Rozkładanie liczb na czynniki pierwsze

Rozkład liczby na czynniki pierwsze polega na zapisaniu tej liczby w postaci iloczynu liczb pierwszych. Rozkładając liczbę na czynniki pierwsze, dzielimy ją przez liczby pierwsze, przez które ta liczba dzieli się bez reszty do momentu, aż pozostanie liczba 1. Liczby, które możemy rozłożyć na czynniki pierwsze, nazywamy liczbami złożonymi.

ROC59hlQ8pBMe1
Ćwiczenie 1
Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. 3·17= 1. 423, 2. 125, 3. 78, 4. 51, 5. 181, 6. 135, 7. 110, 8. 323, 9. 175, 10. 922·5·11= 1. 423, 2. 125, 3. 78, 4. 51, 5. 181, 6. 135, 7. 110, 8. 323, 9. 175, 10. 92 2·3·13= 1. 423, 2. 125, 3. 78, 4. 51, 5. 181, 6. 135, 7. 110, 8. 323, 9. 175, 10. 925·5·7= 1. 423, 2. 125, 3. 78, 4. 51, 5. 181, 6. 135, 7. 110, 8. 323, 9. 175, 10. 923·3·3·5= 1. 423, 2. 125, 3. 78, 4. 51, 5. 181, 6. 135, 7. 110, 8. 323, 9. 175, 10. 9217·19= 1. 423, 2. 125, 3. 78, 4. 51, 5. 181, 6. 135, 7. 110, 8. 323, 9. 175, 10. 92

Przeciągnij i upuść.

110, 323, 175, 135, 78, 51

a) 3·17= ............ b) 2·5·11= ............ c) 2·3·13= ............
d) 5·5·7= ............ e) 3·3·3·5= ............ f) 17·19= ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

  • Jeżeli pomnożymy liczby pierwsze, to otrzymamy liczbę złożoną.

  • Każdą liczbę złożoną można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.
    Na przykład

20=2·2·5.

  • Mówimy, że liczbę 20 rozłożyliśmy na czynniki pierwsze.

Nauczymy się zapisywać liczby w postaci iloczynu liczb pierwszych. Poznamy różne metody rozkładania liczb na czynniki pierwsze.

Rozkład liczby na czynniki pierwsze

Każdą liczbę złożoną można zapisać w postaci iloczynu co najmniej dwóch liczb naturalnych, większych od 1.

1
Ćwiczenie 2

Przedstaw liczbę 36 w postaci różnych iloczynów tak, aby czynniki były większe od 1.
Wskaż iloczyn, który przedstawia rozkład liczby 36 na czynniki pierwsze.

Uwaga: Iloczyny 4·9 i 9·4 nie są różne, uznajemy je za takie same.

Rxuy2gpuZD4tZ
(Uzupełnij).
RTddOozFIuqYz1
Ćwiczenie 3
Poniżej podano pewne działania. Oblicz w pamięci podane iloczyny i pogrupuj je ze względu na wynik. Przeciągnij każdy element do odpowiedniej grupy. liczba 36 jako iloczyn dwóch liczb Możliwe odpowiedzi: 1. 2·3·6, 2. 6·6, 3. 3·18, 4. 1·2·5, 5. 4·3, 6. 2·2·9, 7. 4·9, 8. 2·4·4, 9. 3·12, 10. 2·2·3·3, 11. 2·18 liczba 36 jako iloczyn trzech liczb Możliwe odpowiedzi: 1. 2·3·6, 2. 6·6, 3. 3·18, 4. 1·2·5, 5. 4·3, 6. 2·2·9, 7. 4·9, 8. 2·4·4, 9. 3·12, 10. 2·2·3·3, 11. 2·18 rozkład liczby 36 na czynniki pierwsze Możliwe odpowiedzi: 1. 2·3·6, 2. 6·6, 3. 3·18, 4. 1·2·5, 5. 4·3, 6. 2·2·9, 7. 4·9, 8. 2·4·4, 9. 3·12, 10. 2·2·3·3, 11. 2·18 liczba inna niż 36 Możliwe odpowiedzi: 1. 2·3·6, 2. 6·6, 3. 3·18, 4. 1·2·5, 5. 4·3, 6. 2·2·9, 7. 4·9, 8. 2·4·4, 9. 3·12, 10. 2·2·3·3, 11. 2·18

Przeciagnij pasujące elementy z dolnej sekcji do górnej.

<span aria-label="dwa, razy, dwa, razy, dziewięć" role="math"><math><mn>2</mn><mo>·</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mn>9</mn></math></span>, <span aria-label="dwa, razy, dwa, razy, trzy, razy, trzy" role="math"><math><mn>2</mn><mo>·</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mn>3</mn><mo>·</mo><mn>3</mn></math></span>, <span aria-label="cztery, razy, dziewięć" role="math"><math><mn>4</mn><mo>·</mo><mn>9</mn></math></span>, <span aria-label="dwa, razy, trzy, razy, sześć" role="math"><math><mn>2</mn><mo>·</mo><mn>3</mn><mo>·</mo><mn>6</mn></math></span>, <span aria-label="dwa, razy, osiemnaście" role="math"><math><mn>2</mn><mo>·</mo><mn>18</mn></math></span>, <span aria-label="trzy, razy, dwanaście" role="math"><math><mn>3</mn><mo>·</mo><mn>12</mn></math></span>, <span aria-label="sześć, razy, sześć" role="math"><math><mn>6</mn><mo>·</mo><mn>6</mn></math></span>

liczba 36 jako iloczyn dwóch liczb  
liczba 36 jako iloczyn trzech liczb  
rozkład liczby 36 na czynniki pierwsze  
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RsKUwoD1Y6JCI2
Ćwiczenie 4
Rozłóż liczby na czynniki pierwsze i uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. 15= 1. 2·3·11, 2. 3·3·5, 3. 2·2·7, 4. 22·32·5, 5. 2·2·3·3·3, 6. 3·528= 1. 2·3·11, 2. 3·3·5, 3. 2·2·7, 4. 22·32·5, 5. 2·2·3·3·3, 6. 3·545= 1. 2·3·11, 2. 3·3·5, 3. 2·2·7, 4. 22·32·5, 5. 2·2·3·3·3, 6. 3·566= 1. 2·3·11, 2. 3·3·5, 3. 2·2·7, 4. 22·32·5, 5. 2·2·3·3·3, 6. 3·5108= 1. 2·3·11, 2. 3·3·5, 3. 2·2·7, 4. 22·32·5, 5. 2·2·3·3·3, 6. 3·5180= 1. 2·3·11, 2. 3·3·5, 3. 2·2·7, 4. 22·32·5, 5. 2·2·3·3·3, 6. 3·5

Rozłóż liczby na czynniki pierwsze, a następnie przeciągnij i upuść.

3·3·5, 2·3·13, 22·32·5, 3·3·11, 2·2·3·3·3, 2·2·2·3·3, 2·2·7, 3·5, 22·32·7, 2·3·11

a) 15= .......................... b) 28= .......................... c) 45= ..........................
d) 66= .......................... e) 108= .......................... f) 180= ..........................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 5

Rozłóż liczby na czynniki pierwsze, wpisując liczby w drzewka. Pamiętaj, aby czynniki w zapisie uporządkować rosnąco od lewej do prawej strony.

Rozłóż podane liczby na czynniki pierwsze. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby w kolejności rosnącej.

RC8eaztPypL1J
1.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RQIwe6VYzJnjF
1. Rozkład na czynniki pierwsze liczby 12 składa się z liczb Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rd3OgMvFjHPbV
2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RNdxNeBs3FQ4H
2. Rozkład na czynniki pierwsze liczby 54 składa się z liczb Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rvw4RX78IhJnn
3.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1DElL8U6SWRd
3. Rozkład na czynniki pierwsze liczby 56 składa się z liczb Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RG8XCd6H9jznL
4.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RX5LiIvRmvvwV
4. Rozkład na czynniki pierwsze liczby 125 składa się z liczb Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1cf0uvNsJYsD2
Ćwiczenie 6
Połącz w pary liczby z ich rozkładami na czynniki pierwsze. 70 Możliwe odpowiedzi: 1. 2·3·3·3·5, 2. 2·2·2·3·5, 3. 2·2·2·5·13, 4. 2·5·7 120 Możliwe odpowiedzi: 1. 2·3·3·3·5, 2. 2·2·2·3·5, 3. 2·2·2·5·13, 4. 2·5·7 270 Możliwe odpowiedzi: 1. 2·3·3·3·5, 2. 2·2·2·3·5, 3. 2·2·2·5·13, 4. 2·5·7 520 Możliwe odpowiedzi: 1. 2·3·3·3·5, 2. 2·2·2·3·5, 3. 2·2·2·5·13, 4. 2·5·7
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!
R1eEYpu9m4ith1
Animacja przedstawia, w jaki sposób obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 72 i 60.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1eEYpu9m4ith

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia, w jaki sposób obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 72 i 60.

Ważne!
R8rsvANdoaydK1
Animacja przedstawia, w jaki sposób obliczyć największy wspólny dzielnik liczb 72 i 60.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R8rsvANdoaydK

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia, w jaki sposób obliczyć największy wspólny dzielnik liczb 72 i 60.

RVrvj4RCOHEdZ3
Ćwiczenie 7
Znajdź liczby, w których rozkładzie na czynniki pierwsze występują wyłącznie podane liczby, a następnie połącz je z tymi liczbami. W rozkładzie tej liczby występują dokładnie dwie dwójki, dwie trójki i dwie piątki. Możliwe odpowiedzi: 1. 1000, 2. 1155 , 3. 900, 4. 1053, 5. 1100 W rozkładzie tej liczby występują dokładnie dwie dwójki, dwie piątki i jedna jedenastka. Możliwe odpowiedzi: 1. 1000, 2. 1155 , 3. 900, 4. 1053, 5. 1100 W rozkładzie tej liczby występują dokładnie cztery trójki i jedna trzynastka. Możliwe odpowiedzi: 1. 1000, 2. 1155 , 3. 900, 4. 1053, 5. 1100 W rozkładzie tej liczby występują dokładnie trzy dwójki i trzy piątki. Możliwe odpowiedzi: 1. 1000, 2. 1155 , 3. 900, 4. 1053, 5. 1100 W rozkładzie tej liczby występuje dokładnie jedna trójka, jedna piątka, jedna siódemka i jedna jedenastka. Możliwe odpowiedzi: 1. 1000, 2. 1155 , 3. 900, 4. 1053, 5. 1100
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RDci6OZ88OvtL3
Ćwiczenie 8
Korzystając z rozkładu na czynniki pierwsze liczb 44 i 105 (44=2·2=11 i 105=3·5·7), podaj rozkład na czynniki pierwsze podanych liczb. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby w kolejności rosnącej. Rozkład liczby 44·44 na czynniki pierwsze składa się z liczb: Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij. Rozkład liczby 105·105 na czynniki pierwsze składa się z liczb: Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij. Rozkład liczby 44·105 na czynniki pierwsze składa się z liczb: Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij. Rozkład liczby 44·44·105 na czynniki pierwsze składa się z liczb: Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij. Rozkład liczby 6·105 na czynniki pierwsze składa się z liczb: Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 9
RGHuLTAoVxIVS
Wyznacz wszystkie (większe od 1) dzielniki liczb, których rozkłady na czynniki pierwsze są dane poniżej. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby w kolejności rosnącej. Dzielniki liczby 3·5 to Tu uzupełnij, Tu uzupełnij i Tu uzupełnij. Dzielniki liczby 2·2·3 to Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij i Tu uzupełnij. Dzielniki liczby 2·3·5·5 to Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij i Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 10

Nauczyciel chce podzielić trzydziestoosobową klasę na równe grupy, co najmniej dwuosobowe.
Ile może utworzyć grup i ile osób będzie w każdej grupie? Na ile sposobów nauczyciel może dokonać podziału? Rozważ wszystkie możliwości.

RQBO9dayAsdvg
(Uzupełnij).