Przesunięcia wykresu funkcji f(x)=a/x wzdłuż osi układu współrzędnych

Wiadomo, że wykres funkcji można przesuwać wzdłuż osi układu współrzędnych. W tej lekcji będziemy dokonywać tego przekształcenia na wykresie funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ , czyli hiperboli.

Przykład 1

Narysujmy wykres funkcji $f (x) = \frac{3}{x} + 2$ .

Zauważmy, że do narysowania wykresu funkcji $f$ możemy wykorzystać hiperbolę $g (x) = \frac{3}{x}$ . Jeśli przesuniemy ją o $2$ jednostki w górę wzdłuż osi $Y$ , to otrzymamy wykres funkcji $f (x) = \frac{3}{x} + 2$ .

R2VRqjyg2Hhsr1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na podstawie wykresu omówmy własności funkcji $f (x) = \frac{3}{x} + 2$ .

Funkcja $f$ jest określona dla wszystkich $x \neq 0$ (wykres funkcji nie przecina osi $Y$ ).
Zbiorem wartości jest przedział $(- \infty, 2) \cup (2, + \infty)$ .
Miejscem zerowym funkcji jest $x_{0} = - \frac{3}{2}$ .
Funkcja $f$ jest malejąca w każdym z przedziałów $(- \infty, 0)$ oraz $(0, + \infty)$ .
Funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów ze zbioru $(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (0, + \infty)$ oraz wartości ujemne dla argumentów z przedziału $(- \frac{3}{2}, 0)$ .

Przykład 2

Narysujmy wykres funkcji $f (x) = \frac{3}{x - 4}$ .

Podobnie jak poprzednio do narysowania wykresu funkcji $f$ wykorzystamy hiperbolę $g (x) = \frac{3}{x}$ . Jeśli przesuniemy ją o $4$ jednostki w prawo wzdłuż osi $X$ , to otrzymamy wykres funkcji $f (x) = \frac{3}{x - 4}$ .

RjSGoZTR9TuW91

Na podstawie wykresu omówmy własności funkcji $f (x) = \frac{3}{x - 4}$ .

Funkcja $f$ jest określona dla argumentów z przedziału $(- \infty, 4) \cup (4, + \infty)$ .
Zbiorem wartości jest przedział $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ .
Funkcja nie ma miejsca zerowego.
Funkcja $f$ jest malejąca w każdym z przedziałów $(- \infty, 4)$ oraz $(4, + \infty)$ .
Funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału $(4, + \infty)$ oraz wartości ujemne dla argumentów z przedziału $(- \infty, 4)$ .

Przykład 3

Narysujmy wykres funkcji $f (x) = - \frac{3}{x - 5} - 3$ .

Do narysowania tego wykresu wykorzystamy wykres funkcji $g (x) = - \frac{3}{x}$ i jego przesunięcie o $5$ jednostek w prawo wzdłuż osi $X$ i o $3$ jednostki w dół wzdłuż
osi $Y$ .

R1e4dzkYIIRrS

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z zaznaczonymi dwoma wykresami funkcji. Pierwszy wykres to wykres funkcji g od x równa się początek ułamka minus trzy, mianownik x koniec ułamka. Jest to hiperbola, znajdująca się w drugiej i czwartej ćwiartce układu, która posiada asymptotę pionową o równaniu x jest równe zero oraz asymptotę poziomą o równaniu igrek równa się zero. Drugi wykres, to wykres funkcji fx=-3x-5-3. Jest to hiperbola o takim samym kształcie, która posiada asymptotę pionową o równaniu x równa się pięć oraz asymptotę poziomą o równaniu igrek równa się minus trzy. Wykres funkcji f jest przesunięty względem wykresu funkcji g o pięć jednostek w prawo i o trzy jednostki w dół. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z wykresu możemy odczytać własności funkcji $f (x) = - \frac{3}{x - 5} - 3$ .

Funkcja $f$ jest określona dla argumentów z przedziału $(- \infty, 5) \cup (5, + \infty)$ .
Zbiorem wartości jest przedział $(- \infty, - 3) \cup (- 3, + \infty)$ .
Miejscem zerowym funkcji jest $x_{0} = 4$ .
Funkcja $f$ jest rosnąca w każdym z przedziałów $(- \infty, 5)$ oraz $(5, + \infty)$ .
Funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału $(4,5)$ oraz wartości ujemne dla argumentów ze zbioru $(- \infty, 4) \cup (5, + \infty)$ .

Polecenie 1

Uruchom aplet i wykonaj polecenia w nim zawarte. Przesuwaj zielony punkt tak, aby otrzymać żądane wykresy funkcji o określonych dziedzinach i zbiorach wartości. Zwróć uwagę, że zarówno dziedzina, jak i zbiór wartości funkcji wyznaczą asymptoty nowej funkcji.

Rpdkg2zIF0BKA1

Uzupełnij odpowiedzi na poniższe pytania, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

R14fs8ew2ZgjG

W jaki sposób należy przesunąć wykres funkcji

f (x) = \frac{1}{x}

, aby otrzymać wykres funkcji

g

, którego dziedziną jest zbiór

(- \infty, 5) \cup (5, \infty)

, a zbiorem wartości jest zbiór

(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)

? Wykres funkcji

f

należy przesunąć wzdłuż osi

X

o 1. dwie jednostki w prawo, 2. dwie jednostki w górę, 3. dwie jednostki w dół, 4. pięć jednostek w prawo, 5. pięć jednostek w górę, 6. pięć jednostek w lewo i wzdłuż osi

Y

o 1. dwie jednostki w prawo, 2. dwie jednostki w górę, 3. dwie jednostki w dół, 4. pięć jednostek w prawo, 5. pięć jednostek w górę, 6. pięć jednostek w lewo.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZHEt5ysKVgjZ

W jaki sposób należy przesunąć wykres funkcji

f (x) = \frac{- 4}{x}

, aby otrzymać wykres funkcji

g

, którego dziedziną jest zbiór

(- \infty, 4) \cup (4, \infty)

, a zbiorem wartości jest zbiór

(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)

? Wykres funkcji

f

należy przesunąć wzdłuż osi

X

o 1. cztery jednostki w górę, 2. dwie jednostki w dół, 3. cztery jednostki w prawo, 4. dwie jednostki w górę, 5. cztery jednostki w lewo, 6. dwie jednostki w prawo i wzdłuż osi

Y

o 1. cztery jednostki w górę, 2. dwie jednostki w dół, 3. cztery jednostki w prawo, 4. dwie jednostki w górę, 5. cztery jednostki w lewo, 6. dwie jednostki w prawo.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R3jcq7ZJdVfZ8

W jaki sposób należy przesunąć wykres funkcji

f (x) = \frac{4}{x}

, aby otrzymać wykres funkcji

g

, którego dziedziną jest zbiór

(- \infty, 2) \cup (2, \infty)

, a zbiorem wartości jest zbiór

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

? Wykres funkcji

f

należy przesunąć wzdłuż osi

X

1. o dwie jednostki w prawo, 2. nie należy jej przesuwać, 3. o jedną jednostkę w górę, 4. o jedną jednostkę w lewo, 5. o dwie jednostki w górę, 6. o dwie jednostki w prawo i wzdłuż osi

Y

1. o dwie jednostki w prawo, 2. nie należy jej przesuwać, 3. o jedną jednostkę w górę, 4. o jedną jednostkę w lewo, 5. o dwie jednostki w górę, 6. o dwie jednostki w prawo.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RhMnByHWpZwLV1

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1LIoyoTn4AfQ1

Ćwiczenie 2

Wyznacz współczynnik

a

tak, aby do wykresu funkcji

f (x) = \frac{a}{x}

należał dany punkt, a następnie uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Punkt

(- 4, 2)

będzie należał do wykresu funkcji, gdy

a =

- 6

, 2.

- \frac{3}{2}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

- 5

, 5.

- \frac{3}{4}

, 6.

\frac{1}{6}

, 7.

- 3

, 8.

\frac{2}{9}

, 9.

- 8

, 10.

\frac{4}{9}

. Punkt

(4 \frac{1}{2}, - \frac{1}{3})

będzie należał do wykresu funkcji, gdy

a =

- 6

, 2.

- \frac{3}{2}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

- 5

, 5.

- \frac{3}{4}

, 6.

\frac{1}{6}

, 7.

- 3

, 8.

\frac{2}{9}

, 9.

- 8

, 10.

\frac{4}{9}

. Punkt

(- \frac{3}{4}, - \frac{8}{27})

będzie należał do wykresu funkcji, gdy

a =

- 6

, 2.

- \frac{3}{2}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

- 5

, 5.

- \frac{3}{4}

, 6.

\frac{1}{6}

, 7.

- 3

, 8.

\frac{2}{9}

, 9.

- 8

, 10.

\frac{4}{9}

. Punkt

(25, \frac{1}{100})

będzie należał do wykresu funkcji, gdy

a =

- 6

, 2.

- \frac{3}{2}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

- 5

, 5.

- \frac{3}{4}

, 6.

\frac{1}{6}

, 7.

- 3

, 8.

\frac{2}{9}

, 9.

- 8

, 10.

\frac{4}{9}

. Punkt

(3 \sqrt{3}, - \frac{1}{3} \sqrt{3})

będzie należał do wykresu funkcji, gdy

a =

- 6

, 2.

- \frac{3}{2}

, 3.

\frac{1}{4}

, 4.

- 5

, 5.

- \frac{3}{4}

, 6.

\frac{1}{6}

, 7.

- 3

, 8.

\frac{2}{9}

, 9.

- 8

, 10.

\frac{4}{9}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Naszkicuj wykres funkcji $f (x) = \frac{- 5}{x + 3} - 5$ . Określ, dla jakich argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartości nieujemne.

RLKBDCeoq3pbR

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz wygląd wykresu funkcji $f (x) = \frac{- 5}{x + 3} - 5$ . Określ, dla jakich argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartości nieujemne.

R1RkrOtgS7K59

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykorzystaj odpowiednie przesunięcie funkcji $g (x) = \frac{- 5}{x}$ .

R9oTwWxzlxSiY

Funkcja przyjmuje wartości nieujemne dla argumentów z przedziału $⟨- 4, - 3)$ .

Ćwiczenie 4

Naszkicuj wykres funkcji $f (x) = \frac{6}{x} + 3$ . Określ jej dziedzinę i zbiór wartości. Dla jakich argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartości mniejsze od $6$ ?

R14EEQ1vIWHiA

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz wygląd wykresu funkcji $f (x) = \frac{6}{x} + 3$ . Określ jej dziedzinę i zbiór wartości.

Dla jakich argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartości mniejsze od $6$ ?

R1ly8UiVznPVI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykorzystaj odpowiednie przesunięcie funkcji $g (x) = \frac{6}{x}$ .

RViLQQyJk5iYr

$D = (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$

$ZW = (- \infty, 3) \cup (3, + \infty)$

$f (x) < 6$ dla $x \in (- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ .

Ćwiczenie 5

Określ dziedzinę i zbiór wartości funkcji $f$ opisanej wzorem

$f (x) = \frac{- 2}{x + 12} - 1$
$f (x) = \frac{41}{x - 5} + 23$
$f (x) = \frac{- 7}{x - 8} - 15$
$f (x) = \frac{- 25}{x + 2} + 18$
$f (x) = \frac{5}{x - \sqrt{2}} - \sqrt{5}$

R1QeK5y0gtvK1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$D = (- \infty, - 12) \cup (- 12, + \infty)$ , $ZW = (- \infty, - 1) \cup (- 1, + \infty)$
$D = (- \infty, 5) \cup (5, + \infty)$ , $ZW = (- \infty, 23) \cup (23, + \infty)$
$D = (- \infty, 8) \cup (8, + \infty)$ , $ZW = (- \infty, - 15) \cup (- 15, + \infty)$
$D = (- \infty, - 2) \cup (- 2, + \infty)$ , $ZW = (- \infty, 18) \cup (18, + \infty)$
$D = (- \infty, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, + \infty)$ , $ZW = (- \infty, - \sqrt{5}) \cup (- \sqrt{5}, + \infty)$

Ćwiczenie 6

Funkcja $f$ opisana jest wzorem $f (x) = \frac{17}{x - 34} + 54$ . Wyznacz wartość $m$ , dla której funkcja $f$ nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu $y = m$ .

RayCUV548IOnw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja $f$ nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu $y = m$ dla $m = 54$ .

R1dIOBYNCqweo3

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.