Równania i nierówności

1. Cele lekcji

Wiadomości

Uczniowie utrwalają sobie pojęcia: równanie, nierówność; rozszerzają rodzaje równań na równania wyższych stopni z wartością bezwzględną, potęgowe i pierwiastkowe.

b. Umiejętności

Po zajęciach uczeń:

• potrafi rozróżnić rodzaj równania i nierówności ze względu na liczbę niewiadomych i stopień równania,

• potrafi rozwiązań równanie liniowe,

• potrafi rozwiązać proste równanie kwadratowe,

• potrafi rozwiązać równanie lub nierówność z wartością bezwzględną.

1. • Ćwiczenia praktyczne – rozwiązywanie zadań.

   • Praca w grupach.

1. zadania do pracy w grupie,

2. schematy do uzupełnienia.

Uczniowie zajmują miejsca przy stolikach w trzyosobowych grupach. Nauczyciel wyjaśnia przebieg zajęć i czynności, które będą wykonywać uczniowie. Każda grupa otrzymuje zestaw prostych równań lub nierówności do rozwiązania. Na podstawie uzyskanych wyników uczniowie interpretują końcowy zapis równania lub nierówności.

Grupa 1 i 2 Grupa 3 i 4

$2(x-1,5)=4x-(2x+3)$ (0=0) $2x-3>4-(5-2x)$ (-3 >-1)

$4(x-2)=5x-(x-8)$ (0=16) $\frac{4x-2}{2}-1\ge 2x-3$$(-2\ge -3)$

$2(x-3)=4-(x-5)$ (x =5) $\frac{x-1}{2}<\frac{x+2}{3}+1$ (x < 11)

Po rozwiązaniu tych przykładów i omówieniu – uczniowie uzupełniają załączone schematy, dotyczące równań i nierówności.

• schemat: Równania,

• schemat: Nierówności,

Faza realizacyjna

1. Nauczyciel rozdaje uczniom planszę z zestawem różnego typu równań i nierówności. Uczniowie starają się poklasyfikować te równania i nierówności według stopnia i liczby niewiadomych. Najpierw uzupełniają puste pola na planszy (ustalają stopień równania i liczbę niewiadomych, kropką oznaczając równania nietypowe), potem rozcinają planszę i układają równania według typów.

2. Uczniowie wypełniają schemat – Rodzaje równań z przykładami:

3. Na tablicy chętni uczniowie rozwiązują równania lub nierówności. Są to przykłady, które uczniowie w większości przypadków mogą sami rozwiązać. Wspólnie omawiamy rozwiązania i metody rozwiązań.

a) $\frac{x-3}{2}=\frac{4x-2}{4}$ b) $\frac{3}{x-1}=\frac{5}{2x+2}$ c) $\frac{x-1}{2x+3}=\frac{2x-2}{x+1}$

d) $\frac{{(x-3)}^2}{2}-1\le \frac{(x+2)(x-3)}{2}$ e) $x^2-4=0$ f) $2x^2-6x=0$

g) $(x-3)(x+2)=0$ h) $x^2-6x+9=0$ i) $x^2+4x-21=0$

4. W grupach trzyosobowych uczniowie rozwiązują równania i nierówności z planszy zadań.

Grupa I i III – zadania: 4, 5, 9, 13, 17, 21, 23.

Podaj wszystkie rozwiązania równania

$(x-1)(x-2)(x-3)\cdot ...\cdot (x-99)(x-100)=0$

$|x-2|=3$; $x^2+2x-8=0$; $2+7x<4(x-1)<9x-7$;

$3\sqrt{x}=21$; $\sqrt{x-2}-3=1$; $[105+(\frac{48-6x}{140-8\cdot 17}+1,5)]:12=9$

Grupa II i IV – zadania: 2, 6, 8, 18, 22, 25, 29.

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwa jest nierówność

${(a+b)}^2\ge 4\mathrm{\text{ab}}$

$|x+1|=\left|x\right|$; $\sqrt{2x+1}=1-x$; $19,6:[\frac{(0,5x-1,8)\cdot 4}{\frac{16}{15}}+1,1]=3,5$

$\frac{2}{3}\sqrt{x}=\frac{1}{9}$; $x^2-10x+21=0$; $3x-2<8x+10<4x+6$

Każde zadanie uczniowie rozwiązują na oddzielnej kartce A4 – może być obustronnie (jedno zadanie na 1 stronie), potem omawiamy prawidłowość tych rozwiązań.

Faza podsumowująca

Na podsumowanie zajęć uczniowie uzupełniają schemat:

Jeżeli rozwiązanie równania I stopnia z jedną niewiadomą kończy się zapisem:

a) to jest to równanie

b) to jest to równanie

c) to jest to równanie

Jeżeli rozwiązanie nierówności I stopnia z jedną niewiadomą kończy się zapisem:

a) to jest to nierówność

b) to jest to nierówność

c) to jest to nierówność

Schemat ten uczniowie wklejają sobie do zeszytu zajęć koła matematycznego. Na podsumowanie zajęć wypełniają kartę oceny zajęć i swoich umiejętności:

Po zajęciach potrafię :

- rozwiązać proste równanie lub nierówność I stopnia z jedną niewiadomą TAK NIE

- rozwiązać każde równanie lub nierówność I stopnia z jedna niewiadomą TAK NIE

- rozwiązać proste równanie kwadratowe (niezupełne) TAK NIE

- rozwiązać trójmian kwadratowy metodą prób i błędów (a = 1) TAK NIE

- rozwiązać równanie lub nierówność z pierwiastkiem TAK NIE

- rozwiązać równanie z wartością bezwzględną (jedną) TAK NIE

- rozwiązać równanie z 2 wartościami bezwzględnymi TAK NIE

Zajęcia były interesujące – oceń w skali 1 – 6

Zadania były łatwe – oceń w skali 1 – 6

Wiele się nauczyłem – oceń w skali 1 – 6

4. 3. Z. Bobiński, P. Nodzyński, Liga zadaniowa, wyd. Czarny Kruk, Bydgoszcz 1993;

   4. B. Stryczniewicz, Matematyka to nie Czarna Magia, wyd. Nowik, Opole 2006;

   5. R. Kalina, T. Szymański, F. Linke, Przewodnik po matematyce i zbiór zadań dla klas IV‑VIII, cz. III , wyd. Sens, Poznań 1966.