Przed egzaminem - liczby

Ważne!

Liczby naturalne to: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , ...

cyfry

Definicja: cyfry

Do zapisywania liczb używamy znaków zwanych cyframi.
Są to: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ .

liczby całkowite

Definicja: liczby całkowite

Liczby naturalne i liczby do nich przeciwne to liczby całkowite.

liczby wymierne

Definicja: liczby wymierne

Każdą liczbę, która da się przedstawić w postaci ułamka zwykłego, którego licznik jest pewną liczbą całkowitą, a mianownik liczbą całkowitą różną od zera, nazywamy liczbą wymierną.

Każdej liczbie wymiernej odpowiada jeden punkt na osi liczbowej.

wartość bezwzględna

Definicja: wartość bezwzględna

Wartością bezwzględną liczby nazywamy jej odległość od zera na osi liczbowej.

n -

ta potęga liczby

a

Definicja:

n -

ta potęga liczby

a

Potęga o naturalnym wykładniku, to skrócony zapis iloczynu złożonego z takich samych czynników.

a^{n} = \underset{n - razy}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}}

Ważne!

$a^{0} = 1$

$a^{1} = a$

pierwiastek drugiego stopnia z liczby nieujemnej

Definicja: pierwiastek drugiego stopnia z liczby nieujemnej

Pierwiastkiem drugiego stopnia (kwadratowym) z liczby nieujemnej $a$ nazywamy taką liczbę nieujemną $b$ , która podniesiona do potęgi drugiej jest równa liczbie $a$ .

\sqrt{a} = b

, gdy

a = b^{2}

(a \geq 0, b \geq 0)

pierwiastek trzeciego stopnia z liczby

a

Definicja: pierwiastek trzeciego stopnia z liczby

a

Pierwiastkiem trzeciego stopnia (sześciennym) z liczby $a$ nazywamy taką liczbę $b$ , która podniesiona do trzeciej potęgi jest równa liczbie $a$ .

\sqrt[3]{a} = b

, gdy

a = b^{3}

RnO1A4lzbWAlR

Ćwiczenie 1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R12vCCSGxjzaB

Ćwiczenie 2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RKuXEcWWqaOcL

Ćwiczenie 3

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1WwzmNHS3qne

Ćwiczenie 4

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R4lif1FbDmH6w

Ćwiczenie 5

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1EkRvSAEWHat

Ćwiczenie 6

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1EBbAN8NavrN

Ćwiczenie 7

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1SeEU4qsmipd

Ćwiczenie 8

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R15ydfdWjpPRQ

Ćwiczenie 9

Łączenie par. Na wycieczkę pojechało

40

osób. Kobiety stanowiły

\frac{3}{8}

tej grupy, dzieci

\frac{1}{4}

, a pozostałe osoby to mężczyźni. Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz, czy dane zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.. Mężczyzn pojechało na wycieczkę tyle samo co kobiet.. Możliwe odpowiedzi: P, F. Dzieci stanowiły

10 %

wszystkich osób, które pojechały na wycieczkę.. Możliwe odpowiedzi: P, F. Gdyby na wycieczkę pojechało jeszcze

5

kobiet, to stanowiłyby połowę całej grupy.. Możliwe odpowiedzi: P, F. Gdyby na wycieczkę wyjechało jeszcze

10

dzieci, to stanowiłyby

10 %

wszystkich uczestników wycieczki.. Możliwe odpowiedzi: P, F

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R78bQEJFmUSBV

Ćwiczenie 10

Uzupełnij każde zdanie, dopasowując odpowiednią liczbę. Umieść tę liczbę w luce. Dana jest liczba

728, 9174

.
Liczba ta zaokrąglona do jedności to 1.

700

, 2.

729, 92

, 3.

729, 917

, 4.

729

.
Liczba ta zaokrąglona do setek to 1.

700

, 2.

729, 92

, 3.

729, 917

, 4.

729

.
Liczba ta zaokrąglona do części setnych to 1.

700

, 2.

729, 92

, 3.

729, 917

, 4.

729

.
Liczba ta zaokrąglona do części tysięcznych to 1.

700

, 2.

729, 92

, 3.

729, 917

, 4.

729

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R106W39WWTCjM

Ćwiczenie 11

Łączenie par. Sznurek podzielono na

3

części w stosunku

2 : 3 : 4

. Długość najdłuższej z tych części była równa

3, 6 m

. Zaznacz, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.. Najkrótsza z tych części była równa

0, 4 m

.. Możliwe odpowiedzi: P, F. Druga z tych części różniła się od trzeciej o

0, 9 m

.. Możliwe odpowiedzi: P, F. Stosunek najdłuższej z tych części do najkrótszej był równy

2 : 1

.. Możliwe odpowiedzi: P, F. Sznurek miał długość większą niż

8 m

.. Możliwe odpowiedzi: P, F

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Ćwiczenie 12

Cenę sukienki podwyższono najpierw o $25 %$ , a następnie obniżono o $20 %$ . Oblicz, jakim procentem ceny początkowej jest obecna cena sukienki.

ReGSWZFY7TrGu

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Jeśli cenę sukienki oznaczymy przez $x zł$ , to cena po podwyżce o $25 %$ wynosi $1, 25 x zł$ .

Oznaczmy przez $x$ początkową cenę sukienki (w $zł$ ).

$1, 25 x$ – cena sukienki po podwyżce o $25 %$ (w $zł$ ).

$0, 8 \cdot (1, 25 x)$ – cena sukienki po obniżce o $20 %$ (w $zł$ )

$0, 8 \cdot (1, 25 x) = 1 \cdot x = x$

Cena końcowa jest równa cenie początkowej, zatem cena końcowa stanowi $100 %$ ceny początkowej.

Ćwiczenie 13

Podczas egzaminu Janek odpowiedział na $24$ pytania, co stanowiło $80 %$ wszystkich pytań. Na ile pytań Janek nie odpowiedział?

RkDVOXUqe2UW0

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Oznaczmy:
$x$ – liczba wszystkich pytań.

$0, 8 x = 24$

$x = 24 : 0, 8$

$x = 30$

Jeśli Janek odpowiedział na $24$ pytania, to nie odpowiedział na
$30 - 24 = 6$
pytań.

Janek nie odpowiedział na $6$ pytań.

Ćwiczenie 14

Oblicz $\frac{{(- \frac{1}{10})}^{0} \cdot (- 4 \frac{1}{2})}{3^{2}} \cdot \sqrt[3]{- 8} + \frac{\sqrt{9 - 5}}{2^{5} : 2^{4}}$ .

Rm5Tw6iOhwECY

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

$\frac{{(- \frac{1}{10})}^{0} \cdot (- 4 \frac{1}{2})}{3^{2}} \cdot \sqrt[3]{- 8} + \frac{\sqrt{9 - 5}}{2^{5} : 2^{4}} = \frac{1 \cdot (- \frac{9}{2})}{9} \cdot (- 2) + \frac{\sqrt{4}}{2^{1}} =$

$= \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9} + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2$

Ćwiczenie 15

Znajdź liczbę $x$ spełniającą warunek $x \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \cdot \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

R1abLvjmk9Z7D

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

$x \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \cdot \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

$x \cdot \sqrt{3} = \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) (3 + 2 \sqrt{2})}$

$x \cdot \sqrt{3} = \sqrt{9 + 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} - 8}$

$x \cdot \sqrt{3} = \sqrt{9 - 8}$

$x \cdot \sqrt{3} = \sqrt{1}$

$x \cdot \sqrt{3} = 1 : \sqrt{3}$

$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$x = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}$

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$