Równania i nierówności wykładnicze

1. Cele lekcji

Wiadomości

Znajomość definicji równania wykładniczego i nierówności wykładniczej. Znajomość twierdzeń dotyczących równań i nierówności.

Umiejętności

• Analizowanie rozwiązanych przykładów.

• Rozwiązywanie nierówności wykładniczych.

• Kształtowanie spostrzegawczości.

• Rozumowanie przez analogię.

2. Metoda i forma pracy

W tracie lekcji nauczyciel wprowadza uczniów w temat (pogadanka) – przypomnienie wiadomości. Następnie uczniowie pracują w grupach (metoda aktywizująca) oraz samodzielnie (gra dydaktyczna).

3. Środki dydaktyczne

- podręczniki, zbiór zadań
- zeszyt
- domino matematyczne

4. Przebieg lekcji

Faza przygotowawcza

Czynności organizacyjne (sprawdzenie obecności, sprawdzenie i omówienie pracy domowej). Nauczyciel przeprowadza pogadankę z uczniami, która ma na celu przypomnienie zdobytych wiadomości dotyczących równań i nierówności, przypomnienie pojęcia funkcji wykładniczej.

Faza realizacyjna

Podanie przez nauczyciela celu i tematu lekcji. Uczniowie rozwiązują na tablicy przykłady wybrane przez nauczyciela. Następnie nauczyciel dzieli klasę na grupy i prosi, by każda z grup wytypowała lidera, który będzie prezentował wyniki pracy. Nauczyciel krótko zapoznaje uczniów z zasadami gry w domino matematyczne, po czym rozdaje zestawy domina grupom. Uczniowie w wyznaczonym limicie czasowym kolejno dokładają kartki do siebie, by pasowało rozwiązanie. Wszyscy uczniowie przez cały czas dokonują niezależnych obliczeń na kartkach, tak aby móc ocenić poprawność ruchów poszczególnych graczy. Nauczyciel rozstrzyga ewentualne spory. Gra kończy się, gdy wszystkie części zostaną ułożone. Grupa uczniów, która pierwsza zakończy grę, prezentuje prawidłowo ułożone domino. Nauczyciel podejmuje dyskusję na temat przykładów, które sprawiły uczniom najwięcej problemów. Przykłady te zostają rozwiązane przez ochotników na tablicy i wpisane do zeszytów.

Faza podsumowująca

Uczniowie podsumowują lekcję, mówią, czego się nauczyli. Nauczyciel ocenia pracę uczniów, ich wypowiedzi, aktywność – słownie lub stopniem szkolnym – krótko uzasadniając ocenę. Podaje pracę domową obowiązkową i nadobowiązkową.

5. Bibliografia

Pawłowski H., Matematyka 2, wyd. OPERON. Gdynia 2004 r.

6. Załączniki

Podsumowanie wiadomości

$\begin{array}{c}\hfill {\left(\mathrm{\text{ab}}\right)}^t=a^t\cdot b^t\hfill \\ \hfill {\left(\frac{a}{b}\right)}^t=\frac{a^t}{b^t}\hfill \\ \hfill {\left(a^t\right)}^u=a^{\mathrm{\text{tu}}}\hfill \end{array}$$a^t\cdot a^u=a^{t+u}$$\frac{a^t}{a^u}=a^{t-u}$

Dla a ≠ 1 aIndeks górny t^t = aIndeks górny u^u <=> t = u

Funkcja wykładnicza przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.

Przykłady równań do rozwiązania

$\begin{array}{c}\hfill 9^{3x-4}-3^{8x-2}=0\hfill \\ \hfill 9^{3x-4}=3^{8x-2}\hfill \\ \hfill {27}^x-9^{2x}\cdot 3^{3x}=247\hfill \\ \hfill 3^{2(3x-4)}=3^{8x-2}\hfill \\ \hfill 6x-8=8x-2\hfill \\ \hfill x=-3\hfill \end{array}$

(2*Indeks górny x^x)Indeks górny x^x ∙ (4Indeks górny x^x*)Indeks górny x^x = 64

$\begin{array}{c}\hfill 2^{x^2}\cdot 4^{x^2}=64\hfill \\ \hfill 2^{x^2}\cdot 2^{2x^2}=2^6\hfill \\ \hfill 3x^2=6\hfill \\ \hfill x^2=2\hfill \\ \hfill x=\pm \sqrt{2}\hfill \end{array}$

Równanie zawiera aż trzy wyrażenia wykładnicze należy więc, poprzez dzielenie, zmniejszyć liczbę wyrażeń wykładniczych do dwóch

$\begin{array}{c}\hfill 9^x+6^x=2\cdot 4^x{}_{}{}_{}/:(4^x)\hfill \\ \hfill {\left(\frac{9}{4}\right)}^x+{\left(\frac{6}{4}\right)}^x=2\hfill \\ \hfill \left(\frac{9}{4}\right)={\left(\frac{3}{2}\right)}^2={\left(\frac{6}{4}\right)}^2\hfill \\ \hfill {\left(\frac{3}{2}\right)}^{2x}+{\left(\frac{3}{2}\right)}^x-2=0\hfill \\ \hfill z={\left(\frac{3}{2}\right)}^x\hfill \\ \hfill z^2+z-2=0\hfill \\ \hfill z_1=-2{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}^{}{z}_2=1\hfill \\ \hfill {\left(\frac{3}{2}\right)}^x=-2{}_{}\mathrm{\text{lub}}{}_{}{\left(\frac{3}{2}\right)}^x=1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}$

- Pierwsze równanie - drugie równanie nie ma pierwiastków $\begin{array}{c}\hfill {\left(\frac{3}{2}\right)}^x={\left(\frac{3}{2}\right)}^0\hfill \\ \hfill x=0\hfill \end{array}$

Rozwiązując nierówności wykładnicze postępujemy podobnie, jak w przypadku równań.

Przykład: zadanie

Rozwiąż nierówności wykładnicze

(2Indeks górny x+2^x+2)Indeks górny 2² + 4 ∙ 2 Indeks górny x+3^x+3 – 48 < 0

Wprowadzamy zmienną pomocniczą z = 2Indeks górny x+2^x+2 i otrzymujemy

zIndeks górny 2² + 8 z – 48 < 0

ten trójmian zeruje się w punktach:

zIndeks dolny 1₁ = –12 zIndeks dolny 2₂ = 4

czyli ostatnia nierówność zachodzi dla z takich, że

–12 < z < 4

Wyjściowa nierówność jest równoważna podwójnej nierówności

–12 < 2Indeks górny x^xIndeks górny +2⁺² < 4

Skoro funkcja wykładnicza przyjmuje wartości dodatnie, warunek -12 < 2Indeks górny x+2^x+2 jest zawsze spełniony. Wystarczy więc ograniczyć się do rozwiązania nierówności 2Indeks górny x+2^x+2 < 4 = 2Indeks górny 2². Rozwiązaniem jest zbiór takich x, dla których x + 2 < 2, to znaczy x < 0

Odpowiedź: x < 0

Domino

Zadanie domowe

Zadanie z zeszytu ćwiczeń dla ucznia – wydawnictwo OPERON.
Nadobowiązkowe: zaprojektuj i wykonaj domino matematyczne

7. Czas trwania lekcji

45 minut.

8. Uwagi

Można zakończyć lekcję kilkuminutową, jednozadaniową kartkówką. Lekcja ta jest lekcją nr 5 w klasie drugiej.