Zmienne zdaniowe i funktory prawdziwościowe

Żeby teraz dobrze wyjaśnić istotę modus ponendo ponens i modus tollendo tollens, wprowadzę dwa rodzaje symboli logicznych: zmienne zdaniowezmienne zdaniowezmienne zdaniowe i funktory prawdziwościowefunktor prawdziwościowyfunktory prawdziwościowe.

Zmienne zdaniowe to symbole reprezentujące dowolne jednoznaczne stwierdzenie. W logice stosuje się zazwyczaj trzy takie symbole: p, q i r. Każde proste zdanie, na przykład: Janek śpi, czy Janek uczy się fizyki mogą być reprezentowane przez takie zmienne zdaniowe. Nazywamy je zmiennymi, bo można pod nie podstawiać różne stwierdzenia, w efekcie czego zmienia się sens danego zapisu logicznego, ale nie zmienia się jego struktura.

Funktory prawdziwościowe to symbole reprezentujące spójniki zdaniowe, takie jak: i, lub, albo, nieprawda, że… Każde z nich, odpowiednio użyte, tworzy nowe zdanie, które jest albo prawdziwe, albo fałszywe. Istnieją różne systemy zapisów spójników logicznych. W tym opracowaniu przyjmujemy następujące:

R1bbvv3zSmEKj

Ilustracja przedstawia tabelę, w której znajdują się symbole stosowane w logice. Wskazane są ich nazwy i znaczenia. Symbol przypominający falę nazywa się negacja, znaczenie nieprawda, że. Symbol strzałka skierowana w prawą stronę, nazwa implikacja, znaczenie jeżeli… to. Symbol przypominający literę V, czyli dwie linie stykające się na dole, rozszerzające się ku górze, nazwa alternatywa nierozłączna, znaczenie lub. Symbol przypominający odwróconą do góry nogami literę V, czyli dwie linie stykające się na górze, rozszerzające się ku dołowi, nazwa koniunkcja, znaczenie i. Symbol przypominający odwróconą do góry nogami literę T, czyli u dołu pozioma linia i pośrodku niej idąca w górę linia prosta, nazwa alternatywa rozłączna, znaczenie albo… albo. Symbol strzałka skierowana w prawą i lewą stronę równocześnie, nazwa równoważność, znaczenie wtedy i tylko wtedy, gdy.

Brakuje nam tu jeszcze kilku elementów, żeby ocenić prawdziwość tego zdania złożonego, ale zapis formalnie rzecz biorąc jest poprawny.

Modus ponendo ponens i modus tollendo tollens

Oba omawiane tu schematy mają charakter tautologiitautologiatautologii logicznego rachunku zdań, co znaczy, że są zawsze prawdziwe, bez względu, jakie stwierdzenia się podstawi pod zmienne zdaniowe (pod warunkiem, że są to stwierdzenia jednoznaczne).

Modus ponendo ponens to inaczej potwierdzenie przez potwierdzenie. Zasada ta głosi następującą prostą rzecz:
Jeśli przyjmiemy prawdziwość poprzednika implikacji, którą uznaliśmy za prawdziwą, to musimy też przyjąć prawdziwość następnika.

Podstawmy tu rozumowanie, które już znamy (trochę je tylko upraszczam): Jeżeli działanie jakiegoś człowieka jest w istocie sprawką bogów, człowiek nie powinien być za nie obwiniany. Działanie Heleny było w istocie powodowane przez bogów. Zatem nie powinna być za swoje działanie obwiniana.

Analogiczna zasada występuje w przypadku modus tollendo tollens, nazywanej inaczej zaprzeczeniem przez zaprzeczenie, co brzmi: Jeśli przyjmiemy fałszywość następnika implikacji, którą uznaliśmy za prawdziwą, to musimy też przyjąć fałszywość jej poprzednika.

W wersji uproszczonej zapisuje się ten schemat tak:
Jeżeli p to q.
Nieprawda, że q.
Zatem nieprawda, że p.

Żeby to zobrazować, weźmy fikcyjne rozumowanie, którego mógłby użyć Gorgiasz: Jeżeli Helena postąpiła niegodziwie, to znaczy, że mogła postąpić godziwie.
Helena nie mogła postąpić godziwie.
Zatem Helena nie postąpiła także niegodziwie.

Na podstawie dzisiejszych badań można dorzucić dwie kolejne oczywiste zasady tego opracowania:

Słownik