Przemiany energii podczas drgań wahadła matematycznego i ciężarka na sprężynie

RNYPPvTQxmCxX

Fotografia przedstawia dziewczynkę na huśtawce. Włosy dziewczynki rozwiane, w tle pokryte chmurami niebo.

Zacznijmy od ponownej obserwacji wahadła matematycznego. Jeśli zawiesimy kulkę na nici i zostawimy ją w spokoju (czyli w stanie równowagi), to sama nie zacznie się wahać. Potrzebna jest ingerencja z zewnątrz – ktoś musi ją popchnąć, pociągnąć lub choćby dmuchnąć na nią. Innymi słowy należy wykonać pracę, aby wychylić ją z położenia równowagi. Wykonanie tej pracy oznacza, że kulce dostarczono energii równej wykonanej pracy. Gdy kulka jest w ruchu, to posiada energię kinetyczną. Energia ta zależy od prędkości. W ruchu wahadła prędkość się zmienia, zatem energia kinetyczna też się zmienia – rośnie i maleje na przemian. Czy kulka wahadła ma tylko energię kinetyczną?

Popatrzmy uważnie:

R1OdRaQsnkRRX

Animacja, na której przedstawiono w jaki sposób zmienia się energia wahadła matematycznego.

Animacja, na której przedstawiono w jaki sposób zmienia się energia wahadła matematycznego.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1OdRaQsnkRRX

Animacja, na której przedstawiono w jaki sposób zmienia się energia wahadła matematycznego.

Wychylając kulkę z położenia równowagi do położenia $A_1$, wykonujemy pracę. Praca ta zostaje zmagazynowana w postaci energii potencjalnej grawitacji, ponieważ wzrosła wysokość, na jakiej znajduje się kulka. Wartość tej energii jest równa pracy wykonanej przez siły zewnętrzne. Gdy kulkę puścimy, rozpocznie ona ruch w kierunku położenia równowagi. W momencie startu prędkość kulki ma wartość zero, zatem jej energia kinetyczna też ma wartość zero. Gdy kulka zbliża się do położenia równowagi $O$, rośnie prędkość kulki, rośnie też jej energia kinetyczna, a jednocześnie maleje energia potencjalna – ponieważ maleje wysokość, na jakiej kulka się w danej chwili znajduje. Przy przejściu przez położenie równowagi energia kinetyczna jest największa, a potencjalna osiąga minimalną wartość – przyjmijmy, że na tym poziomie równą zero. Podczas ruchu od punktu $O$ do punktu $A_2$ zmniejsza się energia kinetyczna, a rośnie potencjalna. W punkcie zmiany zwrotu prędkości energia potencjalna osiąga największą wartość, kinetyczna zaś maleje do zera. Przez cały ten czas, jeżeli pominiemy oporu ruchu, suma energii kinetycznej i potencjalnej pozostaje stała i równa pracy, którą włożono, wprawiając wahadło w ruch.

Rozpatrzmy teraz sytuację z ciężarkiem zawieszonym na sprężynie.

R3lICVKZh3Flr

Na ilustracji przedstawiono cztery fazy drgania ciężarka na sprężynie zawieszonej pod płaską powierzchnią poziomą. Na początku sprężyna jest rozciągnięta jedynie pod wpływem masy ciężarka, a położenie środka ciężarka pokrywa się z punktem równowagi, na wysokości zero. W drugiej fazie ciężarek wychylony jest maksymalnie poniżej środka równowagi, jego prędkość wynosi zero, sprężyna jest rozciągnięta, energia potencjalna układu maksymalna a kinetyczna równa zeru. W trzeciej fazie ciężarek znajduje się znowu w punkcie równowagi, jego prędkość jest niezerowa, energia potencjalna równa zeru a energia kinetyczna maksymalna. W czwartej fazie ciężarek wychylony jest maksymalnie powyżej środka równowagi, jego prędkość wynosi zero, sprężyna jest ściśnięta, energia potencjalna układu maksymalna a kinetyczna równa zeru.

Podczas rozciągania sprężyny wykonujemy pracę przeciwko sile sprężystości. Praca ta zostaje zmagazynowana w postaci energii potencjalnej sprężystości (zmianie uległa długość sprężyny). Gdy puścimy ciężarek, rozpocznie się jego ruch w stronę położenia równowagi. W chwili startu prędkość ciężarka była równa zero, podobnie jak wartość energii kinetycznej. W miarę zbliżania się ciężarka do położenia równowagi energia kinetyczna rośnie (bo rośnie prędkość ciężarka), a energia potencjalna sprężystości – maleje, ponieważ sprężyna staje się coraz mniej napięta. Przy przejściu przez położenie równowagi energia kinetyczna jest największa, a energia potencjalna osiąga wartość zero – sprężyna jest nienaciągnięta. Podczas ruchu od punktu $0$ do punktu $A_2$ zmniejsza się energia kinetyczna, rośnie zaś potencjalna (ściśnięta sprężyna też ma energię potencjalną sprężystości). W punkcie maksymalnego wychylenia energia potencjalna osiąga największą wartość, a kinetyczna maleje do zera. Przez cały ten czas suma energii kinetycznej i potencjalnej pozostaje stała (jeżeli pominiemy opory ruchu) i równa pracy, którą włożono w początkowe rozciągnięcie sprężyny.

Energia całkowita w ruchu drgającym związana jest z następującymi wielkościami:

• amplituda – większą energię ma ciało drgające z większą amplitudą (więcej pracy trzeba włożyć, aby bardziej odchylić kulkę wahadła czy mocniej naciągnąć sprężynę);

• częstotliwość – ciało drgające z większą częstotliwością ma większą energię;

• masa drgającego ciała – energia kinetyczna rośnie wraz z masą i kwadratem prędkości, natomiast energia potencjalna rośnie wraz z masą oraz wysokością położenia ciała (energia potencjalna grawitacji).

*Podczas obserwacji rzeczywistych ruchów wahadła lub ciężarka na sprężynie widzimy, że amplituda drgań malejeieBOlUUsLt_d308e139amplituda drgań maleje.

Podsumowanie

• Ciało wykonujące ruch drgający posiada dwa rodzaje energii: kinetyczną i potencjalną.

• Dla wahadła matematycznego energia potencjalna to energia potencjalna grawitacyjna, a dla ciężarka na sprężynie jest to energia potencjalna sprężystości.

• Podczas drgania zmienia się zarówno wartość energii kinetycznej, jak i energii potencjalnej.

• Energia kinetyczna:

  • rośnie, gdy ciało drgające zbliża się do położenia równowagi;

  • maleje podczas oddalania się ciała od położenia równowagi;

  • osiąga największą wartość, gdy ciało przechodzi przez położenie równowagi;

  • przyjmuje wartość zero w punktach maksymalnego wychylenia z położenia równowagi.

• Energia potencjalna:

  • maleje, gdy ciało drgające zbliża się do położenia równowagi;

  • rośnie podczas oddalania się ciała od położenia równowagi;

  • osiąga największą wartość w punktach maksymalnego wychylenia z położenia równowagi;

  • przyjmuje wartość zero, gdy ciało przechodzi przez położenie równowagi.

• Suma energii kinetycznej i potencjalnej podczas drgania pozostaje stała i równa jest pracy wykonanej przez siły zewnętrzne podczas wychylenia ciała z położenia równowagi.

Polecenie 1

Wykaż, że dla kulki wiszącej na dłuższej nici zmiana wysokości (przy odchyleniu o taki sam kąt od pionu) będzie większa niż dla kulki wiszącej na krótszej nici.

Możesz wykonać odpowiedni rysunek.

R1b8rQUIh98Ko

Ewentualne notatki możesz zapisać w polu poniżej.

R1UwBjSW7IA3V

(Uzupełnij).

Pokaż odpowiedź

Kulka zielona wisi na krótszej nici, a niebieska na dłuższej. Jak widać na obrazku, po odchyleniu o ten sam kąt, niebieska kulka znajduje się wyżej niż zielona.

R1c3CdpkIWd0o

Na rysunku dwie kulki zawieszone na nitkach. Punkt równowagi dla obu znajduje się na tej samej wysokości, jednak nitka pierwszej kulki jest krótsza niż kulki drugiej. Kulki odchylone są od punktu równowagi w prawo o ten sam kąt. Widać, że kulka pierwsza znajduje się niżej, niż kulka druga.

Zadania podsumowujące lekcję

1

Ćwiczenie 1

R5EhdSrT9BV4y

Rysunek przedstawiający ciężarek na sprężynie przymocowanej do stałego bloku. Ciężarek wykonuje poziomy ruch z pierwszego punktu do drugiego przez położenie równowagi.

RvZenLSFK0IGR

Ciężarek na sprężynie porusza się z punktu $\mathrm{I}$ do punktu $\mathrm{II}$ poprzez punkt $\mathrm{O}$. Jak zmienia się wartość energii potencjalnej ciężarka podczas tego ruchu? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Podczas ruchu z $\mathrm{I}$ do $\mathrm{O}$ energia potencjalna maleje, a przy ruchu z $\mathrm{O}$ do $\mathrm{II}$ - rośnie., 2. Energia potencjalna ciężarka cały czas maleje., 3. Podczas ruchu z $\mathrm{I}$ do $\mathrm{O}$ energia potencjalna rośnie, a przy ruchu z $\mathrm{O}$ do $\mathrm{II}$ - maleje., 4. Energia potencjalna ciężarka cały czas rośnie., 5. Energia potencjalna ciężarka nie zmienia się, ponieważ nie zmienia się jego wysokość.

I do punktu II poprzez punkt O. Jak zmienia się wartość energii potencjalnej ciężarka podczas tego ruchu?">

Ciężarek na sprężynie porusza się z punktu I do punktu II poprzez punkt O. Jak zmienia się wartość energii potencjalnej ciężarka podczas tego ruchu?

• Podczas ruchu z I do O energia potencjalna maleje, a przy ruchu z O do II - rośnie.
• Energia potencjalna ciężarka cały czas maleje.
• Podczas ruchu z I do O energia potencjalna rośnie, a przy ruchu z O do II - maleje.
• Energia potencjalna ciężarka cały czas rośnie.
• Energia potencjalna ciężarka nie zmienia się, ponieważ nie zmienia się jego wysokość.

3

Ćwiczenie 3

Spójrz na obrazek poniżej. Zwróć uwagę na kąt wychylenia kulek oraz długości nici i zastanów się jakie będą zależności między energiami kulek. Następnie zaznacz poprawne odpowiedzi.

R1Z1JFyoIe1oB

Rysunek przedstawiający 2 kulki zawieszone na niciach. Kulki są wychylone o taki sam kąt, jednak pierwsza kulka jest na krótszej nici niż kulka druga.

R171ZeN6Cuenc

Dwie kulki o takiej samej masie zawieszono na niciach o różnej długości, odchylono od pionu o taki sam kąt i puszczono swobodnie (patrz rysunek powyżej). Która z kulek ma większą energię drgań i dlaczego? Zaznacz poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. Większą energię ma kulka $K_2$, ponieważ drga z większą amplitudą., 2. Większą energię ma kulka $K_2$, ponieważ przy wychyleniu o ten sam kąt jej wysokość wzrosła bardziej., 3. Energie obu kulek są takie same, ponieważ kulki mają taką samą masę., 4. Obie kulki mają taką samą energię, ponieważ odchylono je o taki sam kąt., 5. Większą energię ma kulka $K_2$, ponieważ ma większą częstotliwość drgań.

Dwie kulki o takiej samej masie zawieszono na niciach o różnej długości, odchylono od pionu o taki sam kąt i puszczono swobodnie (patrz rysunek powyżej). Która z kulek ma większą energię drgań i dlaczego?

• Większą energię ma kulka $K_2\text{,}$ ponieważ drga z większą amplitudą.
• Większą energię ma kulka $K_2\text{,}$ ponieważ przy wychyleniu o ten sam kąt jej wysokość wzrosła bardziej.
• Energie obu kulek są takie same, ponieważ kulki mają taką samą masę.
• Obie kulki mają taką samą energię, ponieważ odchylono je o taki sam kąt.
• Większą energię ma kulka $K_2\text{,}$ ponieważ ma większą częstotliwość drgań.