Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby udostępnić materiał Dodaj całą stronę do teczki

Wiadomo, że wykres funkcji można przesuwać wzdłuż osi układu współrzędnych. W tej lekcji będziemy dokonywać tego przekształcenia na wykresie funkcji fx=ax, czyli hiperboli.

1
Przykład 1

Narysujmy wykres funkcji fx=3x+2.

Zauważmy, że do narysowania wykresu funkcji f możemy wykorzystać hiperbolę gx=3x. Jeśli przesuniemy ją o 2 jednostki w górę wzdłuż osi Y, to otrzymamy wykres funkcji fx=3x+2.

R2VRqjyg2Hhsr1
Animacja prezentuje okazuje wykres funkcji f(x) = 3 dzielone przez x +2. Aby narysować wykres tej funkcji f, należy narysować wykres funkcji g(x) =3 dzielone przez x, a następnie przesunąć go o dwie jednostki w górę.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Na podstawie wykresu omówmy własności funkcji fx=3x+2.

  • Funkcja f jest określona dla wszystkich x0 (wykres funkcji nie przecina osi Y).

  • Zbiorem wartości jest przedział -,22,+.

  • Miejscem zerowym funkcji jest x0=-32.

  • Funkcja f jest malejąca w każdym z przedziałów -,0 oraz 0,+.

  • Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów ze zbioru -,-320,+ oraz wartości ujemne dla argumentów z przedziału -32,0.

1
Przykład 2

Narysujmy wykres funkcji  fx=3x-4.

Podobnie jak poprzednio do narysowania wykresu funkcji f wykorzystamy hiperbolę gx=3x. Jeśli przesuniemy ją o 4 jednostki w prawo wzdłuż osi X, to otrzymamy wykres funkcji fx=3x-4.

RjSGoZTR9TuW91
Animacja ilustruje rysowanie wykresu funkcji f(x) =3 dzielone przez (x -4). Aby narysować wykres tej funkcji f, należy narysować wykres funkcji g(x) =3 dzielone przez x a następnie przesunąć go o cztery jednostki w prawo.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Na podstawie wykresu omówmy własności funkcji fx=3x-4.

  • Funkcja f jest określona dla argumentów z przedziału -,44,+.

  • Zbiorem wartości jest przedział -,00,+.

  • Funkcja nie ma miejsca zerowego.

  • Funkcja f jest malejąca w każdym z przedziałów -,4 oraz 4,+.

  • Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału 4,+ oraz wartości ujemne dla argumentów z przedziału -,4.

Przykład 3

Narysujmy wykres funkcji fx=-3x-5-3.

Do narysowania tego wykresu wykorzystamy wykres funkcji gx=-3x i jego przesunięcie o 5 jednostek w prawo wzdłuż osi X i o 3 jednostki w dół wzdłuż
osi Y.

R1e4dzkYIIRrS
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z wykresu możemy odczytać własności funkcji fx=-3x-5-3.

  • Funkcja f jest określona dla argumentów z przedziału -,55,+ .

  • Zbiorem wartości jest przedział -,-3-3,+.

  • Miejscem zerowym funkcji jest x0=4.

  • Funkcja f jest rosnąca w każdym z przedziałów -,5 oraz 5,+.

  • Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału 4,5 oraz wartości ujemne dla argumentów ze zbioru -,45,+.

1
Polecenie 1

Uruchom aplet i wykonaj polecenia w nim zawarte. Przesuwaj zielony punkt tak, aby otrzymać żądane wykresy funkcji o określonych dziedzinach i zbiorach wartości. Zwróć uwagę, że zarówno dziedzina, jak i zbiór wartości funkcji wyznaczą asymptoty nowej funkcji.

Rpdkg2zIF0BKA1
Animacja prezentuje różne hiperbole f(x). Należy tak przesunąć wykres funkcji f, aby otrzymać wykres funkcji g o danej dziedzinie funkcji oraz danym zbiorze wartości funkcji.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Uzupełnij odpowiedzi na poniższe pytania, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

R14fs8ew2ZgjG
W jaki sposób należy przesunąć wykres funkcji fx=1x, aby otrzymać wykres funkcji g, którego dziedziną jest zbiór -, 55, , a zbiorem wartości jest zbiór -,-2-2, ? Wykres funkcji f należy przesunąć wzdłuż osi X o 1. dwie jednostki w prawo, 2. dwie jednostki w górę, 3. dwie jednostki w dół, 4. pięć jednostek w prawo, 5. pięć jednostek w górę, 6. pięć jednostek w lewo i wzdłuż osi Y o 1. dwie jednostki w prawo, 2. dwie jednostki w górę, 3. dwie jednostki w dół, 4. pięć jednostek w prawo, 5. pięć jednostek w górę, 6. pięć jednostek w lewo.
RZHEt5ysKVgjZ
W jaki sposób należy przesunąć wykres funkcji fx=-4x, aby otrzymać wykres funkcji g, którego dziedziną jest zbiór -, 44, , a zbiorem wartości jest zbiór -,-2-2, ? Wykres funkcji f należy przesunąć wzdłuż osi X o 1. cztery jednostki w górę, 2. dwie jednostki w dół, 3. cztery jednostki w prawo, 4. dwie jednostki w górę, 5. cztery jednostki w lewo, 6. dwie jednostki w prawo i wzdłuż osi Y o 1. cztery jednostki w górę, 2. dwie jednostki w dół, 3. cztery jednostki w prawo, 4. dwie jednostki w górę, 5. cztery jednostki w lewo, 6. dwie jednostki w prawo.
R3jcq7ZJdVfZ8
W jaki sposób należy przesunąć wykres funkcji fx=4x, aby otrzymać wykres funkcji g, którego dziedziną jest zbiór -, 22, , a zbiorem wartości jest zbiór -, 00, ? Wykres funkcji f należy przesunąć wzdłuż osi X 1. o dwie jednostki w prawo, 2. nie należy jej przesuwać, 3. o jedną jednostkę w górę, 4. o jedną jednostkę w lewo, 5. o dwie jednostki w górę, 6. o dwie jednostki w prawo i wzdłuż osi Y 1. o dwie jednostki w prawo, 2. nie należy jej przesuwać, 3. o jedną jednostkę w górę, 4. o jedną jednostkę w lewo, 5. o dwie jednostki w górę, 6. o dwie jednostki w prawo.
RhMnByHWpZwLV1
Ćwiczenie 1
Który z punktów A=4,32, B=332,2, C=-332,-34  należy do wykresu funkcji fx=23x? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Punkt A należy do wykresu funkcji., 2. Punkt B należy do wykresu funkcji., 3. Punkt C należy do wykresu funkcji.
R1LIoyoTn4AfQ1
Ćwiczenie 2
Wyznacz współczynnik a tak, aby do wykresu funkcji fx=ax należał dany punkt, a następnie uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.
  • Punkt -4,2 będzie należał do wykresu funkcji, gdy a= 1. -6, 2. -32, 3. 14, 4. -5
, 5. -34, 6. 16, 7. -3, 8. 29, 9. -8, 10. 49.
  • Punkt 412,-13 będzie należał do wykresu funkcji, gdy a= 1. -6, 2. -32, 3. 14, 4. -5
  • , 5. -34, 6. 16, 7. -3, 8. 29, 9. -8, 10. 49.
  • Punkt -34,-827 będzie należał do wykresu funkcji, gdy a= 1. -6, 2. -32, 3. 14, 4. -5
  • , 5. -34, 6. 16, 7. -3, 8. 29, 9. -8, 10. 49.
  • Punkt 25,1100 będzie należał do wykresu funkcji, gdy a= 1. -6, 2. -32, 3. 14, 4. -5
  • , 5. -34, 6. 16, 7. -3, 8. 29, 9. -8, 10. 49.
  • Punkt 33,-133 będzie należał do wykresu funkcji, gdy a= 1. -6, 2. -32, 3. 14, 4. -5
  • , 5. -34, 6. 16, 7. -3, 8. 29, 9. -8, 10. 49.
    2
    Ćwiczenie 3

    Naszkicuj wykres funkcji fx=-5x+3-5. Określ, dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości nieujemne.

    R19QaDTEHJ4OC

    Opisz wygląd wykresu funkcji fx=-5x+3-5. Określ, dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości nieujemne.

    R3lJaCR9AQ6iT
    (Uzupełnij).
    2
    Ćwiczenie 4

    Naszkicuj wykres funkcji fx=6x+3. Określ jej dziedzinę i zbiór wartości. Dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości mniejsze od 6?

    R1bbZ3j22QCFp

    Opisz wygląd wykresu funkcji fx=6x+3. Określ jej dziedzinę i zbiór wartości.

    Dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości mniejsze od 6?

    R1e1zkIL4vGXf
    (Uzupełnij).
    2
    Ćwiczenie 5

    Określ dziedzinę i zbiór wartości funkcji f opisanej wzorem

    1. fx=-2x+12-1

    2. fx=41x-5+23

    3. fx=-7x-8-15

    4. fx=-25x+2+18

    5. fx=5x-2-5

    RIQG8YqUjflDz
    (Uzupełnij).
    3
    Ćwiczenie 6

    Funkcja f opisana jest wzorem fx= 17x-34+54. Wyznacz wartość m, dla której funkcja f nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu y=m.

    R12RXbuT9IPO2
    (Uzupełnij).
    R1dIOBYNCqweo3
    Ćwiczenie 7
    Wyznacz takie wartości liczby p, dla których punkt A=4,12 należy do wykresu funkcji fx=-12x-p2. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. p=5 lub p=-5, 2. p=3 lub p=-3, 3. p=2 lub p=-2, 4. p=8 lub p=-8
    Aplikacje dostępne w
    Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida