Przed egzaminem - równania

Przykład 1

$x + 3 = 4$ to równanie z niewiadomą $x$ ,

$5 z - 6 w = 4 w$ to równanie z dwiema niewiadomymi $w$ oraz $z$ .

Przykład 2

$x^{2} - 2 x = x - 3$ to równanie stopnia drugiego z jedną niewiadomą,

$2 (a + 1) = 4$ to równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

Ważne!

Rozwiązać równanie, to znaczy podać wszystkie jego rozwiązania lub ustalić, że nie ma ono rozwiązań.
Dwa równania nazywamy równoważnymi, gdy mają ten sam zbiór rozwiązań lub oba jednocześnie nie mają rozwiązań.

Przykład 3

$4 x + 8 = 10$ - rozwiązaniem równania jest liczba $\frac{1}{2}$ . Jest to równanie oznaczone.

$x - 6 = x + 1$ - równanie nie ma rozwiązania. Jest to równanie sprzeczne.

$x + 1 = x + 1$ - równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jest to równanie nieoznaczone.

Ważne!

Jeżeli obie strony równania pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę różną od zera, to otrzymamy równanie równoważne danemu.
Jeśli do obu stron równania dodamy lub od obu stron równania odejmiemy to samo wyrażenie, to otrzymamy równanie równoważne danemu.

RnpEnFIqHYlW6

Ćwiczenie 1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RNvnaxjWE6yAd

Ćwiczenie 2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R174zKzYJA34p

Ćwiczenie 3

Połącz w pary równania równoważne.

2 x - 4 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{2} = x

, 2.

2 (x - 2) = 0

, 3.

3 x - 2 = 0

, 4.

3 x = 15

, 5.

- 2 x = 5

14 x = 7

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{2} = x

, 2.

2 (x - 2) = 0

, 3.

3 x - 2 = 0

, 4.

3 x = 15

, 5.

- 2 x = 5

x^{2} + 2 = x^{2} + 3 x

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{2} = x

, 2.

2 (x - 2) = 0

, 3.

3 x - 2 = 0

, 4.

3 x = 15

, 5.

- 2 x = 5

x - 5 (x + 2) = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{2} = x

, 2.

2 (x - 2) = 0

, 3.

3 x - 2 = 0

, 4.

3 x = 15

, 5.

- 2 x = 5

1 + x + 4 = 2 x

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{2} = x

, 2.

2 (x - 2) = 0

, 3.

3 x - 2 = 0

, 4.

3 x = 15

, 5.

- 2 x = 5

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R19C3jwpxDsJU

Ćwiczenie 4

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R3wQFu5EyENRt

Ćwiczenie 5

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R5wPvCW3i6LIV

Ćwiczenie 6

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Re6mudEOJX2Yi

Ćwiczenie 7

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1TQMtnStbYnZ

Ćwiczenie 8

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RWfVwYOWULCqj

Ćwiczenie 9

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R16zspF1EPtZb

Ćwiczenie 10

Łączenie par. Wymairy prostokąta opisano za pomocą wyrażeń algebraicznych. Krótkie boki za pomocą wyrażeń:

(3 x - 5)

(- 1 + 2 x)

. Dłuższe boki za pomocą wyrażeń:

3 y

(4 y - 6)

. Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P-jeśli zdanie jest prawdziwe lub F-jeśli zdanie jest fałszywe.. Obwód tego prostokąta jest równy

10

.. Możliwe odpowiedzi: P, F. Obwód tego prostokąta jest większy od

10

.. Możliwe odpowiedzi: P, F. Pole tego prostokąta jest równe

24

.. Możliwe odpowiedzi: P, F. Stosunek długości boku dłuższego tego prostokąta do boku krótszego jest równy

3 : 2

.. Możliwe odpowiedzi: P, F. Przekątna tego prostokąta jest krótsza od

6

.. Możliwe odpowiedzi: P, F

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Ćwiczenie 11

Rozwiąż równanie $2 (x - 1) - 3 (4 - x) = x + 2$ .

RqSLSEGuxL0V9

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

$2 (x - 1) - 3 (4 - x) = x + 2$

$2 x - 2 - 12 + 3 x = x + 2$

$5 x - 14 = x + 2$

$5 x - x = 2 + 14$

$4 x = 16$

$x = 4$

Rozwiązaniem równania jest $x = 4$ .

Ćwiczenie 12

Wykaż, że równanie $\frac{2 x - 3}{4} - \frac{x + \frac{1}{2}}{10} + \frac{3}{5} = \frac{3 x + 5 (x - 1)}{20}$ nie ma rozwiązań.

R1U3RhxUCssH6

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Pomnóż obie strony równania przez $20$ , aby pozbyć się mianowników ułamków. Wykonaj wskazane działania i zredukuj wyrazy podobne.

$\frac{2 x - 3}{4} - \frac{x + \frac{1}{2}}{10} + \frac{3}{5} = \frac{3 x + 5 (x - 1)}{20} | \cdot 20$

$5 (2 x - 3) - 2 (x + \frac{1}{2}) + 12 = 3 x + 5 (x - 1)$

$10 x - 15 - 2 x - 1 + 12 = 3 x + 5 x - 5$

$8 x - 4 = 8 x - 5$

$- 4 = - 5$ - sprzeczność

Ćwiczenie 13

Wiadomo, że $10 %$ pewnej liczby jest o $4$ mniejsze od $20 %$ tej liczby. Wyznacz tę liczbę.

R1UrKQ5SGVyIt

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Oznacz przez $x$ szukaną liczbę. Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie.

Oznaczmy przez $x$ szukaną liczbę. Na podstawie treści zadania układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.

$10 %$ liczby $x$ to $0,1 x$

$20 %$ liczby $x$ to $0,2 x$

$0,1 x + 4 = 0,2 x$

$0,1 x - 0,2 x = - 4$

$- 0,1 x = - 4 \cdot (- 1)$

$0,1 x = 4$

$x = 4 : 0,1$

$x = 40$

Szukana liczba to $40$ .

Ćwiczenie 14

W trapezie prostokątnym miara kąta rozwartego jest o $20 °$ mniejsza od sumy miar pozostałych kątów. Wyznacz miary kątów tego trapezu.

R2PNCLCR1XHiX

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Suma miar kątów przy dłuższym ramieniu tego trapezu jest równa $180 °$ .

Oznaczmy przez $x$ miarę kąta ostrego w tym trapezie. Na podstawie treści zadania układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.

$180 ° - x = (90 ° + 90 ° + x) - 20 °$

$180 ° - x = 180 ° + x - 20 °$

$- 2 x = - 20 ° \cdot (- 2)$

$x = 10 °$

Obliczamy miarę kąta rozwartego.

$180 ° - 10 ° = 170 °$

Miary kątów tego trapezu są równe: $90 °$ , $90 °$ , $170 °$ , $10 °$ .