Rozszerzanie i skracanie ułamków zwykłych

Równość ułamków

R1BPtVBVyB2IV1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na każdym talerzu znajduje się taka sama część pizzy. Ułamki opisujące te części pizzy są równe.

\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}

RwBljHe7p7QWx1

\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{8}{16}

Rozszerzanie ułamków

RPUjUXnh8dhNM1

Rozszerzanie ułamka

Definicja: Rozszerzanie ułamka

Jeśli pomnożymy licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę, różną od zera, to mówimy, że rozszerzyliśmy ułamek, a wartość ułamka się nie zmieni.

R13cEbisbdjS31

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1IdwDcUTD2Gd1

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ReGXPYWewQbsq2

Ćwiczenie 3

\frac{1}{4} = \frac{\dots}{24}

...

\to

Tu uzupełnij 2)

\frac{1}{2} = \frac{\dots}{24}

...

\to

Tu uzupełnij 3)

\frac{2}{3} = \frac{\dots}{24}

...

\to

Tu uzupełnij 4)

\frac{4}{6} = \frac{\dots}{24}

...

\to

Tu uzupełnij 5)

\frac{5}{8} = \frac{\dots}{24}

...

\to

Tu uzupełnij 6)

\frac{10}{12} = \frac{\dots}{24}

...

\to

Tu uzupełnij 7)

\frac{1}{4} = \frac{20}{\dots}

...

\to

Tu uzupełnij 8)

\frac{1}{2} = \frac{20}{\dots}

...

\to

Tu uzupełnij 9)

\frac{2}{3} = \frac{20}{\dots}

...

\to

Tu uzupełnij 10)

\frac{4}{6} = \frac{20}{\dots}

...

\to

Tu uzupełnij 11)

\frac{5}{8} = \frac{20}{\dots}

...

\to

Tu uzupełnij 12)

\frac{10}{12} = \frac{20}{\dots}

...

\to

Tu uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RzYNfYtjweTGD

Ćwiczenie 4

Jaką liczbę należy wpisać w miejsce kropek, by równości były prawdziwe? Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie liczby.

$\frac{1}{3} = \frac{\dots}{24}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{3}{5} = \frac{15}{\dots}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{2}{7} = \frac{\dots}{21}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{5}{9} = \frac{20}{\dots}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{1}{8} = \frac{\dots}{48}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{7}{10} = \frac{70}{\dots}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{2}{11} = \frac{\dots}{33}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{1}{2} = \frac{\dots}{60}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{2}{15} = \frac{20}{\dots}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{7}{8} = \frac{77}{\dots}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{15}{19} = \frac{\dots}{38}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{9}{6} = \frac{54}{\dots}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skracanie ułamków

R1Nw061oHxp5q1

Skracanie ułamków

Definicja: Skracanie ułamków

Jeśli licznik i mianownik ułamka podzielimy przez tę samą liczbę, różną od zera, to wartość ułamka nie zmieni się. Mówimy, że skróciliśmy ułamek.

Na przykład:

skracając ułamek $\frac{12}{18}$ przez $2$ , otrzymujemy $\frac{6}{9}$ .

Przykład 1

R14AOghCkHY0k

Ilustracja przykładu: ułamek dwanaście osiemnastych. Dzielimy licznik i mianownik tego ułamka przez 2. Po skróceniu ułamek dwanaście osiemnastych równa się sześć dziewiątych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1OYmt0tjzFR42

Ćwiczenie 5

Skróć podane ułamki. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. przez

3

\frac{3}{12} =

\frac{4}{9}

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

\frac{11}{7}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{9}{12}

, 7.

\frac{8}{7}

, 8.

\frac{3}{6}

\frac{9}{18} =

\frac{4}{9}

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

\frac{11}{7}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{9}{12}

, 7.

\frac{8}{7}

, 8.

\frac{3}{6}

\frac{33}{21} =

\frac{4}{9}

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

\frac{11}{7}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{9}{12}

, 7.

\frac{8}{7}

, 8.

\frac{3}{6}

\frac{27}{36} =

\frac{4}{9}

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

\frac{11}{7}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{9}{12}

, 7.

\frac{8}{7}

, 8.

\frac{3}{6}

przez

4

\frac{8}{12} =

\frac{4}{9}

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

\frac{11}{7}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{9}{12}

, 7.

\frac{8}{7}

, 8.

\frac{3}{6}

\frac{4}{20} =

\frac{4}{9}

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

\frac{11}{7}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{9}{12}

, 7.

\frac{8}{7}

, 8.

\frac{3}{6}

\frac{32}{28} =

\frac{4}{9}

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

\frac{11}{7}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{9}{12}

, 7.

\frac{8}{7}

, 8.

\frac{3}{6}

\frac{16}{36} =

\frac{4}{9}

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

\frac{11}{7}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{9}{12}

, 7.

\frac{8}{7}

, 8.

\frac{3}{6}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R11fh1BwJb35O

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ułamki nieskracalne

RVHvOqpawpO8z2

Ćwiczenie 7

Skróć ułamek przez największą możliwą liczbę. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\frac{6}{12} =

\frac{1}{2}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\frac{3}{4}

, 8.

\frac{4}{5}

\frac{8}{24} =

\frac{1}{2}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\frac{3}{4}

, 8.

\frac{4}{5}

\frac{9}{18} =

\frac{1}{2}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\frac{3}{4}

, 8.

\frac{4}{5}

\frac{27}{36} =

\frac{1}{2}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\frac{3}{4}

, 8.

\frac{4}{5}

\frac{8}{12} =

\frac{1}{2}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\frac{3}{4}

, 8.

\frac{4}{5}

\frac{20}{25} =

\frac{1}{2}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\frac{3}{4}

, 8.

\frac{4}{5}

\frac{18}{24} =

\frac{1}{2}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\frac{3}{4}

, 8.

\frac{4}{5}

\frac{18}{36} =

\frac{1}{2}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\frac{3}{4}

, 8.

\frac{4}{5}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Nieraz trudno jest znaleźć największą liczbę, przez którą można skrócić dany ułamek. Na przykład, aby skrócić ułamek $\frac{36}{48}$ możemy postąpić tak:

R29wed24nIBhe

Ilustracja przykładu: ułamek trzydzieści sześć czterdziestych ósmych. Dzielimy licznik i mianownik tego ułamka przez 2. Otrzymujemy ułamek osiemnaście dwudziestych czwartych. Dzielimy licznik i mianownik tego ułamka przez 2. Otrzymujemy ułamek dziewięć dwunastych. Dzielimy licznik i mianownik tego ułamka przez 3. Otrzymujemy ułamek trzy czwarte. Po skróceniu ułamek trzydzieści sześć czterdziestych ósmych równa się trzy czwarte. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ułamka $\frac{3}{4}$ nie można już skrócić.

Ułamek nieskracalny

Definicja: Ułamek nieskracalny

Ułamek, którego nie można skrócić nazywamy ułamkiem nieskracalnym.

R433XzIiJSUTI2

Ćwiczenie 8

Podane ułamki zapisz w postaci ułamka nieskracalnego. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\frac{24}{36} =

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

\frac{1}{3}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

\frac{2}{3}

\frac{15}{45} =

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

\frac{1}{3}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

\frac{2}{3}

\frac{16}{32} =

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

\frac{1}{3}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

\frac{2}{3}

\frac{24}{72} =

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

\frac{1}{3}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

\frac{2}{3}

\frac{60}{90} =

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

\frac{1}{3}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

\frac{2}{3}

\frac{21}{63} =

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

\frac{1}{3}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

\frac{2}{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R6aHghB71PyaB3

Ćwiczenie 9

Podane ułamki zapisz w postaci ułamka nieskracalnego. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\frac{48}{72} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{5}{6}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{3}

\frac{15}{60} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{5}{6}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{3}

\frac{40}{48} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{5}{6}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{3}

\frac{30}{60} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{5}{6}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{3}

\frac{80}{120} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{5}{6}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{3}

\frac{60}{180} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{5}{6}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RGR6DQQLWeLOX3

Ćwiczenie 10

Przeciągnij i upuść.

$\frac{2}{7}$ , $\frac{50}{100}$ , $\frac{10}{16}$ , $\frac{9}{10}$

$\frac{5}{8} =$ ............

$\frac{12}{42} =$ ............

$\frac{18}{20} =$ ............

$\frac{1}{2} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RyMUzWnr4eg283

Ćwiczenie 11

Połącz w pary tak, aby brakującym elementom ułamka przyporządkować odpowiednią liczbę.

10

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{8} = \frac{100}{□}

, 2.

\frac{5}{8} = \frac{□}{24}

, 3.

\frac{5}{8} = \frac{□}{16}

, 4.

\frac{5}{8} = \frac{60}{□}

, 5.

\frac{5}{8} = \frac{□}{48}

15

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{8} = \frac{100}{□}

, 2.

\frac{5}{8} = \frac{□}{24}

, 3.

\frac{5}{8} = \frac{□}{16}

, 4.

\frac{5}{8} = \frac{60}{□}

, 5.

\frac{5}{8} = \frac{□}{48}

30

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{8} = \frac{100}{□}

, 2.

\frac{5}{8} = \frac{□}{24}

, 3.

\frac{5}{8} = \frac{□}{16}

, 4.

\frac{5}{8} = \frac{60}{□}

, 5.

\frac{5}{8} = \frac{□}{48}

96

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{8} = \frac{100}{□}

, 2.

\frac{5}{8} = \frac{□}{24}

, 3.

\frac{5}{8} = \frac{□}{16}

, 4.

\frac{5}{8} = \frac{60}{□}

, 5.

\frac{5}{8} = \frac{□}{48}

160

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{8} = \frac{100}{□}

, 2.

\frac{5}{8} = \frac{□}{24}

, 3.

\frac{5}{8} = \frac{□}{16}

, 4.

\frac{5}{8} = \frac{60}{□}

, 5.

\frac{5}{8} = \frac{□}{48}

Połącz w pary tak, aby brakującym elementom ułamka przyporządkować odpowiednią liczbę.

10
15
30
96
160

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Jeśli ułamek $\frac{4}{7}$ rozszerzymy przez $3$ lub przez $6$ , to otrzymamy ułamek, którego licznik i mianownik mają ciekawą własność. Jeżeli licznik przeczytamy od prawej do lewej strony, otrzymamy mianownik. Oczywiście ten sam efekt otrzymamy, gdy postąpimy podobnie z mianownikiem.

$\frac{4}{7} = \frac{12}{21}$ i $\frac{4}{7} = \frac{24}{42}$ .

Znajdź inne ułamki, które mają tę samą własność.

$\frac{2}{9} = \frac{18}{81}$ , $\frac{5}{6} = \frac{45}{54}$ .