Przemiany energii podczas drgań: drgania ciała zawieszonego na sprężynie.

RR8t8hb8sYVHx

Galileo Galilei [galileo galilei] jako pierwszy zajmował się badaniem właściwości wahadła. Działo się to na przełomie $XVI$ i $XVII$ wieku. Dzięki temu włoskiemu uczonemu, Christiaan Huygens [krysian herhens] uruchomił pierwszy zegar wahadłowy. Innym naukowcem wykorzystującym ruch drgający tego ciała był Jean Bernard Léon Foucault [żą bernar leą fuko]. Jego wahadło dowiodło ruchu obrotowego Ziemi wokół własnej osi. Odkrycie to było tak fascynujące, że w wielu miejscach zaczęto instalować takie wahadła, które od nazwiska wynalazcy nazywamy wahadłem Foucaulta (czyt. fuko).

R10BM1dq0tiUo

Zdjęcie. We wnętrzu budynku znajduje się ogrodzona strefa, wewnątrz której waha się wahadło Foucaulta. Wahadło strąca ustawione w okrąg pręty, dzięki czemu widać, że nie waha się ono w jednej płaszczyźnie. — Wahadło Foucaulta w Centrum Nauki Kopernik w Warszawie
Źródło: dostępny w internecie: Wikipedia.org, licencja: CC BY-SA 3.0.

Ru11RPBT7XoKX

Zdjęcie. We wnętrzu budynku znajduje się ogrodzona strefa, wewnątrz której, nad ośmiokątnym stołem, waha się wahadło Foucaulta. Na stole, wokół jego osi, narysowana jest podziałka. Ponieważ strefa jest ogrodzona i zwiedzający nie mają możliwości odczytania liczb z podziałki na stole, została ona skopiowana na stojącą wokół stołu wstęgę. — Wahadło Foucaulta w Panteonie w Paryżu
Źródło: dostępny w internecie: Wikipedia.org, domena publiczna.

Analizując dzisiejszy materiał przekonasz się, dlaczego temat ten był tak fascynujący dla świata nauki.

Twoje cele

utrwalisz wiadomości o rodzajach energii w ruchu drgającym;
przeanalizujesz, jak zmienia się energia wraz z ruchem wahadła;
zbadasz, od czego zależy energia w ruchu wahadła.

Czym jest ruch drgający? Jest to ruch wokół położenia równowagi, w którym wartości wielkości fizycznych opisujących go, zmieniają się cyklicznie. Jest to jeden z najpowszechniej występujących rodzajów ruchu w przyrodzie.

Przykład 1

Przykłady ciał wykonujących ruch drgający:

RIrEiESi3Incy

Ilustracja cząsteczki. Sześć kulek jest ułożonych w wierzchołkach sześciokąta, połączone są wiązaniami pojedynczymi, z wyjątkiem jednej pary. Licząc od górnego wierzchołka, zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pierwsza kulka jest szara, odchodzi od niej pionowo w górę podwójne wiązanie do trochę mniejszej, czerwonej kulki. Druga kulka jest niebieska. Odchodzi od niej pod kątem około czterdziestu pięciu stopni od poziomu pojedyncze wiązanie do malutkiej białej kulki. Trzecia kulka jest szara, odchodzi od niej podwójne wiązanie pod kątem około trzystu dwudziestu stopni do trochę mniejszej, czerwonej kulki. Czwarta kulka jest niebieska. Odchodzi od niej pionowo w dół pojedyncze wiązanie do malutkiej białej kulki. Piąta kulka jest szara, odchodzi od niej pojedyncze wiązanie pod kątem około dwustu dwudziestu pięciu stopni do mniejszej, białej kulki. Szósta kulka jest szara, połączona jest z piątą podwójnym wiązaniem. Odchodzi od niej pod kątem około stu trzydziestu pięciu stopni pojedyncze wiązanie do takiej samej kulki, od której odchodzą dwa wiązania do mniejszych, białych kulek. Te trzy ostatnie wiązania znajdują się pod mniej więcej takimi samymi kątami od siebie. — Atomy w cząsteczkach
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RGj5NF0KDZ5BB

Zdjęcie dziewczyny na huśtawce w ruchu. Siedzenie huśtawki jest materiałowe, zawieszone na łańcuchach. Dziewczyna jest uśmiechnięta, ma na nosie duże okulary. W jej ciemnych włosach są blond pasemka. Na niebieski podkoszulek założoną ma białą, rozsuniętą bluzkę. Ubrana jest też w niebieskie jeansy i białe buty. W tle piasek, za nim zielone wzniesienie i dalej las. — Osoba na huśtawce
Źródło: dostępny w internecie: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

RvoyZ9XMvPLNR

Zdjęcie zegara z wahadłem. Obudowa zegara z drewna, kunsztownie wykonana. Szczyt zwieńczony jest koniem stojącym na tylnych nogach. Na tarczy zegara cyfry rzymskie. Wskazówki wskazują godzinę jedenastą dziesięć. Poniżej tarczy wahadło z napędem sprężynowym. Soczewka, a więc okrągły ciężarek, zawieszona jest na pręcie z układem kompensującym niepożądany wpływ warunków zewnętrznych. Układ kompensujący to kilka prętów równoległych do głównego pręta, połączonych u szczytu i u dołu. Za zegarem drewniana powierzchnia. — Wahadło zegara
Źródło: dostępny w internecie: Pxhere.com, domena publiczna.

RdwlnTl9iqQos

Zdjęcie sprężyny na białym tle. Sprężyna jest wykonana z grubego pręta. — Sprężyna po rozciągnięciu lub ściśnięciu
Źródło: dostępny w internecie: Wikipedia.org, licencja: CC BY-SA 3.0.

Aby wprawić ciało w ruch drgający, należy wytrącić je z położenia równowagi.

Przykład 2

Kulkę zawieszono na nitce. Jeśli pozostawimy ją w stanie, w którym wszystkie siły na nią działające będą się równoważyć, powiemy, że jest ona w stanie równowagi. Na rysunku położenie równowagi zaznaczone jest cyfrą $II$ .

R1NYgMZREDJ0o

Ilustracja. Od powierzchni płaskiej odchodzą w dół trzy linie, symbolizujące nici. Na ich końcach są niebieskie kulki oznaczone cyframi rzymskimi. Kulka nici wiszącej pionowo oznaczona jest rzymską cyfrą dwa. Kulka na nici odchylonej od niej w lewo o około trzydzieści stopni - cyfrą rzymską jeden. Kulka na nici odchylonej od niej w prawo o około trzydzieści stopni - cyfrą rzymską trzy. — Wahadło z kulką na nitce - maksymalne wychylenia oraz położenie równowagi zaznaczono liczbami rzymskimi
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Jeśli pod działaniem siły $F$ przesuniemy kulkę z położenia $II$ do $I$ lub $III$ ,

R1d6k4Ceqhd3S

Ilustracja identyczna z poprzednią, z tym że od kulki z cyfrą rzymską dwa odchodzi poziomo wektor siły skierowanej w lewo. — Wahadło z kulką na nitce - na kulkę mijającą położenie równowagi działa pewna siła
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

to mówimy, że wykonaliśmy nad nią pracę. Jeśli wykonaliśmy pracę, oznacza to, że ciało to zyskało pewną energię. Z definicji wiemy, że energia jest wielkością, która opisuje zdolność ciała do wykonywania pracy.

Wyróżniamy kilka rodzajów energii. Tutaj zajmiemy się energią mechaniczną.

Energia mechaniczna jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej. Zgodnie z zasadą zachowania energiizasada zachowania energii mechanicznejzasadą zachowania energii, w układzie izolowanym całkowita jej wartość nie ulega zmianie, a więc jedyne, co może się zmienić, to wartości składowych.

Jak energia zmienia się w ruchu drgającym?

R1C97sZz0Zd73

Taka sama sytuacja ma miejsce w przypadku ciała zawieszonego na sprężynie. Przyjrzyj się schematowi poniżej.

Rby5B7ayYHvT01

Na ilustracji widoczna jest sekwencja położeń ciężarka zawieszonego na sprężynie, podczas drgania. Położenie początkowe zaznaczone zostało zieloną, przerywaną, poziomą linią. Równolegle, w takiej samej odległości pod oraz nad tą linią znajdują się po jednej pomarańczowej, przerywanej linii - jest to zaznaczona amplituda drgań, a więc miejsca maksymalnych wychyleń ciężarka. W pierwszym położeniu, położeniu równowagi, energia potencjalna układu jest zerowa, a energia kinetyczna maksymalna. Następnie ciężarek przemieszcza się do góry: energia potencjalna rośnie, energia kinetyczna maleje. W drugim położeniu, maksymalnego wychylenia do góry, energia potencjalna układu jest maksymalna, energia kinetyczna zerowa. Następnie ciężarek przemieszcza się w dół: energia potencjalna maleje, energia kinetyczna rośnie. Trzecie położenie to położenie równowagi, a więc znów energia potencjalna układu jest zerowa, a energia kinetyczna maksymalna. Ciężarek dalej przemieszcza się w dół: energia potencjalna rośnie, energia kinetyczna maleje. W czwartym położeniu, maksymalnego wychylenia w dół, energia potencjalna jest maksymalna, energia kinetyczna jest zerowa. Następnie ciężarek przemieszcza się do góry: energia potencjalna maleje, energia kinetyczna rośnie, aż do ponownego osiągnięcia położenia równowagowego. Cała sekwencja to jedno, pełne wahnięcie wahadła. Pod rysunkami znajduje się pozioma strzałka z grotami z obu stron, pociągnięta od pierwszej sekwencji, do ostatniej, i podpisana: czas jednego pełnego wahnięcia. — Ciężarek zawieszony na drgającej sprężynie
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Rozciągając sprężynę, wychylamy ciało z położenia równowagi. Aby tego dokonać, wykonujemy nad tym ciałem pracę – działając określoną siłą przesuwamy ciało. Przy maksymalnym wychyleniu z położenia równowagi układ ma największą energię potencjalną, natomiast energia kinetyczna przyjmuje wartość zero. Gdy puścimy ciało, zacznie ono zwiększać swoją prędkość, poruszając się w stronę położenia równowagi. Tam osiągnie maksymalną energię kinetyczną.

Zapamiętaj!

W opisanym tutaj przykładzie, ciał zawieszonych na sprężynie, nie opisaliśmy siły ciężkości, działającej na zawieszone ciało.

Jeśli chcemy obliczyć energię ciał w ruchu drgającym, to pamiętajmy, że:

E_{m} = E_{k} + E_{p}

a zgodnie z zasadą zachowania energii:

Δ E_{m} = 0

$E_{p} = m g h$ – energia potencjalna grawitacji;
$E_{ps} = \frac{1}{2} k x^{2}$ – energia potencjalna sprężystości;
$E_{k} = \frac{m v^{2}}{2}$ – energia kinetyczna;
$m$ – masa;
$g$ – przyspieszenie ziemskie;
$h$ – wysokość;
$k$ – współczynnik sprężystości sprężyny;
$x$ – wychylenie z położenia równowagi;
$v$ – prędkość.

Energię podajemy w $J$ (dżulach).

Przykład 3

Jeśli energia potencjalna wynosi $10 J$ , a energia kinetyczna $20 J$ , to wówczas energia całkowita równa jest $30 J$ . Jak pisaliśmy wcześniej, energia mechaniczna nie ulega zmianie, a zatem ma stałą wartość $30 J$ . Zmianie może ulec wartość energii kinetycznej i potencjalnej, a więc:

$E_{p} = 20 J$ , a $E_{k} = 10 J$ , wówczas nadal $E_{m} = 30 J$ lub

$E_{p} = 15 J$ , a $E_{k} = 15 J$ wówczas nadal $E_{m} = 30 J$ itd.

Konfiguracji jest wiele. Przekonajmy się o tym na podstawie symulacji.

Przemiany energii podczas drgań

Wykonaj poniższe symulacje i odpowiedz na pytania. Szczegółowe informacje odnośnie poszczególnych multimediów znajdziesz pod przyciskiem „i”.

Zmierzenie czasu jednego wychylenia jest trudne, więc prościej (i dokładniej) będzie zmierzyć czas np. dziesięciu wychyleń i podzielić go przez ich liczbę, aby uzyskać okres wahadła.

RIHisUq0mWylC

Symulacja: Wahadło z ciężarkiem na sznurku
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Symulacja interaktywna. W tej symulacji masz możliwość obserwacji jak zmienia się ruch i energia ciężarka zawieszonego na nici, wraz ze zmianą masy ciężarka, długości nici oraz amplitudy wahań. Wybierz masę ciężarka, długość nici oraz amplitudę wahań i obserwuj, co dzieje się z energią wahadła. zmierz czas jednego wahnięcia dla takiego samego wychylenia, przy różnych długościach nici oraz masach.

Na stole stoi statyw z zawieszonym sznurkiem, na którego końcu można zamocować ciężarek. Za statywem jest kątomierz mierzący odchylenie sznurka od położenia równowagi. Po prawej stronie wyświetlają się słupki wartości energii kinetycznej, potencjalnej i całkowitej. Z lewej strony widoczny jest stoper, który można uruchamiać oraz zatrzymywać przyciskiem START/STOP. Dostępne jest do wyboru pięć długości sznurka: 10, 20, 30, 40 i 50 centymetrów, oraz cztery ciężarki o różnych masach: 1, 2, 5 i 10 gramów. Długości sznurka i ciężarki można łączyć dowolnie. Po zawieszeniu ciężarka na sznurku można go wychylić o dowolny kąt (amplitudę wahań) w zakresie od zera do stu osiemdziesięciu stopni, gdzie dziewięćdziesiąt stopni to położenie równowagi.

W zależności od długości sznurka, masy ciężarka oraz stopnia wychylenia można zaobserwować na wykresie słupkowym zmiany energii kinetycznej, potencjalnej oraz całkowitej, a także zmierzyć okres wahań wahadła z użyciem stopera.

Z obserwacji różnych kombinacji długości sznurka, kąta wychylenia wahadła oraz masy ciężarka można zauważyć, że:

okres wahań wahadła zależy tylko od długości sznurka, nie jest zależny od masy ciężarka,
energia całkowita wahadła, a co za tym idzie maksymalne energie kinetyczna i potencjalna, zależą od masy ciężarka oraz długości sznurka i kąta wychylenia wahadła - czyli wysokości na jaką uniesiony zostaje ciężarek z położenia równowagi,
wahadło posiada maksymalną energię potencjalną, równą energii całkowitej (co oznacza, że energia kinetyczna jest równa zeru) w pozycji maksymalnego wychylenia,
wahadło posiada maksymalną energię kinetyczną, równą energii całkowitej (co oznacza, że energia potencjalna jest równa zeru) w momencie mijania położenia równowagi.

Polecenie 1

R1Xt48hix6Znt

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Polecenie 2

RSXJ2u8neY1by1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Polecenie 3

RKfkb2kH0H9jf

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Zmierzenie czasu jednego wychylenia jest trudne, więc prościej (i dokładniej) będzie zmierzyć czas np. dziesięciu wychyleń i podzielić go przez ich liczbę, aby uzyskać okres wahadła.

R4LZ5Ks98SYR6

Symulacja: Wahadło z ciężarkiem z na sprężynie
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Symulacja interaktywna. W tej symulacji masz możliwość obserwacji jak zmienia się ruch i energia ciężarka zawieszonego na sprężynie, wraz ze zmianą masy ciężarka, współczynnyka sprężystości sprężyny oraz amplitudy wahań. Wybierz masę ciężarka, współczynnik sprężystości sprężyny oraz amplitudę wahań i obserwuj, co dzieje się z energią wahadła. Zmierz czas jednego wahnięcia dla takiego samego wychylenia, przy różnych współczynnikach sprężystości oraz masach.

Na stole stoi statyw z zawieszoną sprężyną, na której końcu można zamocować ciężarek. Za statywem jest linijka mierząca wychylenie sprężyny w pionie od położenia równowagi. Po prawej stronie wyświetlają się słupki wartości energii kinetycznej, potencjalnej, potencjalnej sprężystości i całkowitej. Z lewej strony widoczny jest stoper, który można uruchamiać oraz zatrzymywać przyciskiem START/STOP. Dostępne są do wyboru wartości współczynnika sprężystości sprężyny: 0,5, 1 i 2 niutony na metr, oraz cztery ciężarki o różnych masach: 1, 2, 5 i 10 gramów. Współczynniki sprężystości sprężyny i ciężarki można łączyć dowolnie. Po zawieszeniu ciężarka na sprężynie można ją rozciągnąć na dowolną odległość w dół od położenia równowagi równego zero do siedemdziesięciu centymetrów. Po puszczeniu sprężyny kurczy się ona i rozciąga, wychylając ciężarek o tyle samo w górę i w dół od położenia równowagi.

W zależności od współczynnika sprężystości sprężyny, masy ciężarka oraz odległości na jaką sprężyna jest rozciągana można zaobserwować na wykresie słupkowym zmiany energii kinetycznej, potencjalnej, potencjalnej sprężystości oraz całkowitej, a także zmierzyć okres wahań wahadła z użyciem stopera.

Z obserwacji różnych kombinacji współczynnika sprężystości sprężyny, długości jej rozciągnięcia oraz masy ciężarka można zauważyć, że:

okres wahań wahadła zależy od masy ciężarka i współczynnika sprężystości sprężyny, ale nie zależy od odległości, na jaką sprężyna została rozciągnięta,
energia całkowita wahadła zależy od masy ciężarka, współczynnika sprężystości sprężyny oraz amplitudy, czyli rozciągnięcia sprężyny od położenia równowagi,
w stanie spoczynku wahadło z ciężarkiem posiada energię potencjalną grawitacji oraz energię sprężystości sprężyny, które są w sumie równe energii całkowitej,
energia kinetyczna wahadła jest największa w chwili, gdy wahadło przekracza położenie równowagi, ale nie jest ona równa energii całkowitej,
energia potencjalna grawitacji jest maksymalna w najwyższym punkcie wahania, przy maksymalnym ściśnięciu sprężyny,
energia potencjalna sprężystości osiąga swoje maksimum w najniższym punkcie wahania, przy maksymalnym rozciągnięciu sprężyny.

Polecenie 4

RlO3ULXIiC98Z

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Polecenie 5

RTTpWtzvc36Mg

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Polecenie 6

RsbGwtuyhZy2t

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Laboratorium 1: Od czego zależy energia ciężarka zawieszonego na nitce?

W tym laboratorium spróbujesz określić od jakich wielkości zależy energia ciężarka zawieszonego na nitce. W jednym eksperymencie porównasz różne ciężarki na sznurkach o różnych długościach, a w drugim sprawdzisz różne ciężarki na sznurkach o tej samej długości.

Zmierzenie czasu jednego wychylenia jest trudne, więc prościej (i dokładniej) będzie zmierzyć czas np. dziesięciu wychyleń i podzielić go przez ich liczbę, aby uzyskać okres wahadła.

RO6e5TXyYb9fj

Laboratorium: Od czego zależy energia ciężarka zawieszonego na nitce?
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Interaktywne laboratorium numer jeden.

W laboratorium dostępne są dwa eksperymenty.

Eksperyment pierwszy.

Od czego zależy energia ciężarka zawieszonego na nitce? Na każdej z nici, które mają różne długości, możesz zawiesić wybrany ciężarek, wychylić z położenia równowagi i zmierzyć czas wahań. Obserwuj, jak zmienia się energia każdego z wahadeł. Zaplanuj i przeprowadź eksperymenty. Zapoznaj się z problemem badawczym i zweryfikuj własną hipotezę. W formularzu zanotuj swoje obserwacje i wyniki, a następnie zapisz wnioski.

Przed nami dwa wahadła o różnych długościach sznurka, jeden krótszy, a drugi dłuższy. Na sznurkach można zawiesić ciężarki o masach 100, 200 lub 300 gramów. Pomiędzy wahadłami znajduje się stoper, którym można zmierzyć czas wahań. Pod wahadłami widać poziome słupki energii kinetycznych, potencjalnych i całkowitych dla obydwu wahadeł.

Eksperyment drugi.

Od czego zależy energia ciężarka zawieszonego na nitce? Na każdej z nici, które mają takie same długości, zawieszono różne ciężarki. Możesz zmienić długość wszystkich nici, wychylić wahadła z położenia równowagi i zmierzyć czas wahań. Obserwuj, jak zmienia się energia każdego z wahadeł. Zaplanuj i przeprowadź eksperymenty. Zapoznaj się z problemem badawczym i zweryfikuj własną hipotezę. W formularzu zanotuj swoje obserwacje i wyniki, a następnie zapisz wnioski.

Przed nami trzy wahadła o takich samych długościach sznurka, którą można zmieniać między 20 a 40 centymetrów. Na sznurkach można zawieszone są ciężarki o masach 100, 200 oraz 300 gramów. Ponad wahadłami znajduje się stoper, którym można zmierzyć czas wahań. Obok wahadeł widać pionowe słupki energii kinetycznych, potencjalnych i całkowitych dla wszystkich trzech wahadeł. Odchylając jedno z wahadeł, odchylamy wszystkie trzy pod tym samym kątem.

Laboratorium 1

R4EdI6RvngqnN

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Polecenie 7

R119QGwsGUt2o

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Laboratorium 2: Od czego zależy energia w wahadle sprężynowym?

W tym laboratorium spróbujesz określić od jakich wielkości zależy energia ciężarka zawieszonego na sprężynie. W tym eksperymencie porównasz takie same ciężarki na sprężynach o różnych współczynnikach sprężystości.

Zmierzenie czasu jednego wychylenia jest trudne, więc prościej (i dokładniej) będzie zmierzyć czas np. dziesięciu wychyleń i podzielić go przez ich liczbę, aby uzyskać okres wahadła.

RvlBdUhdrAqzX

Laboratorium: Od czego zależy energia w wahadle sprężynowym?
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Interaktywne laboratorium numer dwa.

W laboratorium dostępny jest jeden eksperyment.

Od czego zależy energia w wahadle sprężynowym? Do każdej ze sprężyn podczepiony jest ciężarek, oba o tej samej masie. Możesz zmieniać współczynnik sprężystości sprężyn, wychylić wahadła z położenia równowagi i zmierzyć czas wahań. Obserwuj, jak zmienia się energia każdego z wahadeł. Zaplanuj i przeprowadź eksperymenty. Zapoznaj się z problemem badawczym i zweryfikuj własną hipotezę. W formularzu zanotuj swoje obserwacje i wyniki, a następnie zapisz wnioski.

Przed nami dwie poziome sprężyny z zamocowanymi do nich ciężarkami o masie 200 gramów. Współczynniki sprężystości sprężyn można zmieniać osobno, wybierając spośród trzech: 0,5, 1 i 2 niutony na metr. Sprężyny można wychylić wspólnie z położenia równowagi. Można wtedy zaobserwować że jedna z nich porusza się szybciej od drugiej. Zawsze szybciej wahania będą wykonywane przez sprężynę o większym współczynniku sprężystości.

Laboratorium 2

RXx1hfmMTsyPf

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Polecenie 8

Rk2A5IDydSjDS

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przykład 4

Obliczmy, jaką energię posiada tabliczka czekolady zwieszona na sprężynie o współczynniku sprężystości $0, 5 \frac{N}{kg}$ , wychylona o $20 cm$ z położenia równowagi.

Dane:

$m = 100 g = 0, 1 kg$

$k = 0, 5 \frac{N}{kg}$

$x = 20 cm = 0, 02 m$

Szukane:

$E_{ps} = ?$

$E_{p} = ?$

Wzór:

$E_{ps} = \frac{1}{2} k x^{2}$

$E_{ps} = \frac{1}{2} \cdot 0, 5 \frac{N}{kg} \cdot {(0, 02 m)}^{2} = 0, 0001 J$

$E_{p} = m g h = 0, 1 kg \cdot 0, 02 m \cdot 10 \frac{m}{s^{2}} = 0, 02 J$

$E_{c} = E_{ps} + E_{p} = 0, 0201 J$

Odpowiedź

Całkowita energia potencjalna tabliczki w opisanej sytuacji wynosi $0, 0201 J$ .

Przykład 5

Zastanówmy się teraz, jaką prędkość osiągnie ta tabliczka czekolady, przechodząc przez położenie równowagi.

Dane:

$m = 100 g = 0, 1 kg$ – nie mamy w treści zadania podanej masy, jednak standardowa tabliczka ma masę $100 g$ i taką też tutaj będziemy wykorzystywać.

$E_{c} = 0, 0201 J$

Szukane:

$v = ?$

Wzór:

$E_{k} = \frac{m v^{2}}{2}$

Po przekształceniu wzoru otrzymujemy:

$v = \sqrt{\frac{2 E_{k}}{m}}$

Zauważmy, że energia kinetyczna w położeniu równowagi jest równa energii potencjalnej w maksymalnym wychyleniu, a więc i energii całkowitej. Możemy więc zapisać:

$E_{k} = E_{c} = 0, 0201 J$

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 0, 0201 J}{0, 1 kg}} \approx 0, 063 \frac{m}{s}$

Jak widzisz, zrozumienie przemian energii w ruchu drgającym jest bardzo ważnym zagadnieniem. Widząc, jak zmienia się wartość tej energii jesteś w stanie obliczyć kilka wielkości fizycznych.

Sprawdź się

Ćwiczenie 1

R1gCHNXVeIzqr

Źródło: dostępny w internecie: Pexels.com/Unsplash.com/Wikipedia.org, licencja: CC BY 3.0.

RyzfUTEBWc3TF

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Ćwiczenie 2

R10jv4RuQHwrs

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1YctPLHfP40b

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1Hmddn2h4k6k

Ćwiczenie 3

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Ćwiczenie 4

Na podstawie poniższego wykresu, wybierz prawidłowe dokończenie zdania.

RG5KzDs90pX06

Ilustracja przedstawia wykres. Na wykresie przedstawiono zależność wychylenia wahadła od czasu. Na pionowej osi są liczby od dołu idąc w górę: minus cztery, minus trzy, minus dwa, minus jeden, zero, jeden, dwa, trzy. Na samej górze jest napis iks nawias kwadratowy centymetr. Na środku jest pozioma linia osi z liczbami: dwa, cztery, sześć, osiem, dziesięć, dwanaście, na końcu napis t nawias kwadratowy es. Na osiach znajduje się parabola, która ma wierzchołki w zakresie od trzy do minus trzy na osi iks. Swoje maksimum osiąga za każdym razem w punkcie trzy, a minimum w punkcie minus trzy. Parabola zaczyna się od punktu zero na osi iks, wzniesienie dosięga punktu trzy na osi iks i tam ma zaznaczony niebieską kropką punkt jako rzymskie jeden, później idzie w dół, przecina się z osią te, w punkcie dwa na osi te zaznaczony ma punkt jako rzymskie dwa. Następnie parabola idzie w górę, przecina się w punkcie 4 na osi te, następnie zjeżdża w dół przecinając się w punkcie 6 na osi t, następnie idzie w górę i przecina się w punkcie 8 na osi t, zjeżdża w dół i przecina się w puncie 10 na osi t, minimalne wzgórze paraboli znajduje się w puncie minus trzy i tam ma zaznaczony punkt niebieską kropką z dopiskiem rzymskie trzy następnie idzie w górę kończąc w punkcie 12 na osi te. — Ćwiczenie 4. Wykres
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RFA5QdttVd2vF

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Ćwiczenie 5

Oblicz, na jaką wysokość wzniesie się Asia huśtająca się na huśtawce, jeśli jej masa wynosi $35 kg$ , a energia kinetyczna w położeniu równowagi wynosi $700 J$ .

R1QWWXXwQp8Hy

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Dane:

$m = 35 kg$

$g = 10 \frac{m}{s^{2}}$

$E_{k} = 700 J$

Szukane:

$h = ?$

Wzór:

$E_{p} = m g h$

Na maksymalnej wysokości zachodzi warunek $E_{p} = E_{k}$ , tak więc mamy:

$h = \frac{E_{p}}{m g} = \frac{700 J}{35 kg \cdot 10 \frac{m}{s^{2}}}$

$h = 2 m$

Asia wzniesie się na wysokość $2 m$ .

R1X1ZRTNhm7jC

Ćwiczenie 6

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1MDCVpcZMVGk

Ćwiczenie 7

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Ćwiczenie 8

Dwa wahadła, różniące się długością nici, wychylono o taki sam kąt i puszczono. Które wahadło, i dlaczego, ma większą energię? Odpowiedź zapisz w polu pod ilustracją.

R1dKQTC1wmMBA

Na ilustracji widoczne dwa wahadła. Są one odchylone o taki sam kąt alfa i mają zawieszone takie same kulki, jednak nić wahadła oznaczonego rzymską cyfrą jeden jest około połowę krótsza od nici wahadła oznaczonego rzymską cyfrą dwa. — Ćwiczenie 8. Dwa wahadła
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1UQhEZJWbGz2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Większą energię ma wahadło na rysunku oznaczonym cyfrą $II$ . Ponieważ oba mają taką samą amplitudę, ale długość drugiego jest większa, widzimy, że będzie ono „spadało” dłużej – ma więc większą energię potencjalną.

Słownik

zasada zachowania energii mechanicznej

zasada, zgodnie z którą w układzie, na który nie działają żadne siły, całkowita energia mechaniczna pozostaje stała; w takim układzie jeden rodzaj energii może być zamieniany na inny.

Bibliografia

Sagnowska B., Szot‑Gawlik D., Godlewska M., Rozenbajgier M., Rozenbajgier R., 2017, Świat fizyki, Warszawa, WSiP.

bg‑gray2

Notatki

RT6EgVzQ7GKYG

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.