Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej

Już wiesz

Wiesz już, że:

prosta prostopadła do osi $X$ nie jest wykresem żadnej funkcji.
jeżeli na wykresie funkcji liniowej leżą dwa różne punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ , (gdzie $x_{A} \neq x_{B}$ ), to współczynnik kierunkowy prostej, będącej wykresem funkcji, jest równy

a = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}}

natomiast wyraz wolny jest równy

b = y_{A} - a x_{A}

;

każda prosta, będąca wykresem funkcji liniowej, która przechodzi przez punkt $A = (x_{A}, y_{A})$ , ma równanie $y = a x + (y_{A} - a x_{A})$ , co zapisujemy w postaci

y = a (x - x_{A}) + y_{A}

;

każda prosta, będąca wykresem funkcji liniowej, która przechodzi przez dwa różne punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ , ma równanie

y = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}} (x - x_{A}) + y_{A}

Polecenie 1

Uruchom aplet i wykonaj podane polecenia.

R1eoTXUXJibbr1

R1ZuINFyx0A5F

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R84Scs0RhAYKS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1dTjjYoBLeoc

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RNxagZ9RaQc35

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RvKBiRLeEzKTD2

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Dopasuj do każdego rysunku odpowiednie równanie prostej.

$A$
RExbpLpyHdFdb1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
$B$
RL5diwP2EhA091
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
$C$
R1FBqXhPJBjGj1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
$D$
RdpGBwyyMYPXp1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
$E$
RglJqpdF8Hqpu1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
$F$
RIeLZ6PR3ZvdP1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R9mWLlEYnvTM0

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wzory lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Rysunkowi

A

odpowiada równanie prostej 1.

y = 3

, 2.

y = \frac{1}{2} x

, 3.

y = 3 x + 2

, 4.

y = - 1

, 5.

y = - \frac{1}{3} x + \frac{10}{3}

, 6.

y = - \frac{1}{5} x

.Rysunkowi

B

odpowiada równanie prostej 1.

y = 3

, 2.

y = \frac{1}{2} x

, 3.

y = 3 x + 2

, 4.

y = - 1

, 5.

y = - \frac{1}{3} x + \frac{10}{3}

, 6.

y = - \frac{1}{5} x

.Rysunkowi

C

odpowiada równanie prostej 1.

y = 3

, 2.

y = \frac{1}{2} x

, 3.

y = 3 x + 2

, 4.

y = - 1

, 5.

y = - \frac{1}{3} x + \frac{10}{3}

, 6.

y = - \frac{1}{5} x

.Rysunkowi

D

odpowiada równanie prostej 1.

y = 3

, 2.

y = \frac{1}{2} x

, 3.

y = 3 x + 2

, 4.

y = - 1

, 5.

y = - \frac{1}{3} x + \frac{10}{3}

, 6.

y = - \frac{1}{5} x

.Rysunkowi

E

odpowiada równanie prostej 1.

y = 3

, 2.

y = \frac{1}{2} x

, 3.

y = 3 x + 2

, 4.

y = - 1

, 5.

y = - \frac{1}{3} x + \frac{10}{3}

, 6.

y = - \frac{1}{5} x

.Rysunkowi

F

odpowiada równanie prostej 1.

y = 3

, 2.

y = \frac{1}{2} x

, 3.

y = 3 x + 2

, 4.

y = - 1

, 5.

y = - \frac{1}{3} x + \frac{10}{3}

, 6.

y = - \frac{1}{5} x

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1V1ace5my2qq2

Ćwiczenie 3

Połącz w pary postać ogólną prostej z jej postacią kierunkową.

- 3 x + y - 1 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

y = - x - 3

, 2.

y = 5 x - \frac{1}{3}

, 3.

y = \frac{1}{3} x - \frac{3}{4}

, 4.

y = 3 x + 1

, 5.

y = \frac{1}{7} x + \frac{5}{7}

- 4 x + 12 y + 9 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

y = - x - 3

, 2.

y = 5 x - \frac{1}{3}

, 3.

y = \frac{1}{3} x - \frac{3}{4}

, 4.

y = 3 x + 1

, 5.

y = \frac{1}{7} x + \frac{5}{7}

- 15 x + 3 y + 1 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

y = - x - 3

, 2.

y = 5 x - \frac{1}{3}

, 3.

y = \frac{1}{3} x - \frac{3}{4}

, 4.

y = 3 x + 1

, 5.

y = \frac{1}{7} x + \frac{5}{7}

x - 7 y + 5 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

y = - x - 3

, 2.

y = 5 x - \frac{1}{3}

, 3.

y = \frac{1}{3} x - \frac{3}{4}

, 4.

y = 3 x + 1

, 5.

y = \frac{1}{7} x + \frac{5}{7}

x + y + 3 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

y = - x - 3

, 2.

y = 5 x - \frac{1}{3}

, 3.

y = \frac{1}{3} x - \frac{3}{4}

, 4.

y = 3 x + 1

, 5.

y = \frac{1}{7} x + \frac{5}{7}

Połącz w pary postać ogólną prostej z jej postacią kierunkową.

$- 3 x + y - 1 = 0$
$- 4 x + 12 y + 9 = 0$
$- 15 x + 3 y + 1 = 0$
$x - 7 y + 5 = 0$
$y = - x - 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RcpeFpoBQIvVh1

Ćwiczenie 4

$y = - 3 x + 1$
$y = 3 x - 1$
$y = - 3 x - 1$
$y = 3 x + 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Wyznaczymy równanie prostej, przechodzącej przez punkty $A = (4, 2)$ i $B = (- 3, 1)$ .

Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy

a = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}} = \frac{2 - 1}{4 + 3} = \frac{1}{7}

Równanie prostej możemy zapisać w postaci

y = \frac{1}{7} x + b

Współczynnik $b$ obliczymy, wstawiając do równania współrzędne dowolnego punktu należącego do tej prostej, np. $A = (4, 2)$

2 = \frac{1}{7} \cdot 4 + b

więc $b = \frac{10}{7}$ . Wynika z tego, że równanie prostej, przechodzącej przez punkty
$A$ i $B$ , ma postać:

y = \frac{1}{7} x + \frac{10}{7}

R1YDwSS3TF5QR1

Rysunek prostej y = jedna siódma x plus dziesięć siódmych w układzie współrzędnych. Prosta jest nachylona do osi X, przedstawia funkcję rosnącą. Prosta przechodzi przez punkty B=(-3, 1) i A=(4, 2) — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że mnożąc obie strony równania prostej przez $7$ , otrzymamy inną postać tego równania:

7 y = x + 10

Po uporządkowaniu możemy zapisać

x - 7 y + 10 = 0

Jest to równanie tej samej prostej, przechodzącej przez punkty $A$ i $B$ , zapisane w postaci ogólnej.

Równanie ogólne prostej

Definicja: Równanie ogólne prostej

Równanie $A x + B y + C =0$ , gdzie $A$ , $B$ i $C$ są liczbami rzeczywistymi oraz $A$ i $B$ nie są jednocześnie równe zero, nazywamy równaniem ogólnym prostej.

ROGdrUlYNxzO31

R1AeBeD3ifDSu1

Przykład 2

Wyznaczymy równanie ogólne prostej, przechodzącej przez punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ , gdzie $x_{A} \neq x_{B}$ . Zauważmy, że korzystając ze wzoru

y = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}} (x - x_{A}) + y_{A}

otrzymamy postać kierunkową prostej.

Możemy jednak przekształcić wzór tak, aby można było otrzymać również postać ogólną prostej.

Od obu stron równania odejmiemy wyrażenie

\frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}} (x - x_{A}) + y_{A}

y - y_{A} - \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}} (x - x_{A}) = 0

Mnożymy obie strony przez

x_{A} - x_{B}

(x_{A} - x_{B} \neq 0)

(y - y_{A}) (x_{A} - x_{B}) - (y_{A} - y_{B}) (x - x_{A}) = 0

Zauważmy, że jeżeli $x_{A} = x_{B}$ , to otrzymany wzór opisuje prostą równoległą do osi $Y$ , przechodzącą przez punkty $A$ i $B$ . Ponieważ $(x_{A}, y_{A}) \neq (x_{B}, y_{B})$ i $x_{A} = x_{B}$ , to $y_{A} \neq y_{B}$ . Wówczas mamy

(y - y_{A}) \cdot 0 - (y_{A} - y_{B}) (x - x_{A}) = 0 | : (y_{A} - y_{B})

x - x_{A} = 0

x = x_{A}

Zapamiętaj!

Równanie prostej, przechodzącej przez dwa punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ , ma postać

(y - y_{A}) (x_{A} - x_{B}) - (y_{A} - y_{B}) (x - x_{A}) = 0

Przykład 3

Wyznaczymy równanie prostej, przechodzącej przez punkty $A = (- 3, 4)$ i $B = (2, - 1)$ .

Po podstawieniu współrzędnych punktów $A$ i $B$ do wzoru

(y - y_{A}) (x_{A} - x_{B}) - (y_{A} - y_{B}) (x - x_{A}) = 0

otrzymamy

(y - 4) (- 3 - 2) - [4 - (- 1)] [x - (- 3)] = 0

- 5 (y - 4) - 5 (x + 3) = 0

- 5 y + 20 - 5 x - 15 = 0

Po uporządkowaniu

- 5 x - 5 y + 5 = 0 | : (- 5)

x + y - 1 = 0

RedFduRXXfh9M1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu i pionową osią Y od minus dwóch do pięciu. W układzie zaznaczona jest prosta, która przechodzi przez punkty A=(-3, 4) i B=(2, -1). Prosta dana jest równaniem x+y‑1=0 i przedstawia funkcję malejącą. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyznaczymy równanie prostej, przechodzącej przez punkty $A = (5, 2)$ i $B = (5, - 3)$ .

Po podstawieniu współrzędnych punktów $A$ i $B$ do wzoru

(y - y_{A}) (x_{A} - x_{B}) - (y_{A} - y_{B}) (x - x_{A}) = 0

otrzymamy

(y - 2) (5 - 5) - (2 + 3) (x - 5) = 0

0 \cdot (y - 2) - 5 (x - 5) = 0

Po uporządkowaniu otrzymaliśmy równanie prostej w postaci ogólnej

x - 5 = 0

R17TSjcX8OM5b1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do ośmiu i pionową osią Y od minus trzech do czterech. W układzie zaznaczona jest prosta, która przechodzi przez punkty A=(5, 2) i B=(5, -3). Prosta dana jest równaniem x‑5=0 i jest równoległa do osi Y. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jest to prosta prostopadła do osi $X$ . Tej prostej nie można opisać równaniem w postaci kierunkowej, ponieważ nie jest ona wykresem funkcji liniowej.

Uwaga

Równanie tej prostej wyznaczymy szybciej, jeśli zauważymy, że pierwsze współrzędne obu punktów są jednakowe i równe $5$ , a drugie są różne. Oznacza to, że równanie prostej, przechodzącej przez te punkty, ma postać $x = 5$ , czyli $x - 5 = 0$ .

R1YI6NvfHrkqQ2

Ćwiczenie 5

Połącz w pary punkty z prostymi przez nie przechodzącymi.

- x + 3 y = 8

Możliwe odpowiedzi: 1.

A = (- 2, 2)

B = (3, 2)

, 2.

A = (- 1, 2)

B = (2, - 1)

, 3.

A = (- 2, - 1)

B = (3, 1)

, 4.

A = (- 2, 2)

B = (1, 3)

, 5.

A = (2, 3)

B = (2, 0)

x + y = 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

A = (- 2, 2)

B = (3, 2)

, 2.

A = (- 1, 2)

B = (2, - 1)

, 3.

A = (- 2, - 1)

B = (3, 1)

, 4.

A = (- 2, 2)

B = (1, 3)

, 5.

A = (2, 3)

B = (2, 0)

- 2 x + 5 y = - 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

A = (- 2, 2)

B = (3, 2)

, 2.

A = (- 1, 2)

B = (2, - 1)

, 3.

A = (- 2, - 1)

B = (3, 1)

, 4.

A = (- 2, 2)

B = (1, 3)

, 5.

A = (2, 3)

B = (2, 0)

y = 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

A = (- 2, 2)

B = (3, 2)

, 2.

A = (- 1, 2)

B = (2, - 1)

, 3.

A = (- 2, - 1)

B = (3, 1)

, 4.

A = (- 2, 2)

B = (1, 3)

, 5.

A = (2, 3)

B = (2, 0)

x = 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

A = (- 2, 2)

B = (3, 2)

, 2.

A = (- 1, 2)

B = (2, - 1)

, 3.

A = (- 2, - 1)

B = (3, 1)

, 4.

A = (- 2, 2)

B = (1, 3)

, 5.

A = (2, 3)

B = (2, 0)

Połącz w pary proste z punktami przez nie przechodzącymi.

$- x + 3 y = 8$
$x + y = 1$
$- 2 x + 5 y = - 1$
$y = 2$
$x = 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 4

Narysujemy prostą o równaniu ogólnym $3 x - y + 2 = 0$ .

Narysowanie tej prostej będzie łatwiejsze, jeśli zapiszemy ją w postaci kierunkowej: $y = 3 x + 2$ .

Z własności funkcji liniowej pamiętamy, że wykres funkcji $y = 3 x + 2$ przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, 2)$ , a współczynnik kierunkowy jest równy $3$ .

R1aufXjMM2SGc1

Rysunek przedstawia prostą przechodzącą przez punkty (0,2) i (1,5) oraz trójkąt prostokątny o wierzchołkach w punktach (0,2), (1,5) i (1,2) . Przy wierzchołku w punkcie (1,2) trójkąt ma kąt prosty. Ponadto przeciwprostokątna tego trójkąta zawiera się w opisywanej prostej. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

R1em24zGon7qg1

przecina oś $Ox$ w punkcie $(- 5, 0)$
przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 2)$
przechodzi przez punkt $A = (2, 3)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Prosta o równaniu $- 2 x + 5 y - 10 = 0$ przecina oś $X$ w punkcie $(- 5, 0)$ – Tak, po wstawieniu współrzędej $y = 0$ do równania prostej otrzymujemy $- 2 x + 5 \cdot 0 - 10 = 0$ , czyli $x = - 5$ .

Prosta o równaniu $- 2 x + 5 y - 10 = 0$ przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 2)$ – Tak, po wstawieniu współrzędnej $x = 0$ do równania prostej otrzymujemy $- 2 \cdot 0 + 5 y - 10 = 0$ , czyli $y = 2$ .

Prosta o równaniu $- 2 x + 5 y - 10 = 0$ przechodzi przez punkt $A = (2, 3)$ – Nie, po wstawieniu współrzędnych punktu do równania prostej otrzymujemy $- 2 \cdot 2 + 5 \cdot 3 - 10 = 0$ , czyli sprzeczność $1 = 0$ . Współrzędne punktu $A = (2, 3)$ nie spełniają równania tej prostej.

R12YkMMMhZ06r2

Ćwiczenie 7

Przeciągnij odpowiednie proste z dolnej sekcji do górnej. Proste pokrywające się z prostą o równaniu

6 x + 2 y = 4

. Możliwe odpowiedzi: 1.

x + y = 1

, 2.

2 x + 2 y - 2 = 0

, 3.

3 x + y = 2

, 4.

\frac{3}{5} x + \frac{1}{5} y = \frac{2}{5}

, 5.

x + \frac{1}{3} y = \frac{2}{3}

, 6.

- x - y = - 1

, 7.

3 x + y - 2 = 0

, 8.

\frac{1}{4} x + \frac{1}{4} y - \frac{1}{4} = 0

Proste pokrywające się z prostą o równaniu

100 x + 100 y = 100

. Możliwe odpowiedzi: 1.

x + y = 1

, 2.

2 x + 2 y - 2 = 0

, 3.

3 x + y = 2

, 4.

\frac{3}{5} x + \frac{1}{5} y = \frac{2}{5}

, 5.

x + \frac{1}{3} y = \frac{2}{3}

, 6.

- x - y = - 1

, 7.

3 x + y - 2 = 0

, 8.

\frac{1}{4} x + \frac{1}{4} y - \frac{1}{4} = 0

Przeciągnij odpowiednie proste z dolnej sekcji do górnej.

proste pokryrywające się z prostą o równaniu $6 x + 2 y = 4$
proste pokrywające się z prostą o równaniu $100 x + 100 y = 100$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

REWAefjC0MgPJ

$\frac{1}{6}$
$- 6$
$6$
$- \frac{1}{6}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że gdy argument funkcji wzrósł o $10$ , to wartość funkcji wzrosła o $60$ .

Ćwiczenie 9

RieJmWgnKFZJ7

$y = \sqrt{2}$
$x = - \sqrt{3}$
$y = - \sqrt{2}$
$x = \sqrt{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

R7eKUALEep59E

$y = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$
$y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$
$y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$
$y = - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R17FXYlzcCbtK2

Ćwiczenie 11

$B = - 4$
$B = 4$
$B = 2$
$B = - 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

R10dj8J6bBWIS

$m = - 3$
$m = 7$
$m = 3$
$m = - 7$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że aby obliczyć wartość $m$ , należy rozwiązać równanie $- 20 \cdot (m + 1) + 33 \cdot 1 + 127 = 0$ .

Ćwiczenie 13

RjNw05W53Gol7

$- 2 x - 3 y + 6 = 0$
$16 x + 24 y - 48 = 0$
$2 x + 3 y - 6 = 0$
$- 8 x + 12 y + 24 = 0$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

RkVJMU1MEqmUF2

$S = (- 1,4)$
$S = (3,2)$
$S = (- 5,7)$
$S = (- 3,7)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyznacz równania dwóch prostych przechodzących odpowiednio przez punkty $A$ i $C$ oraz $B$ i $D$ . Następnie wyznacz punkt przecięcia tych prostych.

Ćwiczenie 15

R1F6bUYy7M5Ej2

$B = (- 4, - 1)$
$B = (3, - 1)$
$B = (2,2)$
$B = (2, - 2)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli prosta $A B$ jest prostopadła do osi $X$ , to pierwsze współrzędne wszystkich punktów leżących na tej prostej muszą być takie same. W ten sposób otrzymasz pierwszą współrzędną punktu $B$ . Drugą współrzędną otrzymasz korzystając ze wzoru prostej $k$ , na której leży ten punkt.

Ćwiczenie 16

RYye5JO4n4KCk2

$AC : y = - x$ , $BC : y = - 2 x + 150$
$A C : y = x$ , $BC : y = - 2 x + 150$
$AC : y = - x$ , $BC : y = 2 x + 150$
$AC : y = x$ , $BC : y = 2 x + 150$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

R1OmFpVc6YlOy2

$AC : x + 1 = 0$ , $BD : y - 4 = 0$
$AC : x - 1 = 0$ , $BD : y + 4 = 0$
$AC : x + 1 = 0$ , $BD : y + 4 = 0$
$AC : x - 1 = 0$ , $BD : y - 4 = 0$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że równanie prostej, przechodzącej przez dwa punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ , ma postać $(y - y_{A}) (x_{A} - x_{B}) - (y_{A} - y_{B}) (x - x_{A}) = 0$ .

R1ko2dn5tQ8wX3

Ćwiczenie 18

Wyznacz równanie prostej w postaci ogólnej, która przechodzi przez podane punkty. Połącz punkty z odpowiednim równaniem prostej.

A = (0, 0)

B = (- 4, 1)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 12 x + 31 y = 0

, 2.

x - 4 y + 11 \sqrt{3} = 0

, 3.

x + 5 = 0

, 4.

- 7 x + 4 y - 2 = 0

, 5.

x + 4 y = 0

A = (2, 4)

B = (- 2, - 3)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 12 x + 31 y = 0

, 2.

x - 4 y + 11 \sqrt{3} = 0

, 3.

x + 5 = 0

, 4.

- 7 x + 4 y - 2 = 0

, 5.

x + 4 y = 0

A = (- 5, 2)

B = (- 5, - 6)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 12 x + 31 y = 0

, 2.

x - 4 y + 11 \sqrt{3} = 0

, 3.

x + 5 = 0

, 4.

- 7 x + 4 y - 2 = 0

, 5.

x + 4 y = 0

A = (124, 48)

B = (- 124, - 48)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 12 x + 31 y = 0

, 2.

x - 4 y + 11 \sqrt{3} = 0

, 3.

x + 5 = 0

, 4.

- 7 x + 4 y - 2 = 0

, 5.

x + 4 y = 0

A = (\sqrt{3}, 3 \sqrt{3})

B = (5 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3)}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 12 x + 31 y = 0

, 2.

x - 4 y + 11 \sqrt{3} = 0

, 3.

x + 5 = 0

, 4.

- 7 x + 4 y - 2 = 0

, 5.

x + 4 y = 0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 19

R1YjVrFZhnsGA3

Wyznacz współrzędne punktu

M

, w którym przecinają się proste o podanych równaniach. Wpisz wartości współrzędnych

x

oraz

y

w puste pola.

m

- 2 x + 5 y - 12 = 0

k

x + 3 y - 5 = 0

, zatem współrzędne przecięcia się tych prostych znajdują się w punkcie

M = (

Tu uzupełnij

,

Tu uzupełnij

)

m

- 2 x + 3 y + 1 = 0

k

x - 5 = 0

, zatem współrzędne przecięcia się tych prostych znajdują się w punkcie

M = (

Tu uzupełnij

,

Tu uzupełnij

)

m

- x + 3 y - 6 = 0

k

2 x + y - 2 = 0

, zatem współrzędne przecięcia się tych prostych znajdują się w punkcie

M = (

Tu uzupełnij

,

Tu uzupełnij

)

m

x + 4 y + 23 = 0

k

3 x - 2 y - 1 = 0

, zatem współrzędne przecięcia się tych prostych znajdują się w punkcie

M = (

Tu uzupełnij

,

Tu uzupełnij

)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiązanie będzie wyglądało analogicznie dla każdego punktu.

Zacznijmy od zbudowania układu składającego się z obu równań prostych.

\{\begin{cases} - 2 x + 5 y - 12 = 0 \\ x + 3 y - 5 = 0 \end{cases}

Musimy rozwiązać ten układ równań dowolną metodą. W tym przypadku wybieramy metodę podstawiania. Z pierwszego równania wyznaczamy zmienną $x$ , a następnie podstawiamy ją do drugiego równania:

\{\begin{cases} 2, 5 y - 6 = x \\ 2, 5 y - 6 + 3 y - 5 = 0 \end{cases}

Rozwiązując drugie równanie otrzymamy wartość zmiennej $y$ , a podstawiając tą wartość do pierwszego równania otrzymamy wartość zmiennej $x$ . Ostatecznie

\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 2 \end{cases}

zatem punkt $(- 1, 2)$ jest punktem przecięcia tych prostych.

Ćwiczenie 20

RqjUItzBhFmyb3

Boki trójkąta

A B C

zawierają się w prostych

A C

A B

B C

. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta przy podanych założeniach, a następnie przeciągnij odpowiednie wartości w puste pola.

A B

y + 4 = 0, A C

5 x + 3 y - 8 = 0

oraz

B C

x - y = 0

Zatem współrzędne wierzchołków to:

A = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

B = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

C = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

A B

x + y + 2 = 0, A C

- 3 x + 2 y + 9 = 0

oraz

B C

- x + 9 y - 22 = 0

Zatem współrzędne wierzchołków to:

A = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

B = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

C = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

A B

- x + 2 y - 10 = 0, A C

x - 4 = 0

oraz

B C

y - 3 = 0

Zatem współrzędne wierzchołków to:

A = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

B = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

C = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

Boki trójkąta

A B C

zawierają się w prostych

A C

A B

B C

. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta przy podanych założeniach, a następnie przeciągnij odpowiednie wartości w puste pola.

A B

y + 4 = 0, A C

5 x + 3 y - 8 = 0

oraz

B C

x - y = 0

Zatem współrzędne wierzchołków to:

A = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

B = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

C = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

A B

x + y + 2 = 0, A C

- 3 x + 2 y + 9 = 0

oraz

B C

- x + 9 y - 22 = 0

Zatem współrzędne wierzchołków to:

A = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

B = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

C = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

A B

- x + 2 y - 10 = 0, A C

x - 4 = 0

oraz

B C

y - 3 = 0

Zatem współrzędne wierzchołków to:

A = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

B = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

C = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że wierzchołek $A$ znajduje się w punkcie przecięcia prostych $A B$ i $A C$ , wierzchołek $B$ znajduje się w punkcie przecięcia prostych $A B$ i $B C$ , a wierzhołek $C$ znajduje się w punkcie przecięcia prostych $A C$ i $B C$ . Aby wyznaczyć współrzędne wierzchołków należy zbudować układy złożone z odpowiednich równań prostych. Rozwiązanie tych równań będzie wskazywało współrzędne wierzchołków.

Ćwiczenie 21

R7pIZZc2f7cim3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 22

RoUMRnSwTo3j83

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstaw współrzędne punktu do podanej równości, a następnie wyznacz wartość zmiennej $m$ .
Aby prosta była prostopadła do osi $X$ , jej współczynnik przy zmiennej $y$ musi być równy $0$ .
Aby prosta była prostopadła do osi $Y$ , jej współczynnik przy zmiennej $x$ musi być równy $0$ .

Ćwiczenie 23

Uzasadnij, że nie istnieje wartość $m$ , dla której prosta $(m^{2} - 9) x + (m - 3) y + m + 3 = 0$ jest prostopadła do osi $X$ .

Rm6JOvNUaSUr0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zastanów się, jak powinien wyglądać współczynnik przy $y$ w tej prostej, żeby była ona prostopadła do osi $X$ .

Gdyby była taka wartość $m$ , dla której prosta byłaby prostopadła do osi $X$ , to wówczas jej współczynnik przy $y$ byłby równy $0$ , a więc $m - 3 = 0$ , czyli $m = 3$ . Wtedy jednak współczynnik przy $x$ też byłby równy $0$ , co jest niemożliwe, gdyż oba te współczynniki nie mogą być jednocześnie równe $0$ .