Scenariusz lekcji: Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników (lekcja 2)

Uczeń:

1. zna metodę przeciwnych współczynników przy rozwiązywaniu układów równań,

2. zna pojęcie układu równań,

3. wie, co to znaczy znaleźć rozwiązanie układu równań.

Uczeń:

1. umie przekształcić równanie do postaci dogodnej do obliczeń,

2. umie rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników.

Metoda i forma pracy

Pokaz, obserwacja, ćwiczenia.

3. 3. rzutnik multimedialny,

   4. laptop,

   5. karty pracy,

   6. prezentacja multimedialna,

   7. kalkulator graficzny do sprawdzenia poprawności rozwiązań

Rozwiązywanie układów równań jest bardzo przydatne do rozwiązywania wielu problemów matematycznych. Istnieje kilka metod rozwiązywania układów równań I stopnia z dwiema niewiadomymi. Jedną z metod rozwiązywania układów, którą poznaliśmy na poprzedniej lekcji, jest metoda podstawiania. Na początek przypomnijmy, jak rozwiązuje się układy równań metodą podstawiania.

Ćwiczenie: rozwiąż podany układ równań metodą podstawiania:

$\begin{array}{c}\hfill \{x+y=2|\hfill \end{array}$

(uczeń odpowiada przy tablicy).

Z pierwszego równania wyznaczamy niewiadomą x i wstawiamy do drugiego równania:

x = 2 – y

2 – y – y = 1

Drugie równanie rozwiązujemy jak równanie z jedną niewiadomą:

–2y = 1 – 2

–2y = –1 /:(–2)

y =$\frac{1}{2}$

Obliczamy teraz wielkość x:

x = 2 – y

x = 2 – 0,5

x = 1,5

odp.

x = 1,5

y = 0,5

Sprawdzenie pracy domowej z poprzedniej lekcji

Faza realizacyjna

Kolejną metodą rozwiązywania układów równań jest metoda przeciwnych współczynników. Na czym ona polega? Jak sama nazwa podpowiada, wykorzystamy przeciwne współczynniki liczbowe przy jednej z niewiadomych układu równań, by wyeliminować tę niewiadomych i aby uzyskać jedno równanie z jedną niewiadomą. Efekt końcowy jest taki sam jak w metodzie poprzedniej. Dochodzimy do tego samego wyniku.

Przykład 1.

Rozwiąż podany układ równań metodą przeciwnych współczynników:

$\begin{array}{c}\hfill \{x+y=5|\hfill \end{array}$

Współczynniki przy niewiadomej y są liczbami przeciwnymi, zatem dodajmy do siebie obie strony równań, pozbywamy się w ten sposób niewiadomej y i otrzymujemy jedno równanie z jedną niewiadomą x

• $\begin{array}{c}\hfill \{x+y=5|\hfill \end{array}$

3x = 6

x = 2

otrzymaną wartość x wstawiamy do dowolnego równania i obliczamy wartość niewiadomej y:

2 + y = 5

y = 3

stąd rozwiązaniem układu jest para x = 2, y = 3.

Jednak nie zawsze w podanym do rozwiązania układzie współczynniki są liczbami przeciwnymi. Wówczas należy przekształcić jedno, bądź oba równania tak, aby do takiej sytuacji doprowadzić.

Przykład 2.

Rozwiąż podany układ równań metodą przeciwnych współczynników:

$\begin{array}{c}\hfill \{3x+5y=9|\hfill \end{array}$

Tym razem współczynniki liczbowe przy obu niewiadomych w obu równaniach nie są liczbami przeciwnymi. Należałoby do takiej sytuacji doprowadzić.

Pomnóżmy drugie równanie przez –1, otrzymamy

$\begin{array}{c}\hfill \{3x+5y=9|\hfill \end{array}$

Dodając stronami wyeliminujemy niewiadomą x

• $\begin{array}{c}\hfill \{3x+5y=9|\hfill \end{array}$

7y = 7

y = 1

obliczamy wartość x wstawiając np. do pierwszego równania w miejsce y jedynkę

3x + 5 = 9

3x = 9 – 5

3x = 4

$\begin{array}{c}\hfill x=\frac{4}{3}\hfill \\ \hfill x=1\frac{1}{3}\hfill \end{array}$

Odp.

$\begin{array}{c}\hfill \{x=1\frac{1}{3}|\hfill \end{array}$

Rozwiązywanie zadań w zeszytach i na tablicy.

Zadanie 1.

Podane układy równań rozwiąż metodą przeciwnych współczynników. Po rozwiązaniu sprawdź poprawność wyników rachunkiem, a następnie za pomocą kalkulatora graficznego.

1. $\begin{array}{c}\hfill \{y-x=-7|\hfill \end{array}$

Odp. (10, 3)

W tym przypadku od razu możemy dodawać stronami równania otrzymując:

2y = 6 /:2

y = 3

obliczamy wielkość x na podstawie drugiego równania:

x + 3 = 13

x = 13 – 3

x = 10

Po wprowadzeniu współczynników do kalkulatora graficznego uzyskamy wynik jak wyżej

Rjn01IeYF78ak

2. $\begin{array}{c}\hfill \{2x+y=3|\hfill \end{array}$

Odp. (2, –1)

$\begin{array}{c}\hfill \{2x+y=3|\hfill \end{array}$pomnóżmy drugie równanie przez (–1), otrzymamy:

2x + y = 3

–x – y = –1

Dodając stronami otrzymamy:

x = 2

Wartość y otrzymamy wstawiając np. do drugiego równania w miejsce x liczbę 2:

2 + y = 1

y = 1 – 2

y = –1

Re9WyS6NX3m7B

3. $\begin{array}{c}\hfill \{2x-2y=10|\hfill \end{array}$

Odp.(10, 5)

Tym razem można od razu dodawać stronami, otrzymamy:

3x = 30 /:3

x = 10

z drugiego równania obliczamy wielkość y:

10 + 2y = 20

2y = 20 – 10

2y = 10 /:2

y = 5

RUN0ZCKKBUdpF

4. $\begin{array}{c}\hfill \{5x-2y=26|\hfill \end{array}$

Odp. (4, –3)

Mnożymy drugie równanie przez 2, otrzymamy:

5x – 2y = 26

18x + 2y = 66

Po dodaniu stronami mamy:

23x = 92 /:23

x = 4

wartość niewiadomej y obliczmy z drugiego równania:

9 * 4 + y = 33

y = 33 – 36

y = –3

Rx1CrDSD9fNmH

5. $\begin{array}{c}\hfill \{x+4y=3x-y-14|\hfill \end{array}$

Odp. (2, –2)

W tym przypadku należałoby najpierw uporządkować oba równania:

$\begin{array}{c}\hfill \{-2x+5y=-14|\hfill \end{array}$

Pomnóżmy drugie równanie przez 2

• $\begin{array}{c}\hfill \{-2x+5y=-14|\hfill \end{array}$

Dodajemy stronami:

–3y = 6 /:(–3)

y = –2

x = 10 + 4 * (–2)

x = 10 – 8

x = 2

Rn3uf5JFqEZog

Faza podsumowująca

Zebranie i podsumowanie wiadomości dotyczących jednego ze sposobów rozwiązywania układów równań jakim jest metoda przeciwnych współczynników.

5. 11. Matematyka z plusem dla klasy II gimnazjum – podręcznik wyd. GWO

Zadanie 4 str. 100

podręcznik do matematyki dla klasy II Matematyka z Plusem wyd. GWO