oś X w punkcie pomiędzy 1, a dwa.

Rozwiązanie

Po odbiciu symetrycznym względem osi odciętych otrzymujemy wykres funkcji $g$ .

R1cMCh2oy0zuT

Przy przekształcaniu wykresu funkcjiPrzy przekształcaniu wykresu funkcji $f$ w symetrii względem osi $X$ , wartości ze zbioru wartości funkcji $f$ zamieniamy na liczby przeciwne.

Przykład 4

Poniżej podano zbiór wartości funkcji $f$ . Wyznaczymy zbiór wartości funkcji określonej wzorem $g (x) = - f (x)$ .

a) $(- 5, 3⟩$ ,

b) $\{- 2, - 1, 0, 1, 3, 5\}$ .

Rozwiązanie

a) Zbiorem wartości funkcji określonej wzorem $g (x) = - f (x)$ jest przedział $⟨- 3, 5)$ .

b) Zbiorem wartości funkcji określonej wzorem $g (x) = - f (x)$ jest zbiór $\{- 5, - 3, - 1, 0, 1, 2\}$ .

Przy rysowaniu wykresu funkcji $y = - f (x)$ na podstawie wykresu funkcji $y = f (x)$ nie zmienia się dziedzina oraz miejsca zerowe funkcji, ale zmieniają się przedziały monotoniczności funkcji.

Przykład 5

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f$ . Niech $g (x) = - f (x)$ .

RhNN218qYjSmo

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą od minus 5 do pięciu oraz osią pionową od minus 1 do czterech. Zaznaczono wykres funkcji malejący od nieskończoności przechodzący przez oś Y w punkcie jeden oraz mający miejsce zerowe równe jeden. W miejscu zerowym funkcja zaczyna rosnąć.

Naszkicujemy wykres funkcji $g$ , a następnie wyznaczymy:

a) dziedzinę i zbiór wartości funkcji $g$ ,

b) przedziały monotoniczności funkcji $g$ .

Rozwiązanie

Wykres funkcji $g$ określonej wzorem $g (x) = - f (x)$ otrzymamy, przekształcając wykres funkcji $f$ w symetrii względem osi $X$ .

R14qQe60Pzino

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą od minus 5 do pięciu oraz osią pionową od minus 1 do czterech. Zaznaczono wykres dwóch funkcji. Pierwszy malejący od nieskończoności przechodzący przez oś Y w punkcie jeden oraz mający miejsce zerowe równe jeden. W miejscu zerowym funkcja zaczyna rosnąć. Drugi będący symetrycznym odbiciem względem osi Y, więc rośnie od nieskończoności przechodząc przez punkt minus 1 do miejsca zerowego równego jeden, następnie maleje.

Określimy własności funkcji $g$ :

a) dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, a zbiorem wartości jest przedział $(- \infty, 0⟩$ .

b) funkcja $g$ jest rosnąca w przedziale $(- \infty, 1⟩$ i malejąca w przedziale $⟨1, \infty)$ .

Mając dany wzór funkcji $f$ , możemy wyznaczyć wzór funkcji $g (x) = - f (x)$ .

Przykład 6

Wyznaczymy wzór funkcji $g (x) = - f (x)$ , jeżeli funkcja $f$ jest określona wzorem:

a) $f (x) = {(x - 1)}^{2} + 2$ ,

b) $f (x) = \frac{x + 2}{2 - x}$ .

Rozwiązanie

a) $g (x) = - f (x) = - ({(x - 1)}^{2} + 2) = - {(x - 1)}^{2} - 2$ ,

b) $g (x) = - f (x) = - \frac{x + 2}{2 - x} = \frac{x + 2}{x - 2}$ .

Zauważmy, że poprzez symetryczne odbicie wykresu funkcji $f$ względem osi $X$ nie zmieniła się dziedzina omawianej funkcji.

Słownik

przekształcenie wykresu funkcji y=-f(x)

symetryczne odbicie wykresu funkcji $f$ względem osi $X$

Wprowadzenie

Aplet

Słownik